Pole trójkąta równobocznego

Na flagach wielu państw możemy znaleźć trójkąty. Przykładowo na fladze Czech możemy zaobserwować trójkąt równoramienny, a na fladze Kuby trójkąt równoboczny. Lekcję na temat pola trójkąta równobocznego zaczniemy takim zadaniem. Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości 6 cm. Aby obliczyć pole tego trójkąta, na pewno będziemy potrzebowali jego wysokości. Obliczymy tę wysokość ze znanego nam wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. h równa się a pierwiastków z 3 przez 2 gdzie a oznacza długość boku trójkąta równobocznego. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć tę wysokość. Za a możemy podstawić 6, bo tyle wynosi długość boku naszego trójkąta. Po wykonaniu dzielenia otrzymamy 3 pierwiastki z 3 cm. Umieśćmy tę wartość na rysunku. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć pole tego trójkąta równobocznego. Pole obliczymy ze wzoru a razy h przez 2. Otrzymamy długość boku trójkąta, czyli 6, razy wysokość tego trójkąta, czyli 3 pierwiastki z 3, przez 2. Po wykonaniu tego mnożenia w liczniku, otrzymamy 18 pierwiastków z 3 przez 2. Po wykonaniu dzielenia otrzymamy, że pole tego trójkąta wynosi 9 pierwiastków z 3 cm kwadratowych. Zapamiętajmy ten wynik, bo w czasie tej lekcji jeszcze do niego wrócimy. Jednak teraz zajmijmy się takim pytaniem. Czy da się obliczyć pole trójkąta równobocznego bez obliczania jego wysokości? Pamiętamy, że wzór na pole trójkąta wygląda następująco. Chcemy pozbyć się tego elementu, czyli wysokości. Wiemy, że wysokość w trójkącie równobocznym możemy zastąpić takim wyrażeniem: a pierwiastków z 3 przez 2. Podstawmy tę wartość zamiast h do naszego wzoru. Otrzymamy wtedy a razy a pierwiastków z 3 przez 2. Jeszcze wszystko musimy podzielić przez 2. Pozbądźmy się teraz pięter w naszym ułamku. Zrobimy to w ten sposób, że wymnożymy przez siebie wszystkie elementy tego całego dużego ułamka. Otrzymamy wtedy: a… Możemy je zapisać jako a pierwszych. Pomnożymy to przez a pierwiastków z 3 przez 2, a dzielenie przez 2 możemy zastąpić mnożeniem przez jedną drugą. Gdy wymnożymy liczniki tych ułamków, otrzymamy a razy a pierwiastków z 3 razy 1, czyli a kwadrat pierwiastków z 3. Gdy wymnożymy mianowniki, czyli 1 razy 2 razy 2, to otrzymamy 4. Świetnie! Wyznaczyliśmy właśnie wzór na pole trójkąta równobocznego. Jak widzisz, jesteśmy w stanie wyznaczyć pole danego trójkąta równobocznego bez obliczania jego wysokości. Spróbujmy teraz ponownie rozwiązać zadanie z początku lekcji. Brzmiało ono tak: oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości 6 cm. Jednak tym razem skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego Po podstawieniu za a długości boku naszego trójkąta, otrzymamy 6 kwadrat pierwiastków z 3 przez 4. 6 do kwadratu to 36, zatem mamy 36 pierwiastków z 3 przez 4. Po wykonaniu tego dzielenia otrzymamy 9 pierwiastków z trzech cm kwadratowych. Jak widzisz, pola wyznaczone tym wzorem oraz tym wzorem dla tych samych danych są identyczne. Jednak warto stosować ten wzór dla trójkątów równobocznych, ponieważ oszczędzamy wtedy mnóstwo czasu. Spróbujmy rozwiązać teraz takie zadanie. Jaką długość ma bok trójkąta równobocznego o polu równym 36 pierwiastków z 3? Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, który poznaliśmy przed chwilą. Nie znamy długości boku tego trójkąta. Znamy za to wartość pola tego trójkąta. Wartość ta wynosi 36 pierwiastków z 3. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć z tego równania długość boku naszego trójkąta. Na początku pozbądźmy się tego ułamka. Zrobimy to mnożąc obie strony równania przez 4. Otrzymamy 144 pierwiastki z 3 równa się a kwadrat pierwiastków z 3. Teraz, chcąc wyznaczyć a, musimy pozbyć się pierwiastka z 3. Zatem podzielmy obie strony równania przez pierwiastek z 3. Da nam to 144 równa się a kwadrat i w tym momencie musimy pozbyć się kwadratu. Oznacza to, że musimy zastanowić się, jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 144. Tą liczbą jest 12. Oznacza to, że długość boku trójkąta wynosi 12 jednostek. Zaznaczmy jeszcze te wartości na naszym rysunku. Gratulacje! Teraz na pewno poradzisz sobie świetnie ze wszystkimi zadaniami dotyczącymi pól trójkątów równobocznych. Aby obliczyć pole trójkąta równobocznego, wystarczy znać długość jego boku. Przykładowo pole trójkąta równobocznego o boku a obliczymy ze wzoru p równa się a kwadrat pierwiastków z 3 przez 4. Zachęcam cię do polubienia naszego profilu na Facebooku: Pi-stacja matematyka. Znajdziesz tam między innymi bardzo wiele ciekawostek matematycznych.