Czym jest potęga o wykładniku ujemnym?

Wiesz zapewne, że komputer wszystkie liczby przechowuje w systemie dwójkowym. A czy wiedziałeś o tym, że w taki sposób możemy zapisywać również ułamki? Aby zamienić liczbę widoczną na planszy zapisaną w systemie dwójkowym, na system dziesiętny, należy policzyć wartość takiego wyrażenia. W tym filmie dowiesz się, jak to zrobić. Na samym początku przypomnijmy sobie, o co w ogóle chodziło w potęgowaniu. Pamiętasz, ile wynosiło 2 do potęgi 1? Oczywiście 2. A 2 do kwadratu? To 2 razy 2, czyli 4. Pewnie domyślasz się teraz, że będziemy mówić o 2 do sześcianu, albo 2 do 3. Ile to wynosi? To 2 razy 2 razy 2, albo inaczej 4 razy 2, czyli 8. Zauważ, że za każdym razem, gdy zwiększaliśmy wykładnik o 1 (pamiętaj, że wykładnik to ta cyfra znajdująca się na górze potęgi), to mnożyliśmy wynik przez 2. 2 razy 2 to 4, 4 razy 2 to 8. Dobrze. Pójdźmy teraz w drugą stronę. 2 do 3, 2 do 2, 2 do 1. Ile wynosi 2 do zerowej? Zobacz co się dzieje, gdy zmniejsza się wykładnik. Zmniejszamy wykładnik o 1, a liczbę dzielimy przez 2. Tak samo tutaj. Zmniejszamy wykładnik i dzielimy. Tutaj znowu zmniejszamy wykładnik. Jakiej liczby należy się tutaj spodziewać? Dzielimy 2 przez 2, czyli otrzymujemy 1. Pamiętaj, że jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi 0, zawsze daje nam 1. Te potęgi już znasz. Zróbmy jeszcze jeden krok wstecz i sprawdźmy, ile wynosi 2 do minus 1. Znowu zmniejszyliśmy wykładnik o 1, analogicznie 2 do minus 1 będzie 2 razy mniejsza niż 2 do zerowej. A ile to jest 1 przez 2? To 1/2. Jak sądzisz, ile będzie wynosiło 2 do minus 2? Znowu zmniejszamy wykładnik o 1, więc tak samo poprzednią potęgę należy podzielić przez 2. 1/2 przez 2 to 1/4. Poznałeś właśnie potęgi o wykładniku ujemnym. Sprawdźmy, jak działa to dla innej liczby, na przykład dla trójki. Na samym początku zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie powiedzieć, ile wynoszą te potęgi trójki. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. 3 do potęgi 3 to 27. 3 do kwadratu to 9, 3 do potęgi 1 to 3, a 3 do potęgi 0 to 1. Zauważ, że podobnie jak poprzednio wraz ze zmniejszaniem się wykładnika o 1 dzieliliśmy kolejne potęgi, tym razem przez 3, ponieważ taką mamy podstawę. Jak myślisz, ile będzie wynosiło 3 do minus 1? Będzie 3 razy mniejsze niż poprzednia potęga, czyli będzie to 1/3. A 3 do minus 2? 3 do minus 2 będzie 3 razy mniejsze niż 3 do minus 1, czyli musimy 1/3 podzielić przez 3, a 1/3 przez 3 to 1/9. Właśnie zobaczyłeś jedną z metod obliczania potęgi o wykładniku ujemnym. Nie chcielibyśmy być jednak zmuszeni do wykonywania dzielenia za każdym razem. Trudno by było obliczyć na przykład dwa do potęgi minus 10. Zaraz zobaczysz, jak to zrobić inaczej. Teraz odpowiemy na pytanie, ile to jest 2 do potęgi 2 razy 2 do potęgi minus 2. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym, że gdy mnożymy dwie potęgi o takich samych podstawach, a te dwie potęgi mają takie same podstawy (ich podstawą jest 2), to wynikiem tego mnożenia będzie potęga o takiej samej podstawie (w tym przypadku 2) i wykładniku, który jest sumą wykładników mnożonych potęg. Jaki będzie tutaj wykładnik? Musimy dodać 2 i minus 2, a 2 dodać minus 2 jest równe 2 minus 2. Co ostatecznie otrzymamy? 2 do potęgi zerowej. A ile to wynosi? To oczywiście 1. No to podsumujmy. 2 do potęgi 2 razy 2 do potęgi minus 2 równa się 1. Podzielmy teraz obustronnie przez 2 do 2. Co otrzymamy po lewej stronie? 2 do minus 2. A po prawej? 1 przez 2 do potęgi 2. Zauważ coś ciekawego. Wyszło nam, że 2 do potęgi minus 2 to 1 przez 2 do potęgi 2. Tutaj i tutaj mamy wykładniki, które różnią się jedynie znakiem. To oczywiście tylko przykład. Czy dla innych liczb będzie zachodziła podobna zależność? Sprawdźmy. Zobacz: a do potęgi n razy a do potęgi minus n da nam a do potęgi n minus n, czyli a do potęgi 0, a wiemy, że to wynosi 1. W takim razie a do n razy a do minus n równa się 1. Gdy podzielimy obustronnie przez a do n to otrzymamy, że a do minus n jest równe 1 przez a do n. Zauważ, że tutaj i tutaj mamy wykładniki różniące się jedynie znakiem. Taka jest właśnie definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym. a do potęgi minus n jest równe 1 przez a do n. Przetestujmy teraz naszą wiedzę w praktyce. Ile to jest 5 do minus drugiej? Zerknijmy do naszej ściągawki. Nasze a to 5, a nasze n to 2. 5 do minus 2 to to samo, co 1 przez 5 do 2, a 5 do potęgi 2 to 25. 5 do minus 2 to 1/25. Teraz samodzielnie powiedz, ile to jest 4 do minus 3. To to samo, co 1 przez 4 do trzeciej. 4 do 3 to 64, czyli 4 do minus 3 to 1/64. A co jeśli ułamek podniesiemy do potęgi ujemnej? Na przykład: ile to jest 4/5 do minus 1? Zobacz: nasze a to 4/5, n to 1. 4/5 do minus 1 to 1 przez 4/5 do potęgi 1, czyli 1 przez 4/5. Co robimy, gdy w mianowniku mamy ułamek ? Wtedy mnożymy licznik ułamka, czyli tu przez 1, przez odwrotność mianownika, otrzymując 5/4. Teraz samodzielnie powiedz, ile to jest 2/3 do minus 2. To jest to samo, co 1 przez 2/3 do kwadratu, czyli to samo, co 1 przez 2 do kwadratu przez 3 do kwadratu, czyli inaczej 1 przez 4/9. Mnożymy licznik przez odwrotność mianownika i otrzymujemy 9/4. Świetnie! Oto ostatni przykład. Ile to jest 1,25 do minus 2? Ciężka sprawa? Zobacz, zamieńmy ten ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. 1,25 to inaczej 5/4. Ile to jest 5/4 do minus 2? Wylicz to samodzielnie. Otrzymujemy wynik: 1 przez 5/4 do kwadratu, czyli licząc dalej: 1 przez 25/16. Ostatecznie da nam to 16/25. Gratulacje! Wróćmy jeszcze do zadania z samego początku naszego filmu. Wiemy, że taki zapis w systemie dwójkowym oznacza taki zapis w systemie dziesiętnym. Jest to pewne wyrażenie, którego wartość należy obliczyć. 1 razy 2 do minus 1 to 2 do potęgi minus 1. 0 razy 2 do minus 2 to oczywiście 0, a 1 razy 2 do minus 3 to 2 do minus 3. Mamy teraz takie wyrażenie. Spróbuj obliczyć jego wartość samodzielnie. 2 do minus pierwszej to 1 przez 2, czyli 1/2, a 2 do minus 3 to 1 przez 2 do potęgi 3, czyli jeden przez osiem, czyli 1/8. Sprowadzamy teraz oba te ułamki do wspólnego mianownika, którym jest 8. 1/2 to inaczej 4/8. 4/8 dodać 1/8 to oczywiście 5/8. Obliczyliśmy, że taki zapis w systemie dwójkowym oznacza 5/8 w systemie dziesiętnym. Gratulacje! Potęga o wykładniku ujemnym jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku. a do minus n to 1 przez a do n. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o notacji wykładniczej. Zachęcam cię do zobaczenia również innych filmów z tej playlisty, a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku: PistacjaMatematyka.