Twierdzenie Pitagorasa - wprowadzenie

Myli się ten, kto myśli, że najbardziej znane twierdzenie na świecie dotyczące geometrii, czyli twierdzenie Pitagorasa, zawdzięczamy tylko Pitagorasowi. Dokumenty pozostałe po niezależnie rozwijających się cywilizacjach Babilonu czy Egiptu pokazują, że zależności boków w trójkątach prostokątnych były znane już dużo wcześniej. Widzisz plan boiska do siatkonogi. To boisko ma kształt prostokąta. Jego rzeczywiste wymiary to 4m na 6m. Ta linia oznacza siatkę, która dzieli boisko na dwie jednakowe części. Połowa tego boiska jest zatem prostokątem o wymiarach 4m na 3m. Przed rozpoczęciem treningu jedna z drużyn, która składała się z 3 zawodników, ustawiła się w taki oto sposób. Łatwo zauważyć, że zawodnicy znajdują się na przekątnej swojej połowy. W jakiej odległości od siebie znajdują się zawodnicy stojący na końcach przekątnej swojej połowy boiska? Zastanawia cię, czy da się znaleźć odległość między tymi dwoma zawodnikami bez korzystania z przyrządów do mierzenia? Sposób na to wynalazł w 6. wieku przed naszą erą grecki matematyk Pitagoras. Sposób nazywa się twierdzeniem Pitagorasa. W tej lekcji poznasz to twierdzenie. Dowiesz się również, kiedy i jak je stosować. Przypomnę, że przekątna prostokąta dzieli go na 2 identyczne trójkąty prostokątne. Skupmy się na jednym z nich. W tym miejscu znajduje się kąt prosty. Zauważ, że znamy długości dwóch przyprostokątnych. Odległość między tymi dwoma zawodnikami jest niczym innym, jak długością przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wykonajmy teraz pewien eksperyment. Zbudujmy kwadrat na boku o długości 3m. Teraz zbudujmy kwadrat na boku o długości 4m. Zbudujmy jeszcze kwadrat na przeciwprostokątnej, której długości nie znamy. Pitagoras zauważył, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest taka sama, jak pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Obliczmy najpierw pole tego kwadratu. Skoro długość jego boku to 4m, pole tego kwadratu wynosi 4m do kwadratu, czyli 16m kwadratowych. A ile wynosi pole tego kwadratu? Długość jego boku to 3m. Pole tego kwadratu wynosi zatem 3m do kwadratu, czyli 9m kwadratowych. Skoro pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, to pole tego kwadratu wynosi 16m kwadratowych dodać 9m kwadratowych, czyli 25m kwadratowych. Jeszcze raz powtórzę, że taką zależność geometryczną odkrył Pitagoras już w 6. wieku przed naszą erą. Skoro znamy pole tego kwadratu, to czy jesteśmy w stanie podać długość jego boku? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Aby powiedzieć, jaką długość ma bok tego kwadratu, wystarczy zastanowić się, jaką długość należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 25m kwadratowych. Tą długością jest 5m. Oznacza to, że długość boku kwadratu to 5m. Zauważ, że znaleźliśmy przy okazji długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wynosi ona 5m. Co to oznacza? Odległość między tymi zawodnikami to 5m. Pokażę ci teraz, jak swoje przemyślenia sformułował Pitagoras. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Twierdzenie Pitagorasa można opisać jednym równaniem. Oznaczmy długość tej przyprostokątnej literą a, a długość tej przyprostokątnej literą b. Długość przeciwprostokątnej oznaczmy literą c. Jeszcze raz przeczytam twierdzenie Pitagorasa. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Jak zatem możemy zapisać sumę kwadratów długości przyprostokątnych? Kwadrat długości tej przyprostokątnej to a do kwadratu. Do tego dodajemy kwadrat długości tej przyprostokątnej, czyli b do kwadratu. Suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Skoro ta przeciwprostokątna ma długość c, to kwadrat tej długości to c do kwadratu. Jak łatwo zapamiętać to równanie? a do kwadratu oznacza pole kwadratu zbudowanego na tej przyprostokątnej. b do kwadratu oznacza pole kwadratu zbudowanego na tej przyprostokątnej. Suma pól tych dwóch kwadratów jest taka sama, jak pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Pole tego kwadratu to c do kwadratu. Zwróć uwagę na ten fragment twierdzenia "w dowolnym trójkącie prostokątnym...". To równanie zachodzi w każdym trójkącie prostokątnym. Pokażę ci jeden z wielu dowodów twierdzenia Pitagorasa. Spójrz na tę ilustrację. 