Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego,
  • jak znaleźć rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego,
  • czym różni się rozwinięcie dziesiętne skończone od nieskończonego,
  • kiedy mówimy o rozwinięciu dziesiętnym okresowym, a kiedy o nieokresowym,
  • jak zapisać rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

W swojej pracy naukowej o tytule "Traktat o okręgu" al-Kashi jako pierwszy policzył liczbę pi z dokładnością do 16. miejsca po przecinku. Wiesz już, że ułamki zwykłe możemy zamieniać na liczby dziesiętne. 4/10 to inaczej zero, przecinek, cztery. Mówimy, że rozwinięciem dziesiętnym tego ułamka jest ta liczba. Czy potrafisz powiedzieć ile cyfr po przecinku ma ta liczba? Na pewno tak. Ta liczba ma jedną cyfrę po przecinku. W tym przypadku liczba cyfr po przecinku jest skończona. Potrafimy dokładnie powiedzieć ile cyfr po przecinku ma ta liczba. Znajdźmy rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/5. Ten ułamek możemy rozszerzyć do ułamka o mianowniku 10. Starczy licznik i mianownik pomnożyć przez 2. 1/5 to inaczej 2/10. Ten ułamek z kolei możemy bez problemu zapisać w postaci liczby dziesiętnej. 2/10 to nic innego, jak zero, przecinek, dwa. Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1/5 jest ta liczba. Zwróć uwagę, że tutaj również mamy jedną cyfrę po przecinku. Znowu liczba cyfr po przecinku jest skończona. Wiem to, bo potrafię dokładnie powiedzieć ile cyfr po przecinku ma ta liczba. Z poprzednich lekcji wiesz że każdy ułamek zwykły da się zapisać w postaci liczby dziesiętnej. Liczby dziesiętne mają jednak różne rozwinięcia dziesiętne. W tym przypadku mamy do czynienia z rozwinięciami dziesiętnymi skończonymi. Dlaczego? Bo potrafimy dokładnie powiedzieć ile cyfr po przecinku mają te liczby dziesiętne. Mam teraz dla ciebie zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać kilka liczb dziesiętnych których rozwinięcia dziesiętne są skończone. Takie liczby to na przykład: 15 setnych 125 tysięcznych oraz 7035 dziesięciotysięcznych. W każdym z tych trzech przykładów potrafimy dokładnie powiedzieć ile cyfr po przecinku ma dana liczba. Ta ma dwie cyfry po przecinku ta ma trzy cyfry po przecinku a ta ma cztery cyfry po przecinku. Już za momencik pokażę ci inne rozwinięcia dziesiętne różnych liczb. Spójrz teraz na ułamek 1/3. Nie da się go rozszerzyć do ułamka o mianowniku 10, 100, czy też 1000. Aby zamienić go na liczbę dziesiętną musimy poradzić sobie jakoś inaczej. Czy pamiętasz jak? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. 1/3 to inaczej 1 podzielić przez 3. Aby zamienić ten ułamek na liczbę dziesiętną wystarczy wykonać takie dzielenie. Zrobimy to sposobem pisemnym. Podzielimy liczbę jeden przez trzy. U góry rysujemy poziomą kreskę bo nad nią znajdzie się wynik. Liczba 3 mieści się w liczbie 1 zero razy. Obok zapisuję przecinek. 0 razy 3 to 0. Teraz od liczby 1 odejmujemy liczbę 0 i otrzymamy liczbę jeden. Obok dopisuję 0. Ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 10? Trzy razy. 3 razy 3 to 9. Od liczby 10 odejmujemy liczbę 9 i otrzymujemy 1. Obok dopisuję kolejne 0. Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy tutaj to samo, co w tym miejscu. Powtarzamy więc tę samą czynność. Wiemy już, że liczba 3 mieści się w liczbie 10 trzy razy. Liczbę trzy zapisuję tutaj. 3 razy 3 to 9. Tym razem otrzymaliśmy to samo, co w tym miejscu. Znowu od liczby 10 odejmujemy liczbę 9. Ponownie otrzymamy 1. Kolejny raz obok dopisujemy 0. No i znowu: liczba 3 mieści się w liczbie 10 trzy razy. 3 razy 3 to 9. 10 odjąć 9 to 1. Obok dopisujemy zero. Zwróć uwagę, że cały czas powtarza nam się ten krok. Po pierwszym kroku, po prawej stronie przecinka zapisaliśmy 3. Po drugim kroku zapisaliśmy znowu 3. Po trzecim kroku zapisaliśmy ponownie 3. Skoro takich kroków będzie nieskończenie wiele to po prawej stronie przecinka będzie nieskończenie wiele trójek. 1/3 to inaczej 0, przecinek, 3, 3, 3 i tak dalej. Tych trójek będzie nieskończenie wiele. Czy potrafisz powiedzieć ile cyfr po przecinku ma ta liczba dziesiętna? Nie, ponieważ po prawej stronie przecinka jest nieskończenie wiele trójek. Nie potrafimy dokładnie powiedzieć, ile ich jest. Liczba 1/3 ma więc rozwinięcie dziesiętne nieskończone. To jeszcze nie wszystko. Spójrz raz jeszcze na tę liczbę. Co się powtarza? Trójka. Ten zapis możemy sobie uprościć. Przepisujemy 0 i przecinek. Przyjęło się, że tę cyfrę, która się powtarza czyli w tym przypadku trójkę zapisywać w nawiasie. Otrzymamy coś takiego: zero, przecinek i w nawiasie cyfra 3. To, co się powtarza, w matematyce nazywa się okresem. Okresem rozwinięcia dziesiętnego tej liczby jest trójka, ponieważ trójka się powtarza. Aby być jak najbardziej precyzyjnym mówimy że jest to rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Sprawdźmy jeszcze, co pokaże nam kalkulator gdy podzielimy liczbę 1 przez 3. Do dzieła! Liczbę 1 dzielimy przez 3. Co otrzymamy? 0, przecinek, 3, 3, 3, 3 i tak dalej... Widzisz, że trójka się powtarza. Na końcu nie ma jednak trzech kropek. Kalkulatory nie mają takiej funkcji. Akurat ten kalkulator wyświetlił tyle trójek ponieważ tyle miejsca ma na ekranie. Dzieląc pisemnie liczbę 1 przez 3 wiesz, że takie dzielenie można wykonywać w nieskończoność. Wykonując dzielenia na kalkulatorze musimy uważać. A na co? Na to, aby pamiętać że tych trójek jest nieskończenie wiele. Jeśli jakaś cyfra na ekranie powtarza się to możemy mieć pewność, że takie powtarzanie będzie w nieskończoność. Gdyby ten kalkulator miał większy ekran to byłoby tutaj więcej trójek. Pokażę ci teraz inne przykłady rozwinięć dziesiętnych, nieskończonych, okresowych. Spójrz na taki ułamek: 5/11. Sprawdźmy, co otrzymamy na kalkulatorze gdy podzielimy liczbę 5 przez 11. 5 dzielimy przez 11. Co otrzymamy? 0, kropka, 45, 45, 45, 45, 45 i 45. Pamiętaj, że kropka na kalkulatorze oznacza dokładnie to samo, co przecinek. Zwróć uwagę, że w tym przypadku nie powtarza się jedna, a dwie cyfry. Jakie? 4 i 5. Gdyby ten kalkulator miał większy ekran, to moglibyśmy tutaj w nieskończoność zapisywać: 45, 45, 45 i tak dalej... To jak za pomocą liczby dziesiętnej możemy zapisać ułamek 5/11? 5/11 to jest to samo, co 0, przecinek, 4 5 4 5, 4 5 i trzy kropeczki. Dlaczego trzy kropki? Ponieważ w nieskończoność moglibyśmy zapisywać taką parę cyfr: 4 i 5. W tym przypadku to jest nasz okres. Jeszcze raz przypomnę że okres to jest to, co się powtarza. A jak jeszcze inaczej możemy to zapisać? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Najpierw przepisujemy 0 i przecinek. Okres, czyli to, co się powtarza zapisujemy w nawiasie. Otrzymamy 0 i w nawiasie 45. Jeszcze raz przypomnę że okres zapisujemy w nawiasie. Spójrz teraz na taki zapis. Zwróć uwagę, że tutaj mamy 0, przecinek, 2, 0, 8 i dopiero w nawiasie mamy trójkę. Jak inaczej możemy to zapisać? Najpierw przepiszemy tę część czyli zero, przecinek, 2, zero, 8. Zero, przecinek, 2, zero, 8. W nawiasie znajduje się trójka. Oznacza to, że trójka od tego momentu będzie powtarzała się w nieskończoność. Możemy zapisać to w taki sposób: 3, 3, 3, 3 i tak dalej, czyli trzy kropeczki. Trójka jest tym elementem, który się powtarza. Istnieją też liczby które mają rozwinięcie dziesiętne, nieskończone, nieokresowe. Co to oznacza? Oznacza to, że nic po przecinku nie będzie się powtarzać. Spójrz teraz na ten symbol. To jest logo naszego kanału na YouTube. Tę liczbę nazywamy pi. Czym ona jest i w jaki sposób powstaje dowiesz się w kolejnych latach nauki. Liczba pi to inaczej 3, przecinek, 14, 15, 92, 65, 35, 89, 79, 32, 38, 46 i tak dalej. Ta liczba jest bardzo charakterystyczna. Żaden ciąg po prawej stronie przecinka się nie powtarza. Skoro się nie powtarza, to ta liczba ma rozwinięcie dziesiętne, nieskończone nieokresowe. Rozwinięcie dziesiętne to postać dziesiętna ułamka zwykłego, którą otrzymujemy dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik. Rozwinięcie dziesiętne może być skończone lub nieskończone. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o przekształcaniu ułamków, to zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie internetowej: pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Małgorzata Rabenda

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

GraphicMama-team (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg