Z tego filmu dowiesz się:

  • że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • jak obliczyć stosunek pól znając skalę podobieństwa,
  • jak wyznaczyć skalę podobieństwa znając stosunek pól.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Opera w Sydney jest znana na całym świecie dzięki swojemu dachowi, który przypomina pancernika albo żagle jachtu. Składa się z kilku trójkątnych modułów podobnych do siebie. Na rysunku zaznaczyliśmy dwa przykładowe różniące się powierzchnią. W dzisiejszej lekcji dowiesz się jak porównywać pola trójkątów podobnych. Na ekranie mamy pokazany pewien trójkąt. Wyróżniłem w nim trzy jego boki. Pomarańczowy nazwałem a żółty nazwałem b a różowy nazwałem c. Wykorzystamy teraz ten mały trójkąt do utworzenia większego trójkąta. Patrz uważnie. Co zrobiliśmy? Przenieśliśmy ten trójkąt i wstawiliśmy go tutaj tutaj oraz tutaj. Co otrzymaliśmy? Inny trójkąt. Jakie są długości boków tego drugiego trójkąta? Zobacz. Ten bok składa się z dwóch pomarańczowych odcinków o długości a. W takim razie ma długość 2a. Ten bok składa się z dwóch żółtych odcinków. Jaka była długość żółtego odcinka? b W takim razie tutaj jest 2b. To jak sądzisz jaka jest długość tego odcinka? Oczywiście 2c, ponieważ jest dwa razy większy od boku pierwszego trójkąta o długości c. Świetnie! A teraz zastanów się i powiedz czy ten trójkąt i ten duży trójkąt są podobne? Tak. Wynika to z cechy bok-bok-bok. Zauważ, że boki większego trójkąta są dwukrotnie większe od boków małego trójkąta. Skoro te trójkąty są podobne wyznaczmy skalę podobieństwa. Pamiętasz co to było? Skala podobieństwa figur podobnych to stosunek długości odpowiadających boków. Jeśli chcesz wiedzieć więcej na ten temat zachęcam Cię do zobaczenia odpowiedniego filmu. Bokowi o długości 2a odpowiada bok o długości a. W takim razie skala podobieństwa to 2a przez a czyli 2. A co, gdybyśmy wzięli inny bok? Bokowi 2b odpowiada bok b czyli skala podobieństwa to 2b przez b również 2. Jak możesz zauważyć gdybyś wziął trzecią parę boków otrzymałbyś 2c przez c czyli również 2. Nie ma znaczenia, którą parę wybierzemy. Skala podobieństwa będzie taka sama. A teraz spróbujmy utworzyć jeszcze większy trójkąt tak jak poprzednio. Po raz kolejny wykorzystaliśmy mały trójkąt do utworzenia dużego trójkąta. Jakie są długości boków tego największego trójkąta? Ten bok będzie miał długość 3a ten długość 3b a ten długość 3c. Teraz, aby się nie pomylić będę nazywał ten trójkąt małym trójkątem ten trójkąt średnim trójkątem a ten trójkąt dużym trójkątem. Jak sądzisz czy mały i duży trójkąt są podobne? Pewnie, że tak. Skorzystaliśmy z tej samej cechy bok-bok-bok. Boki dużego trójkąta są 3 razy dłuższe od odpowiednich boków małego trójkąta. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć skalę podobieństwa małego i dużego trójkąta. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Wyznaczamy stosunek odpowiadających boków. k to 3a przez a albo 3b przez b albo 3c przez c, czyli k równa się 3. Mówiliśmy już o bokach tych trójkątów. Powiedzmy teraz coś o ich polach. Niech mały trójkąt ma pole równe P. Jakie pole będzie miał średni trójkąt? Zobacz, że średni trójkąt składa się z czterech małych trójkątów i każdy z nich ma pole równe P. W takim razie pole średniego trójkąta to 4P. Podsumujmy. Średni trójkąt jest podobny do małego trójkąta w skali k równej 2 i ma pole 4P. Policzmy stosunek pól średniego i małego trójkąta. to 4P przez P, czyli 4. 