Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest liczba pi,
  • jak obliczyć obwód koła,
  • jak obliczyć długość okręgu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Kto i bada, i liczy, myśliciel to wielki. Mylić się zwykł jednakże matematyk wszelki. Ot, taki ciekawy wierszyk o matematyce ale z tego filmu dowiesz się, jakie jest głębsze powiązanie tego wiersza z matematyką i okręgami w szczególności. Być może wiesz o tym, że aby dobrać oponę do koła rowerowego, trzeba znać jego średnicę. Średnicę kół rowerowych zwyczajowo podaje się w calach. Jest to inna jednostka długości. Przyjmijmy, że średnica naszego koła wynosi 28 cali, albo mówiąc inaczej, 77 cm. Jak myślisz, jaka będzie średnica opony gdy średnica koła wynosi 71 cm? Będzie taka sama. Zauważ, że opona rowerowa to pewien okrąg. Jak pamiętasz, obwód koła stanowi długość okręgu. Zmierzmy w takim razie obwód tego koła. W naszym przypadku ten obwód to 223 cm. Gdybyśmy teraz rozcięli oponę i ją rozprostowali, to miałaby ona długość 223 cm. Spróbujmy teraz policzyć stosunek obwodu do średnicy, czyli mówiąc inaczej dzielimy obwód przez średnicę. To 223 przez 71, czyli około 3,14. Czy otrzymaliśmy coś wyjątkowego? Ot, zwykła liczba, 3 i 14 setnych. Ale teraz weźmy jakiś inny, okrągły przedmiot i zróbmy tak samo. Weźmy ten zegarek. Zmierzmy jego średnicę. To 15,5 centymetra. Zmierzmy również jego obwód. To 48 i 7/10 cm. I znowu wyznaczamy stosunek obwodu do średnicy. Tym razem mamy dokładniejsze pomiary czyli uzyskaliśmy dokładniejszy wynik 3 i 142 tysięczne. Zauważ, że uzyskaliśmy niemal identyczny wynik, chociaż mierzyliśmy dwa zupełnie różne przedmioty. Okazuje się, że w każdym kole i w każdym okręgu stosunek obwodu do średnicy zawsze jest stały. Matematycy oznaczają tę liczbę grecką literą Pi. Jestem pewien, że kiedyś o niej słyszałeś. Ile wynosi pi? Nie potrafimy tego powiedzieć. Jest liczbą niewymierną. W zadaniach najczęściej wykorzystywać będziemy jej przybliżenia: albo 3 i 14 setnych albo 22/7. Zachęcam Cię, abyś przeprowadził swój własny eksperyment. Znajdź jakiś okrągły przedmiot zmierz jego obwód na przykład za pomocą sznurka i jego średnicę, i wyznacz ich stosunek. Następnie wstaw wynik w komentarzu. Powinieneś otrzymać liczbę Pi tylko z różnie dokładnym przybliżeniem. Dokładność wyniku będzie zależeć od dokładności pomiarów. Jaki jest związek wiersza z początku lekcji z liczbą pi? Zauważ, że każde kolejne słowo w tym wierszyku ma tyle liter ile wynosi kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby pi: 3, 1, 4, 1, 5... i tak dalej, i tak dalej. Za pomocą tych wierszyków można się lepiej nauczyć rozwinięcia dziesiętnego. Wystarczy jednak, że zapamiętasz te dwa przybliżenia. Dowiedzieliśmy się przed chwilą że stosunek obwodu do średnicy jest równy liczbie pi i wiemy też, że jest to prawdziwe dla każdego, dowolnego koła czy okręgu. Koła i okręgi najczęściej charakteryzujemy za pomocą ich promienia który oznaczamy małą literą r. Średnica jest dwa razy większa od promienia. Możemy ją oznaczyć jako 2r i podstawić do wzoru w odpowiednim miejscu. W takim razie obwód przez 2 r daje nam pi. Czy możemy wyznaczyć obwód znając średnicę a tak naprawdę promień koła? Tak. Musimy obustronnie pomnożyć przez 2 r. Otrzymujemy bardzo ważny wzór na obwód koła: dwa pi er. No dobrze, a jaki jest obwód koła o promieniu 4 cm? Podstawiamy do wzoru: w miejsce r - 4 cm. Dwa pi razy 4 cm to 8 pi centymetrów. Jeżeli w zadaniu nie jest powiedziane żeby w miejsce pi podstawić jej przybliżenie liczbowe, to wynik pozostawiamy tak, jak tutaj. To jaki jest obwód koła o promieniu 8 cm? Zatrzymaj film i policz to samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Do wzoru w miejsce R podstawiamy 8 cm. 2 razy 8 to 16, czyli obwód tego koła to 16 pi centymetrów. Wracamy do naszego wzoru na obwód. A wyobraź sobie taką sytuację. Czy możemy wyznaczyć promień znając obwód koła? Pewnie, że tak. Musimy obustronnie podzielić przez 2 pi. Otrzymamy, że promień to obwód koła przez dwa pi. To pytanie: jaki musi być promień, by obwód wyniósł 20 pi? Podstawiamy 20 pi do wzoru w odpowiednim miejscu i otrzymujemy odpowiedź. Promień musiałby mieć długość 10. A teraz zastanów się i powiedz jaki musiałby być promień, aby obwód koła wyniósł dokładnie pi? Podstawiamy pi do wzoru i otrzymujemy że promień to 1/2, albo inaczej mówiąc że średnica tego koła wynosi dokładnie jeden. Wiedząc to, możemy przedstawić pi na osi liczbowej. Zobacz: tutaj mamy koło o średnicy 1. Spróbujmy je teraz tak jakby rozwinąć wzdłuż osi liczbowej. Jak widzisz, wylądowaliśmy tuż za trójką w okolicy liczby 3 i 14 setnych. A teraz mamy takie zadanie. Ile osób o rozpiętości ramion równej 150 cm potrzeba, aby objąć pień dębu Bartek którego średnica wynosi 3 i 14 setnych metra? Przyjmij przybliżenie pi jako 3 i 14 setnych. Czego szukamy w tym zadaniu? Musimy policzyć, ile osób jest potrzebnych aby móc objąć pień dębu Bartek. W jaki sposób to zrobić? Zauważ, że znamy rozpiętość ramion każdej z tych osób. Jeżeli wszystkie te osoby staną wokół drzewa i złapią się za ręce, to utworzą pewien okrąg. Jaka będzie długość tego okręgu? To będzie liczba osób razy rozpiętość ramion. Rozpiętość ramion znamy. Szukamy więc takiej liczby osób, aby utworzony okrąg był równy obwodowi drzewa. A jak wyznaczyć ten obwód? Ze wzoru, który już znamy: dwa pi er. Musimy znać promień drzewa. Czy wiemy, ile on wynosi? Nie, ale znamy średnicę drzewa. To 3 i 14 setnych metra. Średnicę oznaczaliśmy jako 2 r. Znając średnicę, możemy już obliczyć obwód. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Pamiętaj, że średnica to 2 r czyli 3 i 14 setnych wstawiamy w miejsce 2r. Obwód drzewa to w takim razie 3,14 metra razy przybliżenie pi, czyli też 3 i 14 setnych. Otrzymujemy taki wynik. Podstawiamy do pierwszego równania brakujące dane: obwód drzewa oraz rozpiętość ramion. Pamiętaj, aby rozpiętość ramion podać w metrach. Dobrze. A teraz samodzielnie wyznacz liczbę osób, które są potrzebne, aby objąć dąb Bartek. Wystarczy, że obustronnie podzielimy to równanie przez półtora metra. Otrzymujemy taką liczbę. Czy jest to poprawna odpowiedź? Nie. Liczba osób powinna być liczbą naturalną. Musimy więc zaokrąglić w górę, do siedmiu bo trzeba siedmiu osób o takiej rozpiętości ramion, aby objąć pień dębu Bartek. Liczbą pi nazywamy stosunek długości okręgu i jego średnicy. Jest on taki sam dla dowolnego okręgu. Pi jest liczbą niewymierną. Najczęściej posługujemy się jednym z jej dwóch przybliżeń. Dzięki tej stałej możemy obliczyć długość okręgu, czyli obwód koła. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o kołach i okręgach. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Joanna Zalewska, Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Andrzej Pieńkowski, Раїса Скорик

Opracowanie dźwięku: Maciej Rosiak

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg