Z tego filmu dowiesz się:

  • jak obliczać długości odcinków w wielokątach z wykorzystaniem trójkątów specjalnych?
  • jak rozpoznawać trójkąty specjalne?

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Po obejrzeniu tego filmu, w ramach powtórzenia, wydrukuj lub przerysuj specjalnie przygotowaną zagadkę. Link do pobrania zagadki znajdziesz w opisie tego film. A pytanie brzmi: Jaką długość ma ten bok? Spróbujmy rozwiązać takie zadanie. Wskaż trójkąty, których miary kątów wewnętrznych wynoszą 45 stopni, 45 stopni i 90 stopni lub 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni. I nasz pierwszy przypadek prezentuje się następująco. Hm... Co my tu mamy? Widzimy, że przeciwprostokątna ma długość 2 a jedna z przyprostokątnych ma długość 1. Oznacza to, że badany przez nas trójkąt na pewno nie jest trójkątem 45, 45, 90. Jest tak, ponieważ w trójkącie 45, 45, 90 dla przyprostokątnej o długości 1 przeciwprostokątna powinna wynosić pierwiastek z dwóch a widzimy, że wynosi ona 2. Chcąc teraz sprawdzić czy ten trójkąt jest trójkątem 30, 60, 90 musimy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej. Zrobimy to korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymamy tam x do kwadratu plus 1 do kwadratu da nam 2 do kwadratu Po wykonaniu potęgowania i przeniesieniu jedynki na drugą stronę otrzymamy x kwadrat równa się 4 minus 1. Po wykonaniu odejmowania otrzymamy x kwadrat równa się 3. Czyli nasz x równa się pierwiastek z trzech. Umieścimy tę wartość na naszym rysunku. Zobacz. Mamy tu trójkąt, w którym przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej. A żeby otrzymać długość drugiej przyprostokątnej, wystarczy krótszą pomnożyć przez pierwiastek z trzech. Takie proporcje spełnia wyłącznie trójkąt 30, 60, 90. Pierwszy przypadek mamy już wyjaśniony. Spójrzmy teraz na taki trójkąt. Widzimy, że dwa z jego boków są równej długości. Oznacza to, że jest to trójkąt równoramienny. Oczywiście żaden trójkąt 30, 60, 90 nie jest równoramienny zatem te opcje możemy już wykluczyć. Jak pamiętasz, trójkąt o miarach kątów wewnętrznych 45, 45, 90 zawsze jest równoramienny oraz stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej wynosi pierwiastek z dwóch. Pierwszy warunek niewątpliwie został spełniony. Ale czy drugi także? Sprawdźmy to. Zgodnie z drugą zasadą długość trzeciego boku możemy obliczyć w ten sposób 5 razy pierwiastek z dwóch i daje nam to 5 pierwiastków z dwóch. Otrzymaliśmy 5 pierwiastków z dwóch a nie 2 pierwiastki z pięciu. Oznacza to, że badany przez nas trójkąt nie jest trójkątem o miarach kątów wewnętrznych 45, 45, 90. Przyjrzyjmy się teraz trzeciemu trójkątowi. Wiemy, że jest to trójkąt prostokątny ale nie znamy długość jednej z przyprostokątnych. Obliczmy ją korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymamy: y do kwadratu dodać 2 do kwadratu równa się 2 pierwiastki z dwóch do kwadratu. 2 do kwadratu to 4. 2 pierwiastki z dwóch do kwadratu to 8. Przenieśmy 2 do kwadratu na prawą stronę otrzymamy wtedy y kwadrat równa się 8 minus 4 co da nam z kolei że y kwadrat równa się 4 czyli nasz y jest równy dwóm. Umieścimy tę wartość na naszym rysunku. Zatrzymaj teraz film i zastanów się czy ten trójkąt jest trójkątem 45, 45, 90 lub może trójkątem 30, 60, 90? Z góry możemy odrzucić opcję że jest to trójkąt 30, 60, 90 ponieważ mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym. Dodatkowo widzimy, że przeciwprostokątna jest pierwiastek z dwóch razy dłuższa od przyprostokątnych. Takie proporcje boków spełnia wyłącznie trójkąt o miarach kątów wewnętrznych 45, 45, 90. Treść drugiego zadania brzmi. Oblicz długość odcinka CD. Spójrzmy na trójkąt ABD. Widzimy, że jeden z jego kątów ma miarę 90 stopni, drugi 30 stopni zatem wiemy, że miara kąta ADB to 60 stopni. Zobacz. Powstał nam trójkąt 30, 60, 90. Na szczęście znamy już doskonale zależności między długościami boków w trójkącie 30, 60, 90. Wiemy, że bok przy kącie prostym i kącie 30 stopni spełnia zawsze zależność a pierwiastków z trzech. Bok przy kącie prostym i kącie 60 stopni jest pierwiastek z trzech razy krótszy czyli wynosi a. A bok znajdujący się przy kącie 60 stopni i 30 stopni jest dwa razy dłuższy od tego boku czyli jego długość wynosi 2a. Skoro a pierwiastków z trzech wynosi 6 pierwiastków z trzech to a w naszym przypadku będzie wynosić 6 a 2a, 12. Omówiliśmy bardzo dokładnie mały trójkąt ABD. Spróbujmy teraz powiedzieć coś na temat dużego trójkąta ABC. Widzimy, że kąt ABD ma 30 stopni a kąt DBC ma 15 stopni. Oznacza to, że cały kąt ABC ma łącznie 45 stopni. Skoro kąt ABC ma 45 stopni kąt BAC ma 90 stopni to z sumy miar kątów w trójkącie wynika że miara kąta ACB to 45 stopni. Zobacz. Trójkąt ABC to trójkąt 45, 45, 90. A co wiemy o długości przyprostokątnych w takich trójkątach? Wiemy, że mają one równe długości. Możemy zatem zapisać, że długość boku AC równa jest długości boku AB. Pozwala nam to zapisać takie równanie. Długość boku AC, czyli x plus 6 znak równości no i teraz długość boku AB czyli 6 pierwiastków z trzech. Otrzymamy zatem że poszukiwana przez nas długość odcinka CD którą oznaczono jako x równa się 6 pierwiastków z trzech minus 6 jednostek. I na koniec rozwiążmy takie zadanie. Wewnątrz kwadratu narysowano trójkąt ABC. Oblicz obwód tego trójkąta. Wiemy tylko, że długość boku AB wynosi 4 pierwiastki z dwóch a miara kąta ACB wynosi 30 stopni. Zauważmy, że bok BC jest jednocześnie przekątną kwadratu, prawda? Oznacza to, że miara kąta ABC musi wynosić dokładnie 45 stopni. Narysujmy teraz wysokość naszego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A. Uzyskamy w ten sposób podział dużego trójkąta ABC na dwa mniejsze trójkąty. Pod jakim kątem będzie nachylona wysokość względem boku BC? Oczywiście, masz rację. Będzie to kąt 90 stopni. Skupmy się na razie na trójkącie ABD. Suma wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie musi wynosić 180 stopni, prawda? Oznacza to, że miara kąta BAD musi wynosić 45 stopni. Świetnie! Powstał nam tu trójkąt 45, 45, 90. A wiemy, że długość przeciwprostokątnej w takich trójkątach jest pierwiastek z dwóch razy dłuższa od długości przyprostokątnych. To skoro długość przeciwprostokątnej wynosi 4 pierwiastki z dwóch to długość każdej z przyprostokątnych musi wynosić dokładnie 4. Teraz spróbujmy wyznaczyć długości boków trójkąta ADC. Skoro ten kąt ma 30 stopni, a ten 90 no to z sumy miar kątów w trójkącie wynika, że miara kąta CAD musi wynosić 60 stopni. Powstał nam tu trójkąt 30, 60, 90. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć brakujące długości boków trójkąta ADC. Skorzystajmy z zależności między długościami boków w trójkątach 30, 60, 90. Otrzymamy wtedy długość boku AC. Wiemy, że musi być on dwa razy dłuższy od boku AD. Oznacza to, że długość boku AC wynosi 8. A co wiemy na temat boku CD? Wiemy, że jest on pierwiastek z trzech razy dłuższy od boku AD. Oznacza to, że długość odcinka CD wynosi 4 pierwiastki z trzech. Znamy już długości wszystkich boków. Czy potrafimy teraz obliczyć obwód trójkąta ABC? Oczywiście. Więc do dzieła! Musimy dodać do siebie długości boków CA, czyli 8 do długości boku AB czyli 4 pierwiastki z dwóch i do tego jeszcze długość boku BC czyli plus 4 i plus 4 pierwiastki z trzech. Da nam to ostatecznie że obwód trójkąta ABC wynosi 12 plus 4 pierwiastki z dwóch plus 4 pierwiastki z trzech jednostek. Nawet, jeśli trójkąt nie jest prostokątny to znajdując znajome kąty możemy skorzystać z trójkątów szczególnych. Wiesz już jak radzić sobie z trójkątami 30, 60, 90 i 45, 45,90. Po więcej materiałów o trójkątach i nie tylko, zapraszam Cię na stronę pi-stacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Joanna Zalewska, Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Zadanie dodatkowe

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg