Twierdzenie Pitagorasa w czworokątach

Znajomość twierdzenia Pitagorasa przydaje się w rozwiązywaniu wielu zadań z geometrii, na przykład przy obliczaniu długości wysokości trapezu równoramiennego lub długości przekątnej rombu. W tej lekcji pokażę ci, jak to robić. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, którego krótszy bok to 3, a długość przekątnej to 4 pierwiastki z 2. Jeśli mamy rozwiązać zadanie geometryczne, a do treści nie dołączono rysunku, musimy zrobić go sami. Pamiętaj, że nie musi być perfekcyjny. W końcu to tylko rysunek pomocniczy. Rysujemy zatem prostokąt. Nanosimy na rysunek dane, które znamy z treści zadania. Długość krótszego boku to 3. Długość przekątnej to 4 pierwiastki z 2. Rysujemy przekątną i nanosimy na rysunek jej długość. Jak obliczyć długość dłuższego boku? Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie. Przekątna prostokąta dzieli go na 2 identyczne trójkąty prostokątne. Skupmy się na jednym z nich. Znamy długości dwóch boków. Nie znamy długości trzeciego boku. Oznaczmy ją literą b. Pamiętaj, że bok naprzeciwko ma taką samą długość. Długość dłuższej przyprostokątnej w naszym trójkącie jest taka sama, jak długość dłuższego boku prostokąta. Z jakiego twierdzenia skorzystamy? Z twierdzenia Pitagorasa. Spróbuj obliczyć długość b samodzielnie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następujące równanie: 3 do kwadratu dodać b do kwadratu równa się 4 pierwiastki z 2 do kwadratu. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy 9 dodać b do kwadratu równa się 16 razy 2. 16 razy 2 to 32, czyli mamy 9 dodać b do kwadratu równa się 32. Ile należy dodać do 9, aby otrzymać 32? 23. b do kwadratu równa się 23. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 23? Pierwiastek z 23 lub minus pierwiastek z 23. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. Długość dłuższego boku prostokąta to zatem pierwiastek z 23. Przejdźmy do kolejnego zadania. Oblicz długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 4. Znowu zaczynamy od stworzenia rysunku. Rysujemy kwadrat, czyli czworokąt o 4 kątach prostych i bokach jednakowej długości. Rysujemy przekątną. Z treści zadania wiemy, że jej długość to 4. Przekątna dzieli kwadrat na 2 trójkąty prostokątne. Mało tego. Te 2 trójkąty prostokątne są równoramienne, bo przyprostokątne są bokami kwadratu. Naszym zadaniem jest obliczenie długości tych odcinków. Skoro są takie same, to oznaczmy wszystkie literą a. Skupmy się na jednym z tych dwóch trójkątów. Jak myślisz, czy w tym trójkącie możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że nie, bo znamy tylko długość jednego boku, a nie znamy długości dwóch pozostałych. Spróbujmy jednak zapisać to twierdzenie równaniem. Otrzymamy a do kwadratu dodać a do kwadratu równa się 4 do kwadratu. Jak inaczej możemy zapisać to równanie? Masz jakiś pomysł? a kwadrat dodać a kwadrat to 2 a kwadrat. 2 a kwadrat równa się 16. Jaką liczbę należy pomnożyć przez 2, aby otrzymać 16? Osiem. Otrzymujemy a kwadrat równa się 8. A jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać osiem? Pierwiastek z 8 lub minus pierwiastek z 8. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. Wyłączmy jeszcze czynnik przed znak pierwiastka. Pierwiastek z 8 to inaczej pierwiastek z iloczynu 4 razy 2, a to jest to samo, co 2 pierwiastki z 2. Długość boku tego kwadratu to 2 pierwiastki z 2. Jaką długość ma bok rombu, w którym przekątne mają długości 10 i 6? Kolejny raz zaczynamy od stworzenia rysunku pomocniczego. Warto zacząć od przekątnych. Pamiętasz, jaką własność mają przekątne rombu? Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie. Rysujemy zatem odcinek o długości 10 i drugi o długości 6, który przecina go w połowie pod kątem prostym. Teraz łączymy końce odcinków w taki sposób i otrzymujemy romb. Przekątne rombu dzielą go na 4 jednakowe trójkąty prostokątne. Skupmy się na jednym z nich. Jakie długości mają przyprostokątne tego trójkąta? Skoro przekątne o długościach 6 i 10 przecinają się w połowie, to ten odcinek ma długość 5, a ten 3. Długość trzeciego boku oznaczymy literą a. Czy możemy teraz obliczyć długość przeciwprostokątnej tego trójkąta prostokątnego? Możemy! Spróbuj zrobić to samodzielnie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że 5 do kwadratu dodać 3 do kwadratu to a do kwadratu. Otrzymujemy 25 dodać 9 równa się a do kwadratu. 34 równa się a do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 34? Pierwiastek z 34 lub minus pierwiastek z 34. Wybieramy dodatnią liczbę, bo długość nie może być ujemna. Długość boku tego rombu to pierwiastek z 34. W zadaniu czwartym mamy obliczyć wysokość trapezu równoramiennego, którego długości ramion to 6, a długości podstaw to odpowiednio 10 i 18. To zadanie też warto rozpocząć od stworzenia rysunku pomocniczego. Weź kartkę i długopis i zrób to samodzielnie. Najważniejszą informacją jest to, że trapez jest równoramienny. Rysujemy zatem podstawy i 2 ramiona tej samej długości. Długość każdego z ramion to 6. Długość krótszej podstawy to 10, a dłuższej 18. Mamy obliczyć długość wysokości trapezu. Pamiętaj, że jest to odcinek łączący obie podstawy i do nich prostopadły. Jak myślisz, gdzie najlepiej narysować ten odcinek? Najlepiej narysować go tak, aby powstała nowa figura, którą wykorzystamy w obliczeniach. Rysując wysokość w tym miejscu otrzymamy trójkąt prostokątny. Moglibyśmy zrobić to też w tym miejscu. Oznaczmy długość wysokości tego trapezu literą h. Skupmy się teraz na tym trójkącie prostokątnym. W trójkątach prostokątnych możemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa. Potrzebujemy długości 2 boków takiego trójkąta. Czy potrafisz podać długości dwóch boków tego trójkąta prostokątnego? Przeciwprostokątna ma długość 6. Nie znamy długości krótszej przyprostokątnej, ale możemy ją obliczyć. Skoro trapez jest równoramienny, to ten odcinek jest taki sam, jak ten. Łączna długość tych 2 odcinków to 18 minus 10, czyli 8. Teraz wystarczy podzielić 8 przez 2. Otrzymamy 4. Możemy już obliczyć wysokość trapezu. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następujące równanie: 4 do kwadratu dodać h do kwadratu równa się 6 do kwadratu. Po wykonaniu potęgowania otrzymujemy 16 dodać h do kwadratu równa się 36. Ile należy dodać do 16, aby otrzymać 36? 20. h do kwadratu równa się 20. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 20? Pierwiastek z 20 lub minus pierwiastek z 20. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. Wysokość tego trapezu to pierwiastek z 20. Pierwiastek z 20 możemy zapisać jeszcze jako 2 pierwiastki z 5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! W wielu czworokątach też znajdziemy trójkąty prostokątne. Twierdzenie Pitagorasa zastosujesz między innymi do obliczania długości przekątnej kwadratu i prostokąta, boku rombu, wysokości trapezu i wielu innych odcinków w czworokątach. Zapraszam cię do obejrzenia kolejnej lekcji z tego tematu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.