4 identyczne trójkąty prostokątne ustawiono w taki sposób, że powstał kwadrat. Wewnątrz mamy drugą figurę. Zaraz dowiemy się, jaka to figura. Długość dłuższej przyprostokątnej każdego z 4 identycznych trójkątów prostokątnych oznaczmy literą a. Długość krótszej przyprostokątnej każdego z 4 identycznych trójkątów prostokątnych oznaczmy literą b. Długość przeciwprostokątnej oznaczmy literą c. Figura, która znajduje się wewnątrz dużego kwadratu ma wszystkie boki tej samej długości. Czy ma też identyczne wszystkie kąty? Sprawdźmy to. Spójrzmy na taki jeden trójkąt prostokątny. Jeden z kątów ma 90 stopni. Oznacza to, że suma miar pozostałych kątów to również 90 stopni. Dlaczego? Pamiętaj, że suma miar kątów w trójkącie zawsze wynosi 180 stopni. Skoro ten kąt ma 90 stopni, to te 2 muszą mieć 90 stopni. Narysuję teraz tutaj taki kąt. Zwróć uwagę, że te trzy kąty tworzą razem kąt półpełny, czyli taki, który ma 180 stopni. Skoro kąty czerwone oraz różowe razem mają 90 stopni, to ten kąt również musi mieć 90 stopni. Tutaj mamy kąt prosty. Ta sama sytuacja zachodzi w tym miejscu, w tym miejscu i w tym miejscu. Dowiedzieliśmy się zatem, że ta figura, która znajduje się wewnątrz dużego kwadratu też jest kwadratem. Skoro długość boku tego kwadratu wynosi c, to pole tego kwadratu wynosi c do kwadratu. Spójrz teraz na identyczną ilustrację, jak tutaj, tylko bez zapisów, które wykonałem. Zastanów się teraz, czy da się wewnątrz tego kwadratu zmienić położenie tych 4 trójkątów prostokątnych w taki sposób, aby tę kwadratową murawę podzielić na 2 mniejsze kwadratowe murawy. Spójrz na animację, która pokaże ci, jak to zrobić. Zobacz! Z takiego kwadratowego boiska zrobiliśmy dwa mniejsze boiska. Widzimy, że wewnątrz tych dwóch boisk znajdują się kąty proste. Nie zaznaczę ich, żeby dalsze zapisy były bardziej czytelne. To na nich się skupimy. Przypomnę, że mamy do czynienia z czterema identycznymi trójkątami prostokątnymi. Długość dłuższej przyprostokątnej oznaczyliśmy literą a. Oznaczmy to również na tym rysunku. Tutaj mamy bok, którego długość wynosi a i tutaj również mamy bok, którego długość wynosi a. Co za tym idzie? Ten odcinek ma również długość a i ten odcinek ma również długość równą a. To boisko jest zatem kwadratem o długości boku równej a. Oznacza to, że jego pole wynosi a do kwadratu. Poszukajmy teraz pola drugiego boiska. Długość krótszej przyprostokątnej oznaczyliśmy literą b. Tutaj mamy krótszą przyprostokątną. Jej długość wynosi b. Tutaj również mamy krótszą przyprostokątną, której długość wynosi b. Co za tym idzie? Tutaj również mamy odcinek, którego długość to b i tutaj mamy taki sam odcinek. Mamy tutaj kwadrat, którego bok ma długość b. Jakie jest pole tego kwadratu? b do kwadratu. Teraz przyszła pora na wyciągnięcie wniosków. Pole tego kwadratowego boiska to c do kwadratu. Zapiszę tutaj c do kwadratu. Zmieniając położenie tych 4 identycznych trójkątów prostokątnych wewnątrz tego kwadratu otrzymałem dwa mniejsze boiska. Pole jednego z nich to a do kwadratu, a pole drugiego to b do kwadratu. Suma pól tych dwóch boisk jest taka sama, jak pole tego boiska. Oznacza to, że c do kwadratu to tyle, co a do kwadratu dodać b do kwadratu. Ciekawostką jest, że opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a jeden z niemieckich matematyków udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele. Twierdzenie Pitagorasa mówi o tym, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama, jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. Na tym rysunku długości przyprostokątnych oznaczono literami k oraz m, a długość przeciwprostokątnej literą x. Twierdzenie Pitagorasa zapisane wzorem to k do kwadratu dodać m do kwadratu równa się x do kwadratu. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o twierdzeniu Pitagorasa oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.