Mama wysłała Karola na zakupy i wręczyła mu 10 złotych. Karol kupił 2 jabłka i 2 banany. Stwierdził, że wydał wszystkie pieniądze. Mama była tym zaskoczona. Wczoraj kupiła 1 jabłko i 1 banana za 3 złote. Czy Karol oszukał mamę? Spróbujmy rozwiązać tę zagadkę. Karol powiedział, że kupił 2 banany i 2 jabłka za 10 złotych czyli, że wydał wszystkie pieniądze które otrzymał od mamy. Mama natomiast wczoraj kupiła jednego banana i jedno jabłko za 3 złote. Jak sprawdzić, czy Karol zachował resztę dla siebie? Ułóżmy odpowiedni układ równań. Jako b oznaczę cenę jednego banana a jako j cenę jednego jabłka. Karol twierdzi, że kupił 2 banany i 2 jabłka za 10 złotych. Jeśli 1 banan kosztuje b to 2 banany kosztują 2b. Z kolei jeśli jedno jabłko kosztuje j to 2 jabłka kosztują 2j. W takim razie równanie wygląda następująco 2b, czyli cena 2 bananów plus 2j, czyli cena 2 jabłek równa się 10. Zatrzymaj teraz film i spróbuj ułożyć podobne równanie dla wersji mamy. Następnie porównaj swój wynik z moim. Mama kupiła jednego banana i jedno jabłko za 3 złote. Stąd drugie równanie. b plus j równa się 3. Należy teraz rozwiązać układ równań. Ja wykorzystam metodę przeciwnych współczynników i wymnożę drugie równanie obustronnie przez -2. Otrzymuję takie równanie -2b minus 2j równa się -6. Przy mnożeniu przez liczbę ujemną pamiętaj o zmianie znaku. Teraz dodaję oba te równania stronami. Co otrzymamy? 2b plus 2j minus 2b minus 2j równa się 10 minus 6. Uprośćmy to równanie. Zobacz. 2b nam się skraca. Podobnie 2j. Co otrzymujemy na samym końcu? Otrzymaliśmy że 0 równa się 4. 0 równa się 4? Przecież tak nie może być. Takie równanie nazywamy sprzecznym. To znaczy, że nie ma ono rozwiązań. Jeżeli na samym końcu otrzymujesz równanie sprzeczne to oznacza, że układ równań nie ma rozwiązania. Taki typ układu równań nazywamy układem sprzecznym. Z tego wynika że Karol jednak oszukał mamę i zachował resztę dla siebie. Wcześniej rozwiązywaliśmy układy równań z jednym rozwiązaniem. Przed chwilą zajmowaliśmy się układem równań bez rozwiązań. Czy są jeszcze jakieś inne? Sprawdźmy, ile rozwiązań ma ten układ równań. a plus 3b równa się 4 oraz 2a równa się 8 minus 6b. Ja skorzystam z metody podstawiania i wyznaczę a z pierwszego równania. W jaki sposób to zrobić? Należy obustronnie odjąć 3 b. Otrzymuję, że a równa się 4 minus 3b. Teraz 4 minus 3b należy podstawić w miejsce a do drugiego równania. Teraz uprościmy otrzymane równanie. Mnożę wyrażenie w nawiasie przez 2. Otrzymuję, że 8 minus 6b jest równe 8 minus 6b. Zauważ, że po obu stronach tego równania mamy to samo wyrażenie. Możemy skrócić 8 oraz -6b. Obie strony tego równania nam się skróciły czyli otrzymujemy, że 0 równa się 0. Czy jest to prawda? Oczywiście, że tak? Możemy to powiedzieć w taki sposób: równanie 0 równa się 0 jest zawsze spełnione. Skoro otrzymaliśmy, że 0 równa się 0 to nasz pierwotny układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. To oznacza że jest nieskończenie wiele par liczb które są rozwiązaniem tego układu równań. Taki typ układu równań nazywamy układem nieoznaczonym. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Na koniec spróbuj ułożyć zadanie do tego układu równań. Możesz je potem zamieścić w komentarzu pod filmem. Uporządkujmy teraz naszą wiedzę dotyczącą układów równań. Do tej pory miałeś przede wszystkim do czynienia z układem oznaczonym. Układ oznaczony posiada jedno rozwiązanie. W tej lekcji poznałeś jeszcze inne typy układów równań. Układ nieoznaczony oraz układ sprzeczny. Układ nieoznaczony posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Jak go rozpoznać? Jeżeli pod koniec obliczeń otrzymasz, że 0 równa się 0 to masz do czynienia z układem nieoznaczonym. Z kolei układ sprzeczny nie posiada rozwiązań. Jak go rozpoznać? Jeżeli pod koniec obliczeń otrzymasz równanie sprzeczne na przykład, że 0 równa się 3, to oznacza że masz do czynienia z układem sprzecznym. Czas teraz na mały trening. Oto dwa układy równań. Zatrzymaj teraz film, rozwiąż je i powiedz do jakiego typu zaliczamy każdy z przedstawionych układów równań. Czy jest to układ oznaczony układ nieoznaczony czy układ sprzeczny? Zacznij od układu po lewej stronie. Do dzieła. Pierwszy układ równań rozwiążę metodą przeciwnych współczynników. Będę chciał zredukować y. W pierwszym równaniu przy y stoi 3 a w drugim 6. Jaki jest przeciwny współczynnik do sześciu? To -6. Przez co muszę przemnożyć 3 aby otrzymać -6? Przez -2. Całe pierwsze równanie wymnożę obustronnie przez -2. Otrzymuję -2x minus 6y równa się -30. Teraz dodaję oba te równania stronami. Po lewej stronie otrzymuję -2x plus 2x minus 6y plus 6y. Zauważ że x nam się skrócą. Mamy -2x plus 2x co w rezultacie daje 0. y również się skrócą. -6y dodać 6y w rezultacie daje 0. Z kolei po prawej stronie skróci nam się -30 i +30. Ostatecznie otrzymamy że 0 równa się 0. Nasz układ równań jest układem nieoznaczonym. Teraz drugi układ równań. Też rozwiążę go metodą przeciwnych współczynników. Tym razem skrócimy x. W pierwszym równaniu przy x stoi 1 a w drugim 2. Jaki jest przeciwny współczynnik do dwóch? To -2. Przez co należy przemnożyć pierwsze równanie aby otrzymać -2x? Przez -2. Otrzymuję -2x minus 6y równa się -30. Dodaję te równania stronami. Po lewej stronie otrzymuję -2x plus 2x minus 6y plus 6y. x nam się skrócą. Mamy -2x plus 2x. Podobnie y. Mamy -6y plus 6y. -30 plus 25 to -5. Ostatecznie otrzymujemy że 0 równa się -5. To oczywiście nie jest prawda. Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. To oznacza że nasz układ równań jest układem sprzecznym i nie ma rozwiązań. Układ równań może mieć jedno rozwiązanie nieskończenie wiele rozwiązań lub może nie mieć żadnego rozwiązania. Jeśli ma jedno rozwiązanie nazywamy go układem oznaczonym. Jeśli nieskończenie wiele rozwiązań układem nieoznaczonym. A jeśli nie ma żadnego rozwiązania układem sprzecznym. Zobaczyłeś właśnie kolejny film dotyczący układów równań. Zobacz inne filmy z tej playlisty oraz odwiedź naszą stronę internetową.