4 to 2 do kwadratu. Czyli można powiedzieć że stosunek pól tych dwóch trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Wygląda ciekawie, prawda? Zobaczmy, jak ma się sprawa z dużym trójkątem. Ile wynosi pole tego dużego trójkąta? Należy dodać jeszcze 5 małych trójkątów czyli 4P dodać 5P to 9P. Duży trójkąt i mały są podobne w skali k równej 3. Pole dużego to 9P. Stosunek pól dużego i małego trójkąta to 9P przez P, czyli 9 a 9 to 3 do kwadratu. Znowu, stosunek pól tych dwóch trójkątów jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa. Nie może to być przypadek. Zapamiętaj ten bardzo ważny fakt. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Wykorzystajmy zdobytą przez nas wiedzę w tym zadaniu. Dane są dwa trójkąty podobne. Pole jednego wynosi 81 centymetrów kwadratowych a pole drugiego 36 centymetrów kwadratowych. Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów. O czym mówi to zadanie? O dwóch trójkątach podobnych. Znamy ich pola. Narysujmy te dwa trójkąty. Oto jeden z nich. Jego pole to 81 centymetrów kwadratowych. A to drugi trójkąt. Jego pole to 36 centymetrów kwadratowych. Czego szukamy? Mamy wyznaczyć skalę podobieństwa tych trójkątów. Jak to zrobić? Pamiętasz, o czym mówiliśmy przed chwilą? Mówiliśmy, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz stosunek pól tych dwóch trójkątów. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Dzielimy pole pierwszego trójkąta przez pole drugiego trójkąta. Stosunek pól to 81 centymetrów kwadratowych przez 36 centymetrów kwadratowych czyli 81/36 a po skróceniu 9/4. Wiemy w takim razie że kwadrat skali podobieństwa czyli k kwadrat, wynosi 9/4. Spróbuj jeszcze samodzielnie wyznaczyć k. k to pierwiastek z 9/4, czyli 3/2. Skala podobieństwa tych dwóch trójkątów wynosi 3/2. Mamy jeszcze jedno krótkie zdanie. Żółty trójkąt jest podobny do zielonego trójkąta w skali k równej 1/3. Oblicz pole żółtego trójkąta. Zauważ, że nic nie wiemy o tym żółtym trójkącie. W zielonym trójkącie znamy długość jego podstawy oraz jego wysokość. Wiemy jedynie, że żółty trójkąt jest podobny do zielonego i znamy skalę podobieństwa. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw pierwszy w którym wykorzystamy fakt, że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Skoro żółty trójkąt jest podobny do zielonego w skali k, to oznacza że stosunek pola żółtego trójkąta i zielonego trójkąta jest równy k kwadrat. W takim razie pole żółtego trójkąta to pole zielonego trójkąta razy k kwadrat. Pole zielonego trójkąta możemy obliczyć. To długość podstawy razy długość wysokości przez 2 czyli 6 razy 6 przez 2 czyli 18 centymetrów kwadratowych a k do kwadratu to 1/3 do kwadratu, czyli 1/9. Ostatecznie pole żółtego trójkąta to 18 centymetrów kwadratowych razy 1/9 czyli 2 centymetry kwadratowe. Sprawdźmy teraz drugi sposób. Skorzystamy z definicji skali podobieństwa jako stosunek odpowiadających odcinków w figurach podobnych. W takim razie odpowiedni odcinek w żółtym trójkącie to odpowiedni odcinek w zielonym trójkącie razy k. Jeżeli podstawę tego trójkąta oznaczymy jako a a wysokość tego trójkąta oznaczymy jako h to a będzie równe 6 centymetrów razy k czyli 1/3, co nam daje 2 centymetry a h będzie równe 6 centymetrów razy k, czyli 1/3 co nam daje również 2 centymetry. Pole żółtego trójkąta to a razy h przez 2 czyli 2 centymetry kwadratowe. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa podniesionej do kwadratu. Był to kolejny film dotyczący podobieństwa figur. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Agnieszka Banasikowska, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Bernard Spragg (Public domain)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg