Kąty w trapezach i równoległobokach

Origami to japońska sztuka składania kształtów z papieru. Składając w odpowiedni sposób prostokątną kartkę można otrzymać wszystko. Na przykład równoległobok. Spójrz na taki rysunek. Mamy tutaj dwie proste, które oznaczono literami k oraz m. Te dwie proste są równoległe. Skąd to wiem? Z tego zapisu. To właśnie ten zapis, nie rysunek gwarantuje nam, że proste k oraz m są do siebie równoległe. Na rysunku widać, że proste k oraz m są przecięte trzecią prostą. Wiesz już, że w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą powstają kąty o pewnych własnościach. Mówiąc dokładniej, pewne kąty są takie same. Najpierw skupimy się na tym kącie, który oznaczono grecką literą alfa. Spójrz teraz na ten kąt, który oznaczono grecką literą beta. Czy pamiętasz, jaką miarę daje suma kątów beta i alfa? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Kąty alfa i beta mają wspólne ramię i wspólny wierzchołek, a te ramiona leżą na jednej prostej. Kąty alfa i beta to kąty przyległe, których suma miar wynosi 180 stopni. Spójrz teraz na ten kąt. Właśnie w tym momencie wykorzystamy własności kątów powstałych przez przecięcie dwóch prostych równoległych trzecią prostą. Ten zaznaczony kąt ma miarę taką samą, jak kąt alfa, czy jak kąt beta? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Brawo! Ten kąt jest taki sam, jak kąt beta. Za chwilę na tym rysunku pojawi się jeszcze jedna prosta, która będzie przecinała proste k oraz m, ale ta nowa prosta nie będzie równoległa do tej prostej. To jest prosta, o której mówiłem przed chwilą. Spójrz teraz na ten kąt. Oznaczono go grecką literą gamma. Tutaj z kolei zaznaczono kąt delta. Teraz pewnie bez problemu powiesz, że kąty gamma oraz delta tworzą razem kąt, który ma 180 stopni. Można zatem zapisać, że gamma dodać delta równa się 180 stopni. Zastanówmy się teraz, czy ten kąt jest taki sam jak kąt gamma, czy jak kąt delta? Jak myślisz? Ten kąt jest taki sam, jak kąt gamma. Znowu korzystamy z własności kątów powstałych w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą. Jaką wiedzę zgromadziliśmy do tej pory? Wiemy, że miara kąta alfa i miara kąta beta to razem 180 stopni. Tutaj mamy kąt beta i tutaj mamy kąt beta. Wiemy też, że miara kąta gamma dodać miara kąta delta to też 180 stopni. Tutaj mamy kąt gamma i tutaj mamy kąt gamma. Teraz skupmy się na tej ilustracji. Można zaobserwować, że gdy dwie proste równoległe przetniemy dwiema innymi prostymi, to otrzymamy pewien obszar zamknięty, który teraz pokazuję. Innymi słowy mamy tutaj pewną figurę geometryczną. Czy wiesz, jak ona się nazywa? Brawo! To jest trapez. Przypomnę, że trapez to taka figura, która ma co najmniej jedną parę boków równoległych. W tym przypadku te dwa boki są do siebie równoległe. A dlaczego? Te dwa boki są przecież fragmentami prostych k oraz m, które są do siebie równoległe. Te dwa odcinki są ramionami tego trapezu. Zobacz: przy tym ramieniu mamy kąty alfa oraz beta. Wiemy, że suma miar tych dwóch kątów to 180 stopni. Piękne, prawda? Spójrz teraz, jakie kąty mamy przy drugim ramieniu. Gamma oraz delta. Suma miar tych dwóch kątów również wynosi 180 stopni. Ciekawe, czy tak jest w każdym trapezie? Na szczęście możemy to sprawdzić. Wróćmy do tej ilustracji. Sprawdźmy teraz, co się stanie, gdy ta prosta będzie przecinała proste k oraz m w nieco inny sposób. Na przykład w taki. Dalej mamy do czynienia z trapezem, ponieważ te dwa boki są do siebie równoległe. Ten kąt i ten kąt dalej są kątami przyległymi. Oznacza to, że suma miar ich kątów to w dalszym ciągu 180 stopni. Skoro te dwie proste są do siebie równoległe, to ten kąt jest taki sam, jak ten kąt. W takim trapezie również suma miar kątów przy jednym ramieniu to 180 stopni. Tak jest w każdym trapezie. To bardzo piękna własność kątów znajdujących się w trapezach. Warto ją zapamiętać. Spróbujmy odpowiedzieć teraz na takie pytanie: Jakie miary mają kąty alfa i beta? Zauważ, że kąty alfa i beta znajdują się wewnątrz trapezu, w którym ten kąt ma 130 stopni, a ten kąt ma 40 stopni. Czy pamiętasz, do jakiego kąta sumują się miary kątów znajdujące się przy jednym ramieniu? Brawo! Do 180 stopni. Oznacza to, że 40 stopni dodać alfa równa się 180 stopni. Aby dowiedzieć się, ile stopni ma kąt alfa należy zastanowić się, ile stopni należy dodać do 40 stopni aby otrzymać 180 stopni. 