Poszukiwanie zależności geometrycznych

Widzisz przed sobą, jak powstaje fraktal. Jest to bardzo skomplikowana figura geometryczna która nawet po bardzo dużym przybliżeniu wygląda tak samo, jak na początku. W tym filmie opowiem ci o zależnościach geometrycznych. Zobacz, narysowałem tutaj trójkąt którego wszystkie boki mają długość 1. Obok widzisz trójkąt którego wszystkie boki mają długość 2. W tym trójkącie boki mają długość 3 a w tym 4. Każdy kolejny trójkąt ma bok o 1 dłuższy od poprzedniego. Pytanie jest takie: Jaki obwód ma każdy z narysowanych trójkątów? Policzmy. Obwód pierwszego trójkąta to jest jeden plus jeden plus jeden czyli 3. Obwód drugiego trójkąta to dwa plus dwa plus dwa czyli 6. Obwód trzeciego trójkąta to trzy plus trzy plus trzy czyli 9. A jaki obwód ma czwarty trójkąt? 12, bo 4 plus 4 plus 4 czyli 4 razy 3 to jest 12. To teraz takie pytanie: Jaki obwód ma trójkąt o boku 5? Taki trójkąt ma trzy boki o długości 5 czyli obwód to jest 5 plus 5 plus 5 czyli 15. Zapiszę teraz ogólną zależność na obwód takich trójkątów. Jaki obwód ma trójkąt o boku n? Jeżeli trójkąt ma bok o długości n to jego obwód to jest n plus n plus n ponieważ taki trójkąt ma trzy boki i każdy z tych boków ma długość n. n plus n plus n to jest 3 razy n. Dzięki tej zależności możesz obliczyć obwód dowolnego trójkąta który ma boki takiej samej długości. Spójrz na taką geometryczną zależność. Tutaj mamy figurę numer 1 tutaj figurę numer 2 a tutaj figurę numer 3. Czy widzisz jakąś zależność między kolejnymi rysunkami? Zobacz: tutaj mamy kwadrat zbudowany z kółek. Dwa kółka na dwa kółka. Tutaj też mamy kwadrat którego bok składa się z 3 kółek. To jak będzie wyglądała figura numer 4? Chcemy mieć kwadrat z kółek którego bok to będą cztery kółka. Tutaj cztery kółka i tutaj cztery kółka. To teraz przejdźmy do pytań. Ile kółek potrzeba do zbudowania figury numer 4? Mamy cztery razy cztery kółka czyli 16 kółek. 4 razy 4 to 16. To ile kółek potrzeba do zbudowania figury numer pięć? Nie mamy jej jeszcze narysowanej ale może możesz zatrzymać teraz film narysować tę figurę i samemu odpowiedzieć na to pytanie. Chcemy mieć kwadrat zbudowany z kółek 5 kółek w dół i 5 kółek w prawo. Razem wszystkich kółek mamy 5 razy 5 czyli 25. To teraz ogólne pytanie: Ile kółek potrzebujemy do zbudowania figury numer n? Przez n oznaczę sobie numer figury. Zobacz, do czwartej figury potrzebowaliśmy 4 razy 4 kółka czyli 16. Do piątej potrzebowaliśmy 5 razy 5 kółek czyli 25. Do dowolnej figury, gdzie n jest jej numerem potrzebujemy n razy n kółek co możemy zapisać jako n podniesione do kwadratu. Dzięki tej zależności nie musimy wykonywać rysunków kolejnych figur. Marysia narysowała równoległobok położony w układzie współrzędnych tak, jak widzisz na rysunku. Odczytajmy współrzędne prawego górnego wierzchołka tego równoległoboku. x to jest 9 a y to jest 3. Zatem ten punkt ma współrzędne (9,3). Marysia rysowała kolejne równoległoboki w taki sposób, jak widzisz na obrazku. Odczytajmy współrzędne prawego górnego wierzchołka równoległoboku numer 2. Ten punkt ma współrzędne (14,3). Odczytajmy współrzędne prawego górnego wierzchołka równoległoboku numer 3. Ten punkt ma współrzędne (19,3). Teraz zadanie dla ciebie. Zastanów się, jakie współrzędne będzie miał prawy górny wierzchołek następnego równoległoboku. Ten punkt będzie miał współrzędne (24,3). Istnieje pewna zależność między współrzędnymi tych punktów. Wybierz, który z poniższych zapisów przedstawia współrzędne prawego górnego wierzchołka równoległoboku o numerze n. Mamy dwie propozycje: 4n dodać (5,3) oraz 5n plus (4,3). Jak sprawdzić, który z tych dwóch zapisów jest poprawny? Spójrz na obrazek. Mamy tutaj współrzędne równoległoboku o numerze 1 o numerze 2 o numerze 3 i o numerze 4. Sprawdźmy, czy podane zależności są poprawne dla tych równoległoboków które mamy na obrazku. Weźmy sobie równoległobok o numerze 1. 4 razy 1 dodać (5,3). Po obliczeniach otrzymujemy (9,3). Prawy górny wierzchołek pierwszego równoległoboku ma dokładnie takie współrzędne. Sprawdźmy, co się dzieje dla równoległoboku numer 2. 4 razy 2 dodać (5,3). W miejsce n wstawiłem numer równoległoboku czyli 2. Otrzymałem punkt (13,3). Ale zobacz, prawy górny wierzchołek drugiego równoległoboku ma inne współrzędne. Zatem ta zależność nie przedstawia współrzędnych powyższych równoległoboków. Sprawdź samodzielnie czy opisuje je druga z zależności. Dla pierwszego równoległoboku otrzymaliśmy (9,3). Dla drugiego równoległoboku otrzymaliśmy (14,3). Gdy będziemy sprawdzać rachunki dalej zobaczymy, że ta zależność opisuje powyższe równoległoboki. Najróżniejsze szlaczki geometryczne możesz opisywać za pomocą wyrażeń algebraicznych. Chcesz wiedzieć więcej? Obejrzyj pozostałe filmy o sumach algebraicznych i zajrzyj na naszą stronę Pistacja.tv.