Do magazynu przyjeżdża ciężarówka, której kierowca zostawia 3 beczki i 2 worki a zabiera 120 złotych. Potem przyjeżdża inna ciężarówka. Kierowca zostawia dwie beczki ale zabiera 2 worki i 30 złotych. Ile kosztuje beczka, a ile worek? Jak rozwiązać tę zagadkę? Oznaczmy jako b cenę jednej beczki a jako w, cenę jednego worka. Pierwszy kierowca za 3 beczki i 2 worki otrzymał 120 złotych. Jak zapisać to równaniem? Za 3 beczki należy zapłacić 3 razy b. Za 2 worki należy zapłacić 2 razy w. Łącznie za 3 beczki i 2 worki zapłacono 120 złotych. Czyli 3b dodać 2w równa się 120. To będzie nasze pierwsze równanie. A co z drugim kierowcą? On też przywiózł beczki. Tym razem dwie. Ale zabrał ze sobą 2 worki. Za przywiezienie dwóch beczek i zabranie dwóch worków otrzymał 30 złotych. To nasze drugie równanie. Uzyskaliśmy układ równań. Zauważ, że jest to bardzo dobra postać aby wykorzystać metodę przeciwnych współczynników. Dodaję do siebie obie strony tych równań. Lewa strona pierwszego równania do lewej strony drugiego równania i prawa strona pierwszego równania do prawej strony drugiego równania. Co otrzymamy? Zauważ że w otrzymanym równaniu 2w i -2w dają w rezultacie 0. Uprośćmy otrzymane równanie. 3b dodać 2b to 5b a 120 plus 30 to 150. Aby otrzymać b należy podzielić to równanie obustronnie przez 5. Otrzymujemy że b równa się 30. Aby obliczyć w podstawiam 30 w miejsce b na przykład do pierwszego równania. 3 razy 30 to 90. 90 dodać 2w to 120. Obustronnie odejmuję 90. Otrzymuję, że 2w to 30. Aby obliczyć w należy obustronnie podzielić przez 2. I w równa się 15. Zobacz. Właśnie rozwiązaliśmy naszą zagadkę. Staś jest starszy od Hani o 4 lata. Razem mają 10 lat. Ile lat ma każde z nich? Przeczytaj treść zadania jeszcze raz i odpowiedz na pytanie. Czego szukamy? Szukamy wieku Stasia oraz wieku Hani. To będą nasze niewiadome. Wprowadziłem s jako wiek Stasia oraz h jako wiek Hani. Sprawdźmy jakie informacje są podane w treści zadania. Wiemy, że Staś jest starszy od Hani o 4 lata. Jak możemy to zapisać w postaci równania wykorzystując nasze dwie niewiadome s i h? Skoro Staś jest starszy od Hani o 4 lata to jeśli do wieku Hani dodamy 4 otrzymamy wiek Stasia. Czyli s równa się h plus 4. Jaką mamy dodatkową informację? Wiemy, że Staś i Hania razem mają 10 lat. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie ułożyć drugie równanie. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Staś i Hania mają razem 10 lat. Czyli s dodać h równa się 10. Czy możemy już wykorzystać metodę przeciwnych współczynników? Nie. Musimy odpowiednio przekształcić równanie. Od pierwszego równania obustronnie odejmuję h. Otrzymuję s minus h równa się 4. Zauważ, że przy h stoją przeciwne współczynniki. Tutaj -1 a tutaj +1. Dodajmy teraz te równania stronami. Otrzymujemy s minus h dodać s plus h równa się 4 plus 10. -h plus h daje razem 0. Otrzymujemy dalej że 2s równa się 14. Aby wyznaczyć s należy obustronnie podzielić to równanie przez 2. Otrzymujemy, że s równa się 7. To oznacza, że Staś ma 7 lat. Ile lat ma Hania? Podstawiamy 7 na przykład do pierwszego równania. 7 równa się h plus 4 czyli h równa się 3. Hania ma 3 lata. Kolejne zadanie. Za 1 nóż i 2 widelce mama zapłaciła 11 złotych. Widelec jest tańszy od dwóch noży o 7 złotych. Ile kosztuje 1 widelec, a ile 1 nóż? Czego szukamy? Szukamy ceny widelca i ceny noża. Takie będą nasze niewiadome. Ja oznaczę poprzez w cenę widelca a poprzez n cenę jednego noża. Z treści zadania wiemy że za 1 nóż i 2 widelce mama zapłaciła 11 złotych. Cena jednego noża to n. A cena dwóch widelców to 2w. Łącznie daje 11 złotych. Czyli n plus 2w równa się 11. To nasze pierwsze równanie. Wiemy też, że widelec jest tańszy od dwóch noży o 7 złotych. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie ułożyć drugie równanie do układu równań. Następnie porównaj swój wynik z moim. Cena dwóch noży to cena jednego widelca plus 7 złotych. Aby rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynników należy przekształcić te dwa równania. Pierwsze mnożę razy 2 a od drugiego odejmuję obustronnie 2n. Taki układ równań mogę bez problemu rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Ostatecznie otrzymuję, że 5w to 15 czyli w równa się 3. Aby otrzymać n możemy na przykład podstawić 3 w miejsce w do drugiego równania. 3 plus 7 to 10. W takim razie 10 równa się 2n. Po podzieleniu przez 2 otrzymuję, że n równa się 5. Jeden widelec kosztuje 3 złote a jeden nóż kosztuje 5 złotych. Jeszcze jedno zadanie na sam koniec. Rozwiąż ten układ równań metodą przeciwnych współczynników. Do dzieła. Obustronnie mnożę drugie równanie przez 2 aby zredukować x. Zobacz, tutaj mamy 2x a tutaj będziemy mieli -2x. Po wymnożeniu otrzymuję takie równanie: -2x plus 2y równa się -12. Pamiętaj o przemnożeniu każdego elementu przez 2. Teraz dodaję równania stronami. x się redukują. Otrzymuję -y równa się 2. Czyli y równa się -2. Wystarczy jedynie podstawić -2 w miejsce y do pierwszego albo do drugiego równania. W ten sposób wyliczamy x. Wyszło, że x równa się 4. Zauważ, że drugie równanie mogłeś przemnożyć również przez 3. Tak aby zredukować y. Nieważne, jaką metodę wybrałeś. Powinieneś otrzymać dokładnie taki sam wynik. Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników polega na dodawaniu do siebie osobno lewych i prawych stron obu równań. Przy takim dodawaniu jedna z niewiadomych musi się skrócić. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty dotyczącej układów równań. Odwiedź również naszą stronę internetową.