140 i 40 to 180. Oznacza to, że kąt alfa ma 140 stopni. Ten kąt ma 140 stopni. Teraz zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie dowiedzieć się, jaką miarę ma kąt beta. Kąt beta i kąt, który ma 130 stopni, znajdują się przy jednym ramieniu. Wiemy, że suma miar tych kątów daje 180 stopni. Zapisujemy zatem: 130 stopni dodać beta równa się 180 stopni. Ile stopni należy dodać do 130 stopni, aby otrzymać 180 stopni? 50 stopni. Oznacza to, że beta ma 50 stopni. Znaleźliśmy miarę tego kąta, to 50 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Tym razem mamy do czynienia z takim trapezem. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na pytanie: jakie miary mają kąty alfa i beta? Zacznę od kąta alfa. Kąt alfa i kąt prosty znajdują się przy jednym ramieniu. Suma miar tych kątów to 180 stopni. Kąt alfa ma zatem 90 stopni, bo 90 stopni dodać 90 stopni to 180 stopni. Na obrazku widać, że w tym miejscu mamy właśnie kąt prosty, który ma 90 stopni. Wykonaliśmy połowę zadania. Teraz znajdziemy miarę kąta beta. Widać, że będzie to kąt rozwarty. Kąt beta i kąt, który ma 45 stopni znajdują się przy jednym ramieniu. Oznacza to, że beta dodać 45 stopni to 180 stopni. Ile należy dodać do 45 stopni, aby otrzymać 180 stopni? 135 stopni. Kąt beta ma 135 stopni. Zapiszmy to jeszcze na rysunku. Tutaj mamy 135 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Teraz zbadamy własności kątów w równoległoboku. Zaczniemy jednak od dwóch prostych równoległych, które są przecięte trzecią prostą. W tym miejscu zaznaczono kąt alfa. Tutaj z kolei zaznaczono kąt beta. Wiesz już, że kąty alfa i beta to kąty przyległe, których miary sumują się do 180 stopni. Skoro dwie proste równoległe przecinamy trzecią prostą i w tym miejscu mamy kąt beta, to w tym miejscu również jest kąt beta. Patrz teraz uważnie na ten rysunek i zobacz, co się stanie. Dwie proste równoległe k oraz m przecina jeszcze jedna prosta, która jest oznaczona literą r, ale nie jest to byle jaka prosta. Prosta r jest równoległa do prostej p. Ten zapis to potwierdza. Skoro te dwie proste są do siebie równoległe i te dwie proste są do siebie równoległe, to w tym miejscu jest taki sam kąt jak tutaj, a w tym miejscu jest taki sam kąt jak tutaj. Czy potrafisz powiedzieć, jaki kąt znajduje się w tym miejscu? Kąt alfa, ponieważ kąty alfa i beta są do siebie przyległe. Poza tym skoro w tym miejscu jest kąt alfa, to w tym miejscu również jest kąt alfa. A jaki kąt znajduje się tutaj? Brawo! Kąt beta. Spójrz teraz na ten odcinek i na ten odcinek. Są one do siebie równoległe i mają taką samą długość. Ten odcinek z kolei jest taki sam, jak ten odcinek. Są one również do siebie równoległe. Jaką figurę tworzą te cztery odcinki? Tworzą równoległobok. Co zatem możemy powiedzieć o kątach w równoległoboku? Kąty, które znajdują się przy jednym ramieniu sumują się do 180 stopni. Tak jest również w trapezach, a równoległobok to przecież szczególny przypadek trapezu. Co jeszcze możemy powiedzieć o kątach w równoległoboku? Ten kąt znajduje się naprzeciwko tego kąta. Te kąty są takie same. Ten kąt z kolei znajduje się naprzeciw tego kąta. One też są takie same. Kąty w równoległobokach, które są naprzeciwko siebie, mają identyczne miary. A jak jest z kątami w rombie? Dokładnie tak samo, bo romb to równoległobok, który ma wszystkie boki tej samej długości. Zastanów się teraz, czy możemy podać miary wszystkich kątów w rombie, znając miarę tylko jednego kąta? Ten kąt ma 63 stopnie. Wiemy, że kąty które są naprzeciwko siebie mają taką samą miarę. Ten kąt również ma 63 stopnie. Wiemy również, że miary kątów przy jednym ramieniu sumują się do 180 stopni. To ile stopni należy dodać do 63 stopni, aby otrzymać 180 stopni? Brawo! 117 stopni. Kąt, który jest naprzeciwko tego kąta, czyli ten kąt, ma taką samą miarę. Tutaj również mamy 117 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180 stopni. W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary i suma dwóch dowolnych kątów będących obok siebie, nie tylko przy jednym ramieniu, wynosi 180 stopni. W tym dziale znajdziesz wiele ciekawych informacji dotyczących kątów w trójkątach i czworokątach. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv