Porównywanie potęg o różnych wykładnikach naturalnych i jednakowych podstawach

Playlista:Potęgi o wykładniku naturalnym

Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim


Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim


Facebook YouTube

Z tego filmu dowiesz się:

  • jak porównywać potęgi o tych samych podstawach naturalnych,
  • jak porównywać potęgi o tych samych podstawach dodatnich mniejszych od 1,
  • jak porównywać potęgi o tych samych podstawach ujemnych.

Podstawa programowa

Autorzy i materiały

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.
Czy potrafisz szybko wskazać która z tych liczb jest największa ale bez ich obliczania? W tej lekcji pokażę Ci, jak porównywać liczby o tych samych podstawach. Spójrz tutaj. 2 do potęgi pierwszej i 2 do potęgi drugiej. Która z tych liczb jest większa? Obliczmy obie potęgi. 2 do potęgi pierwszej to 2. 2 do potęgi drugiej to 2 razy 2, czyli 4. 4 jest większe od 2 dlatego 2 do potęgi drugiej jest większe niż 2 do potęgi pierwszej. Kolejny przykład. Która z tych liczb jest większa? W tym przypadku także możemy obliczyć obie potęgi. 2 do potęgi drugiej to 4. 2 do potęgi trzeciej to 2 razy 2 razy 2 czyli 8. 2 do potęgi trzeciej, czyli 8 jest większą liczbą niż 4 czyli 2 do potęgi drugiej. Która z tych liczb jest większa? 2 do potęgi szesnastej czy 2 do potęgi siedemnastej? Obliczenie tych potęg może być czasochłonne. Dlatego pokażę Ci, jak porównywać potęgi. Mamy tutaj 1 kwadrat. Gdy przemnożymy 1 razy 2 otrzymamy 2 kwadraty. Razy 2 4 kwadraty. Razy 2 8. Razy dwa 16. Każda kolejna potęga liczby 2 jest większa od poprzedniej. Dlatego 2 do potęgi siedemnastej jest większe niż 2 do potęgi szesnastej. Możesz zauważyć że gdy przemnożysz 2 do potęgi szesnastej razy 2 otrzymasz 2 do potęgi siedemnastej. Czyli 2 do potęgi siedemnastej jest 2 razy większe niż 2 do potęgi szesnastej. Możesz zauważyć, że gdy porównujesz potęgi liczby 2 większa jest ta, która ma większy wykładnik. Porównajmy teraz te 2 liczby. 1/2 do potęgi pierwszej oraz 1/2 do potęgi drugiej. 1/2 do potęgi pierwszej to 1/2. Natomiast 1/2 do potęgi drugiej to 1/2 razy 1/2 czyli 1/4. Zaznaczmy te liczby na osi liczbowej. 0… 1 1/2 to połowa. 1/4 to połowa połowy. Widzisz, że 1/2 jest większa niż 1/4. Dlatego 1/2 do potęgi pierwszej jest większa niż 1/2 do potęgi drugiej. Spójrzmy na kolejny przykład. Która z liczb jest większa? 1/2 do potęgi drugiej czy 1/2 do potęgi trzeciej? 1/2 do potęgi drugiej to 1/4. Tak jak obliczyliśmy powyżej. 1/2 do potęgi trzeciej to trzykrotnie przemnożona przez siebie liczba 1/2 czyli 1/8. Która z tych liczb jest większa? 1/4 czy 1/8? Gdy naniesiesz tę liczbę na oś liczbową będzie znajdowała się ona tutaj. Ponieważ jest to połowa 1/4. 1/4 jest większa od 1/8. Dlatego ta potęga jest większa od tej potęgi. A co zrobimy w takim przypadku? Która z liczb jest większa? 1/2 do potęgi szesnastej czy 1/2 do potęgi siedemnastej? Pokażę Ci, jak poradzić sobie z takim przykładem. Widzisz przed sobą całą pizzę. To jest 1/2 pizzy. To jest 1/4, czyli 1/2 razy 1/2. To jest 1/8. 1/2 razy 1/2 razy 1/2. A to 1/16. 1/2 do potęgi czwartej. Zauważ, że każda kolejna potęga liczby 1/2 jest mniejsza od poprzedniej. Dlaczego? Ponieważ w wyniku otrzymujesz 1/2 poprzedniej liczby czyli jeszcze mniej niż poprzednio. Dlatego 1/2 do potęgi szesnastej będzie większa niż 1/2 do potęgi siedemnastej. Każda kolejna potęga liczby 1/2 jest mniejsza od poprzedniej. Większą liczbą jest ta która ma mniejszy wykładnik. Podsumujmy nasze ustalenia. Gdy podstawa potęgi jest większa od 1 większą potęgą jest ta która ma większy wykładnik. Tak jak tutaj. 2 do potęgi siedemnastej jest większe niż 2 do potęgi szesnastej. Gdy podstawa jest mniejsza od 1, ale większa od 0 większą liczbą jest ta która ma mniejszy wykładnik. Tak jak tutaj: 1/2 do potęgi szesnastej jest większa niż 1/2 do potęgi siedemnastej. Przykład dla Ciebie. Która liczba jest większa? Zatrzymaj film, zapisz odpowiedź i odtwórz film ponownie. Zauważ, że podstawą obu potęg jest liczba 7 dlatego większą potęgą jest ta która ma większy wykładnik. W tej potędze wykładnikiem jest 12. W tej potędze wykładnikiem jest liczba 5. Dlatego 7 do potęgi dwunastej jest większe niż 7 do potęgi piątej ponieważ 12 jest większe od 5. Drugi przykład dla Ciebie. W tym przypadku podstawą obu potęg jest liczba 2/5. Jest ona mniejsza od 1, ale większa od 0. Dlatego większą potęgą będzie ta która ma mniejszy wykładnik. Ta potęga ma mniejszy wykładnik dlatego będzie większą z liczb. Zwróć uwagę na ten przykład. Podstawą obu potęg jest liczba 5/4. Ta liczba jest większa od 1 ponieważ 5/4 to 1 i 1/4. Podobnie jak powyżej, większą potęgą będzie ta która ma większy wykładnik. 5/4 do potęgi piątej będzie większą liczbą niż 5/4 do potęgi trzeciej ponieważ ma większy wykładnik. Pokażę Ci teraz, jak porównujemy potęgi gdy w podstawie mamy liczbę ujemną. Pierwsze porównanie –2 podniesione do potęgi drugiej oraz –2 podniesione do potęgi trzeciej. –2 do potęgi drugiej to –2 razy –2, czyli plus 4. –2 do potęgi 3 to –2 razy –2 razy –2 czyli –8. Jak pamiętasz, gdy podnosimy ujemną liczbę do parzystej potęgi, wynik będzie dodatni. Gdy podnosimy ujemną liczbę do nieparzystej potęgi, wynik będzie ujemny. Ponieważ 4 jest większe niż –8 to ta potęga jest większa od tej potęgi. Następny przykład. –2 podniesione do drugiej potęgi to 4. –2 podniesione do czwartej potęgi to plus 16. Ujemną liczbę podnosimy do parzystej potęgi. 16, czyli –2 do potęgi czwartej, jest większe niż 4 czyli –2 do potęgi drugiej. Teraz taki przykład: –2 do potęgi trzeciej to będzie liczba ujemna. i jest to –8. –2 do potęgi piątej to także liczba ujemna Jest to –32. Gdy zaznaczymy sobie liczby na osi liczbowej okaże się, że większą liczbą jest –8. Dlatego –2 do potęgi trzeciej jest większe niż –2 do potęgi piątej. Jak widzisz, gdy porównujesz 2 potęgi gdzie podstawą jest liczba ujemna należy zastanowić się nad znakiem potęgi. Teraz przykład dla Ciebie. Zauważ, że –2 do potęgi do potęgi siedemnastej na pewno jest liczbą ujemną. –2 do potęgi drugiej to 4 i jest to liczba dodatnia. Mogę powiedzieć, że liczba, która jest dodatnia jest większa od liczby która jest ujemna. 7 do potęgi dwunastej jest większe niż 7 do potęgi piątej ponieważ 12 jest większe od 5 a podstawa obu potęg jest większa od 1. 1/2 do potęgi 12 jest mniejsza niż 1/2 do potęgi 5. Mimo, że 12 jest większe od 5 to podstawa obu potęg jest mniejsza od 1. ale większa od 0. Gdy podstawa jest ujemna trzeba się zastanowić. Głodny wiedzy? Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty i polub nas na Facebooku!

Ćwiczenia

Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.

Materiały dodatkowe

Inne zasoby do wykorzystania podczas zajęć z tego tematu.

Lista wszystkich autorów


Lektor: Tymoteusz Zdunek

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Zalewska, Katarzyna Szczepańska, Angela Getler

Kontrola jakości: Andrzej Pieńkowski


Produkcja

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


hannahlouise123 (CC0)