Notacja wykładnicza - zamiana jednostek

Łan królewski, źreb, włóka i morga chełmińska, sznur mierniczy kwadratowy, pręt większy kwadratowy, pólko, kopanka, łokieć kwadratowy, pręcik kwadratowy i tak dalej. Czy wiesz, co to jest? To niektóre ze staropolskich jednostek powierzchni. Niesamowicie brzmią, prawda? W życiu codziennym często korzystamy z wielu jednostek. Weźmy na przykład jednostki długości. Wiesz zapewne, że jeden kilometr to tysiąc metrów. Jak by zapisać tę liczbę w postaci potęgi liczby dziesięć? Tysiąc to oczywiście dziesięć do potęgi trzeciej, czyli jeden kilometr to dziesięć do trzeciej metrów. Zastanówmy się teraz, ile centymetrów stanowi jeden kilometr. Jak to zrobić? Wiesz dobrze, że jeden metr to sto centymetrów. Jak byś zapisał(a) tę liczbę w postaci potęgi liczby dziesięć? To oczywiście dziesięć do drugiej. Zobacz teraz: jeden kilometr to dziesięć do trzeciej metrów, a 1 metr to dziesięć do drugiej centymetrów. Aby policzyć, ile centymetrów stanowi jeden kilometr, trzeba podstawić 10 do drugiej centymetrów tutaj, w miejsce metra. Otrzymujemy, że jeden kilometr to dziesięć do trzeciej razy dziesięć do drugiej centymetrów, czyli razem dziesięć do piątej centymetrów. Operujemy też często różnymi jednostkami masy, na przykład kilogramami. Jeden kilogram to tysiąc gramów, czyli dziesięć do trzeciej. Zastanów się teraz i powiedz, jaką częścią jednego grama jest kilogram i w jaki sposób byś to policzył(a). Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Żeby sprawdzić, ile kilogramów jest w jednym gramie, musimy podzielić to równanie obustronnie przez dziesięć do trzeciej, a jeden przez dziesięć do trzeciej to inaczej dziesięć do minus trzeciej. Znamy również inne jednostki masy, na przykład tony. Wiemy, że jedna tona to tysiąc, czyli 10 do trzeciej kilogramów. Jaką częścią jednego kilograma jest tona? Analogiczne jak poprzednio dzielimy i otrzymujemy, że jeden kilogram to dziesięć do minus trzeciej tony. Super. A teraz zatrzymaj film i samodzielnie powiedz, ile ton mieści się w jednym gramie. Zbierzmy wszystkie informacje. Jeden gram to 10 do minus trzeciej kilograma, a jeden kilogram to 10 do minus trzeciej tony. Aby policzyć, ile ton stanowi jeden gram, należy w miejsce kilograma podstawić dziesięć do minus trzeciej tony. Dziesięć do minus trzeciej razy dziesięć do minus trzeciej daje dziesięć do minus szóstej. Teraz zajmijmy się jednostkami powierzchni. Jak sądzisz, ile decymetrów kwadratowych to jeden kilometr kwadratowy? Przydałoby się najpierw wiedzieć, ile decymetrów składa się na jeden kilometr. Z poprzednich zadań wiemy, że jeden kilometr to dziesięć do trzeciej metrów. Wiesz zapewne, że jeden metr to dziesięć decymetrów. Powiedz samodzielnie, ile decymetrów składa się na jeden kilometr. Podstawiamy dziesięć decymetrów w miejsce metrów i otrzymujemy, że jeden kilometr to dziesięć do czwartej decymetrów. Jak otrzymać z jednego kilometra jeden kilometr kwadratowy? Jeden kilometr kwadratowy to oczywiście kilometr do kwadratu. W miejsce kilometra podstawmy dziesięć do czwartej decymetra. Podnosimy wszystko do kwadratu. Dziesięć do czwartej do kwadratu to dziesięć do ósmej, natomiast decymetr do kwadratu to oczywiście decymetr kwadratowy. Otrzymaliśmy, że w jednym kilometrze kwadratowym mieści się dziesięć do ósmej decymetrów kwadratowych. A jak teraz policzyć, jaką częścią jednego milimetra kwadratowego jest metr kwadratowy? Po raz kolejny przydałoby się wiedzieć, ile milimetrów mieści się w jednym metrze. Spróbuj to obliczyć samodzielnie. Jeden metr to tysiąc milimetrów, czyli inaczej dziesięć do trzeciej. Dzielimy obustronnie przez dziesięć do trzeciej i otrzymujemy, że jeden milimetr to dziesięć do minus trzeciej metrów. Milimetr kwadratowy to oczywiście jeden milimetr do kwadratu. Podstawiamy w miejsce jednego milimetra w nawiasie dziesięć do minus trzeciej metrów i otrzymujemy dziesięć do minus szóstej metrów kwadratowych po podniesieniu do kwadratu. Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś/aś, cofnij film i obejrzyj ten fragment jeszcze raz. Zróbmy teraz krótkie zadanie. Mamy trzy działki. Powierzchnia pierwszej jest podana w metrach kwadratowych, powierzchnia drugiej w kilometrach kwadratowych, a powierzchnia trzeciej w centymetrach kwadratowych. Która z nich ma największą powierzchnię? Aby to sprawdzić, musimy wyrazić te wszystkie powierzchnie w tej samej jednostce. Mamy metry kwadratowe, kilometry kwadratowe i centymetry kwadratowe. Ja sprowadzę je do metra kwadratowego. Powierzchni pierwszej nie musimy zamieniać. Zapiszę jednak tę powierzchnię w notacji wykładniczej. Spróbujmy teraz zamienić powierzchnię drugiej działki na metry kwadratowe. Na początku zapisuję w notacji wykładniczej. Potem trzeba zamienić kilometry kwadratowe na metry kwadratowe. Pamiętajmy, że jeden kilometr to dziesięć do trzeciej metrów. Podstawiam i podnoszę nawias do kwadratu. Dalej otrzymuję powierzchnię działki w metrach kwadratowych. Spróbuj również samodzielnie zamienić powierzchnię trzeciej działki na metry kwadratowe. Na samym początku zapisuję powierzchnię w notacji wykładniczej, żeby uprościć obliczenia. Potem przyda nam się informacja, że jeden centymetr to dziesięć do minus drugiej metra. Podnoszę do kwadratu i ostatecznie otrzymuję powierzchnię działki w metrach kwadratowych. Która jest największa? Zobacz, że wszędzie mamy takie same wykładniki, więc porównujemy liczbę stojącą przed dziesiątką. Ta jest największa, czyli druga działka ma największą powierzchnię. Jeżeli czegoś nie rozumiesz, albo coś jest dla ciebie niejasne, cofnij film na sam początek zadania i prześledź dokładnie wszystkie obliczenia. Trafiliśmy teraz do trzeciego wymiaru. Jak sądzisz, jaką częścią jednego centymetra sześciennego jest metr sześcienny? Pamiętasz, jak robiliśmy w poprzednich przypadkach? Musimy najpierw wiedzieć, ile metrów stanowi jeden centymetr. Jeden centymetr to dziesięć do minus drugiej metrów. A ile to jest jeden centymetr sześcienny? To jeden centymetr do sześcianu. Tutaj podstawiamy dziesięć do minus drugiej metrów, podnosimy wszystko do sześcianu i otrzymujemy, że centymetr sześcienny to dziesięć do minus szóstej metrów sześciennych. Można również w drugą stronę powiedzieć, że jeden metr sześcienny to dziesięć do potęgi szóstej centymetrów sześciennych. A teraz samodzielnie oblicz, ile metrów sześciennych składa się na jeden kilometr sześcienny. Po raz kolejny powtarzamy, że jeden kilometr to dziesięć do trzeciej metrów. Jeden kilometr sześcienny to jeden kilometr do sześcianu. Po podstawieniu otrzymujemy, że dziesięć do dziewiątej metrów sześciennych to jeden kilometr sześcienny. Albo w drugą stronę, jeden metr sześcienny to dziesięć do minus dziewiątej kilometrów sześciennych. Zróbmy jeszcze jedno krótkie zadanie dla powtórzenia. Mamy trzy słoiki o trzech różnych pojemnościach. Który z nich ma największą pojemność? Zauważ, że pojemność pierwszego słoika jest podana w decymetrach sześciennych, drugiego w centymetrach sześciennych, a trzeciego w metrach sześciennych. Musimy wszystko sprowadzić do jednej jednostki. Ja sprowadzę do decymetra sześciennego. Zamienię od razu pojemność pierwszego słoika i zapiszę ją w notacji wykładniczej. Tak jak w poprzednim zadaniu, pomoże nam to w obliczeniach. Samodzielnie zamień teraz pojemności tych dwóch słoików na decymetry sześcienne. W pierwszym przypadku musimy najpierw wiedzieć, jaką częścią jednego centymetra jest decymetr. To dziesięć do minus pierwszej. Podstawiamy do nawiasu, podnosimy do sześcianu i otrzymujemy pojemność w decymetrach sześciennych. Tak samo z trzecim słoikiem. Musimy wiedzieć, ile decymetrów stanowi jeden metr, a jeden metr to dziesięć decymetrów. Podstawiamy tę wartość do nawiasu i podnosimy do sześcianu. Obliczamy i otrzymujemy pojemność w decymetrach sześciennych. Który słoik ma największą pojemność? Zauważ, że każda z tych potęg ma taki sam wykładnik, więc znowu musimy porównać pierwszą liczbę. Ta jest największa. Trzeci słoik ma największą pojemność. Jeszcze raz, jeżeli czegoś nie zrozumiałeś/aś z tego zadania, albo coś było dla ciebie za szybko zrobione, to cofnij wideo i przejrzyj obliczenia jeszcze raz. Zamieniając jednostki, warto stosować notację wykładniczą. Aby zamienić jednostkę kwadratową lub sześcienną, należy podnieść do odpowiedniej potęgi jednostkę liniową. Zobaczyłeś/aś właśnie kolejny film z playlisty o notacji wykładniczej. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouYube: PistacjaMatematyka.