Czy wiesz, że do naładowania baterii nowoczesnych telefonów do poziomu 80% wystarczy tylko 50 minut? W tym filmie zajmiemy się takim właśnie problemem: jak rozwiązać zadania tekstowe z zastosowaniem procentów? Rozpoczniemy takim zadaniem: Jogurt kosztuje o 20% mniej niż twarożek. Za 2 twarożki i 5 jogurtów zapłacono 7,20 zł. Ile kosztuje jeden jogurt? Nie znamy ani ceny twarożku ani ceny jogurtu. Umówmy się, że niewiadoma t będzie od teraz oznaczać cenę twarożku. A co możemy powiedzieć o cenie jogurtu względem ceny twarożku? Wiemy, że jogurt kosztuje o 20% mniej niż twarożek czyli jego cena wynosi 80% ceny twarożku. Dla wygody dalszych obliczeń pozbądźmy się tego procenta i zamieńmy 80% na odpowiedni ułamek. 80% to samo co 80/100 i to samo co 0,8 Ja w tym filmie będę posługiwał się zapisem z ułamkiem dziesiętnym. Co powiedziano w treści zadania na temat ilości zakupionych twarożków i ilości zakupionych jogurtów? Wiemy, że kupiono 2 twarożki czyli zapłacono za nie 2 razy t bo cena jednego twarożku to dokładnie t. I wiemy, że kupiono 5 jogurtów a cena jednego jogurtu to 0,8t i za takie zakupy zapłacono 7,20 zł. Czy masz już pomysł, jakie równanie możemy ułożyć, aby obliczyć cenę twarożku? Powinno ono wyglądać w ten sposób. Mamy tu 2 twarożki, każdy w cenie t i dodajemy do naszych zakupów 5 jogurtów, każdy w cenie 0,8t Wyszło nam, że łącznie do zapłaty mamy 7,20 zł. 2 razy t da nam 2t a 5 razy 0,8 da nam 4t 2t dodać 4t da nam 6t i aby wyznaczyć teraz wartość t musimy obie strony równania podzielić przez 6 co da nam, że t równa się 1,20 złotego Świetnie! Znamy już cenę twarożku. Czy to już koniec zadania? Nie, bo zapytano nas ile kosztuje jeden jogurt a nie jeden twarożek. Cenę jogurtu obliczymy podstawiając za t obliczoną wcześniej wartość do tego wyrażenia. Mamy 0,8 razy 1,20 bo tyle wynosi obliczone przez nas t i gdy wymnożymy te dwie liczby to otrzymamy 0,96 złotego. I tyle właśnie wynosi cena jednego jogurtu. Zastanówmy się jeszcze czy skoro jogurt kosztuje o 20% mniej niż twarożek to poprawnym założeniem byłoby też ustalenie takiej równości że cena twarożku wynosi 120% ceny jogurtu. Otóż nie bo liczba o 20% większa od 0,96 niekoniecznie musi być mniejsza o 20% od 1,20. Spójrz. Gdy 0,96 pomnożymy razy 120% otrzymamy około 1,15 Wniosek z tego taki że zawsze staraj się układać założenia tak aby były całkowicie zgodne z informacjami zamieszczonymi w treści zadania. Teraz zapiszmy odpowiedź. Może ona brzmieć na przykład tak: Jeden jogurt kosztuje 96 groszy. Spójrzmy na treść drugiego zadania. Ile czystej wody należy dolać do 4 litrów 18% roztworu cukru aby otrzymać roztwór 12%? Co mamy znaleźć w tym zadaniu? Ilość wody, którą trzeba dolać do wyjściowego roztworu. Skoro będziemy dolewać wody to co się stanie? Wzrośnie objętość naszego roztworu. A co się nie zmieni? Masz rację. Ilość cukru, bo cukru nie dosypujemy. Wiedząc to, ustalmy co będzie naszą niewiadomą. Skoro dolewamy czystej wody to poprzez niewiadomą x oznaczmy sobie ilość czystej wody, którą należy dolać. Aby łatwiej było nam rozwiązać to zadanie przygotowałem taki rysunek. Mamy tu pierwszy kubełek, w którym znajdują się 4 litry 18% roztworu cukru Co będziemy do niego dolewać? Będziemy dolewać x litrów czystej wody. Skoro jest to czysta woda to stężenie cukru w takim roztworze wynosi 0% i gdy dodamy do 4 litrów roztworu 18% x litrów czystej wody mamy otrzymać 12% roztwór cukru. I korzystając z teraz z informacji że ilość cukru się nie zmieni możemy na podstawie rysunku w bardzo prosty sposób ułożyć odpowiednie równanie. W pierwszym kubełku cukier stanowi 18% z 4 litrów co zapiszemy w ten sposób. W drugim kubełku mamy zero % cukru co możemy zapisać w ten sposób i wiemy, że ilość cukru się nie zmieni więc możemy teraz tutaj postawić znak równości względem trzeciego kubełka w którym cukier stanowi 12% z 4 plus x litrów roztworu. Świetnie! Ułożyliśmy już odpowiednie równanie. Aby pozbyć się procentów pomnóżmy obie strony równania przez 100. Da nam to takie wyrażenie 4 razy 18 to 72 x razy zero da nam zero 4 razy 12 da nam 48 a x razy 12 da nam 12x. Przerzućmy 48 na drugą stronę pamiętając o tym, że musimy tutaj zmienić znak. 72 minus 48 da nam 24 czyli mamy: 24 równa się 12x i aby wyznaczyć wartość x musimy teraz obie strony równania podzielić przez 12 co da nam ostatecznie że nasz x jest równy 2 litrom. Świetnie! Wiemy już, ile czystej wody musimy dolać, aby otrzymać 12% roztwór. Zapiszmy odpowiedź. Może ona brzmieć na przykład tak: Należy dolać 2 litry czystej wody. Było to dość trudne zadanie więc wykonajmy teraz wspólnie sprawdzenie. W pierwszym kubełku objętość cukru stanowi 18% z całości, czyli z 4 litrów. Gdy wymnożymy objętość całego roztworu przez stężenie substancji rozpuszczonej czyli cukru w naszym przypadku to otrzymamy objętość substancji rozpuszczonej. Wyjdzie nam tutaj 0,72 litra W drugim kubełku nie było w ogóle cukru. Objętość cukru w naszym układzie nie może się zmienić zatem w trzecim kubełku powinniśmy otrzymać że objętość cukru wynosi 0,72 litra. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest. Objętość roztworu to 4 plus x stężenie substancji rozpuszczonej wynosi 12% Gdy za x wstawimy obliczoną wcześniej wartość, czyli 2 otrzymamy 6 razy 0,12 aby pozbyć się procenta i da nam to ostatecznie 0,72 litra. Jak widzimy, objętość cukru nie zmieniła się. To oznacza, że wykonaliśmy nasze zadanie poprawnie. Na koniec rozwiążmy jeszcze taki przykład: Jeśli jedną parę boków równoległych kwadratu wydłużymy o 1 centymetr a drugą wydłużymy o 2 centymetry to obwód powstałego prostokąta będzie stanowić 125% obwodu kwadratu. Jaka jest długość boku kwadratu? Zacznijmy od narysowania odpowiednich rysunków. Wiemy, że wyjściowa figura to kwadrat. Skoro nie znamy długości boku kwadratu to oznaczmy ją jako niewiadomą, na przykład x. W treści zadania powiedziano nam że jedną parę boków równoległych kwadratu wydłużamy o 1 centymetr a drugą wydłużamy o 2 centymetry co oznacza, że otrzymamy prostokąt. Ja przyjąłem, że pionową parę boków wydłużę o 1 centymetr a poziomą wydłużę o 2 centymetry. Oczywiście równie poprawnym rozwiązaniem byłoby zrobienie tego na odwrót. Skoro ten bok wydłużyłem o 1 centymetr to teraz długość tego boku wynosi x plus 1. Oczywiście ten bok również ma taką długość. Natomiast poziomy bok wydłużamy o 2 centymetry czyli nowa długość wynosi teraz x plus 2. Wiemy, że obwód powstałego prostokąta będzie stanowić 125% obwodu kwadatu. Warto zatem teraz obliczyć obwód kwadratu oraz obwód prostokąta. Zacznijmy od obwodu kwadratu. Każdy bok tego kwadratu ma długość x więc obwód wynosi 4x. Nieco więcej obliczeń będzie w przypadku obwodu prostokąta. Mamy tu dwa boki o długości x plus 2 oraz dwa boki o długości x plus 1. Pozbądźmy się nawiasów co da nam 2x plus 4 plus 2x plus 2 i gdy wykonamy dodawanie otrzymamy 4x plus 6. Świetnie! Znamy już obwody obu figur. Wróćmy więc do zależności że obwód prostokąta będzie stanowić 125% obwodu kwadratu. Czy masz pomysł, jak zapisać ten opis ale za pomocą odpowiednich wyrażeń algebraicznych? Za obwód prostokąta możemy podstawić wyrażenie 4x plus 6 równa się 125% razy i za obwód kwadratu możemy wstawić 4x Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie. Ja w pierwszym kroku zamieniłem sobie 125% na 1,25 aby ułatwić sobie obliczenia. Lewą stronę równania przepisujemy bez zmian a 1,25 razy 4x da nam 5x. Wyrażenia zawierające x przenieśmy na lewą stronę a liczby na prawą. Otrzymamy wtedy 4x minus 5x równa się minus 6 Po wykonaniu obliczeń otrzymamy: minus x równa się minus 6 i aby wyznaczyć wartość x musimy obie strony równania pomnożyć przez minus 1. Obliczyliśmy, że nasz x jest równy 6 centymetrom. Zapiszmy odpowiedź. Zapytano nas, jaka jest długość boku kwadratu więc odpowiedź do tego zadania może brzmieć na przykład tak: Długość boku kwadratu wynosi 6 centymetrów. Rozwiązując zadania z procentami zawsze dobrze się zastanów co będzie twoją niewiadomą. Jeśli lekcja Ci pomogła, zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie: PistacjaMatematyka.