Wielokąty foremne

Jak dużo jest wielokątów foremnych? Mogą mieć dowolnie wiele boków poczynając od trzech. A ile jest brył foremnych? Wydaje się, że również powinno być ich dowolnie dużo. Okazuje się jednak, że jest ich tylko pięć. Zauważył to już Platon, dlatego te bryły nazywa się bryłami platońskimi. Na planszy jest narysowanych kilka wielokątów. Niektóre z nich są zaznaczone innym kolorem. Czy to przypadek? Oczywiście nie. Jak myślisz, co wyróżnia te cztery wielokąty z pozostałych? Zauważ, że każda z tych figur ma wszystkie boki takiej samej długości. Jak możesz sprawdzić, w niebieskich figurach taka zależność nie występuje. Czy to wszystko, co wyróżnia te 4 wielokąty? Zwróćmy jeszcze uwagę na ich kąty. Każda z tych figur ma wszystkie kąty wewnętrzne o takiej samej mierze. To również nie zachodzi w niebieskich figurach. Ich kąty wewnętrzne mają różne miary. Czy wiesz, jak nazywamy takie wielokąty? To tak zwane wielokąty foremne a wielokątami foremnymi nazywamy takie wielokąty, które mają wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne o takiej samej mierze. Nazwy wielokątów foremnych tworzymy od liczby ich boków. Na przykład ten. Ten wielokąt foremny ma trzy boki. Jak go nazwiemy? To trójkąt foremny, albo inaczej trójkąt równoboczny. A ta figura? To oczywiście kwadrat, ale jednocześnie jest to czworokąt foremny. A jak byś nazwał te dwie figury? To pięciokąt foremny i sześciokąt foremny. W jaki sposób możemy sprawdzić czy dany wielokąt jest wielokątem foremnym? Musimy sprawdzić dwie rzeczy: czy jego wszystkie boki są równej długości i czy wszystkie jego kąty wewnętrzne są równe. Czy wystarczy sprawdzenie tylko jednej z tych własności? Sprawdźmy. To prostokąt. Czy jest wielokątem foremnym? Wszystkie jego kąty wewnętrzne mają taką samą miarę jednak nie wszystkie boki prostokąta są tej samej długości. Co prawda ten bok ma taką samą długość jak ten bok, ale nie odpowiada to długości tych dwóch boków. W takim razie prostokąt nie jest figurą foremną ponieważ oba warunki nie są jednocześnie spełnione. Istnieje jednak jeden prostokąt który jest wielokątem foremnym. Wiesz, jaki? To oczywiście kwadrat. A czy w takim razie romb jest wielokątem foremnym? Przecież wszystkie jego boki są równej długości. Ale musimy sprawdzić jeszcze kąty a kąty wewnętrzne w rombie mają różną miarę. Dlatego romb nie jest wielokątem foremnym. Jak widzisz, aby sprawdzić, czy dany wielokąt jest foremny, musisz sprawdzić jednocześnie boki oraz kąty. Wiesz już, jak sprawdzić, czy dana figura jest wielokątem foremnym. Teraz zadanie dla Ciebie. Na planszy masz narysowane 12 figur. Wskaż, które z nich są wielokątami foremnymi i dlaczego. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Ja na początku znajdę te figury, które na pewno nie są wielokątami foremnymi. Jak pamiętasz, wielokąty foremne muszą mieć wszystkie boki tej samej długości. Wykreślmy więc wszystkie te figury, w których nie zachodzi ta zależność. Na pewno będzie to ta strzałka. Ta figura również nie ma wszystkich boków równej długości. Tak samo ta oraz ta. Ten trapez również nie ma wszystkich boków tej samej długości. Jak mówiliśmy, prostokąt nie jest wielokątem foremnym. A co z tą figurą? Zauważ, że nie jest to wielokąt. Ta figura jest ograniczona łukami okręgu, a nie odcinkami. Wykreśliliśmy już wszystkie, których boki nie są równej długości. To teraz zajmiemy się kątami. W tej figurze na pewno wszystkie kąty wewnętrzne są równe. A tutaj? Tutaj nie. Zobacz, że ten kąt jest różny od tego kąta, co dyskwalifikuje tę figurę. Tak samo z tą gwiazdą. Ten kąt na pewno jest mniejszy niż ten. A co z pozostałymi? Te trzy pozostałe figury są wielokątami foremnymi. Jaka to figura? To kwadrat czyli czworokąt foremny. A ta? Przypomina nieco drogowy znak stopu. To ośmiokąt foremny. To oczywiście trójkąt równoboczny czyli trójkąt foremny. A teraz mamy takie zadanie. Wierzchołki sześciokąta dzielą boki trójkąta równobocznego na trzy równe części. Czy sześciokąt ten jest foremny? Zobacz, mamy tu trójkąt równoboczny a w środku pewien sześciokąt. Mamy sprawdzić, czy ta niebieska figura jest sześciokątem foremnym. O czym jest mowa w treści zadania? Wiemy, że wierzchołki sześciokąta dzielą boki trójkąta na trzy równe części. Oznaczę ten odcinek małą literą x. Które jeszcze odcinki mają tutaj długość x? Jak sądzisz? Z treści wiemy, że wierzchołki sześciokąta dzielą boki trójkąta na trzy równe części. Odcinki takiej samej długości, jak ten będą więc tutaj, tutaj, tutaj i tak dalej. Znamy długości trzech boków tego sześciokąta. Wiemy, że mają one długość małe x. No dobrze, skupmy się może teraz na kątach. Wiemy, że ten duży trójkąt to trójkąt równoboczny. Czy znamy miarę jego kąta wewnętrznego? Oczywiście, że tak. To 60 stopni. Jak widzisz, mamy tutaj trzy trójkąty. Jakie to są trójkąty? Na pewno są to trójkąty równoramienne ponieważ mają ramiona tej samej długości ale wiemy jeszcze więcej. Jeżeli w trójkącie równoramiennym jeden kąt ma miarę 60 stopni, to ten trójkąt jest równoboczny, co oznacza, że wszystkie te trzy trójkąty są trójkątami równobocznymi. W takim razie pozostałe kąty w tych trójkątach mają miarę 60 stopni, a te boki mają długość małe x. Zobacz, wyznaczyliśmy długości wszystkich boków tego sześciokąta. Są one sobie równe. Czy ten sześciokąt jest foremny? Nie wiemy. Musimy jeszcze sprawdzić kąty. Czy jesteś w stanie policzyć miarę na przykład tego kąta? Spróbuj to zrobić samodzielnie, a potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Ten kąt i ten kąt razem tworzą kąt półpełny czyli 180 stopni. W takim razie ten kąt ma miarę 120 stopni. A pozostałe? Wszędzie mamy taką samą sytuację, dlatego pozostałe kąty również mają miarę 120 stopni. Zobacz, w tym sześciokącie nie tylko wszystkie boki mają taką samą długość ale wszystkie kąty wewnętrzne mają taką samą miarę. W takim razie ten sześciokąt jest foremny. Tutaj mamy analogiczne zadanie. Wierzchołki ośmiokąta dzielą boki kwadratu na trzy równe części. Czy ośmiokąt ten jest foremny? Zobacz, mamy tutaj kwadrat a w środku jakiś ośmiokąt. Podobnie jak poprzednio, wierzchołki figury wewnętrznej dzielą boki figury zewnętrznej na trzy równe części. Oznaczmy ten bok jako y. Gdzie jeszcze będą znajdować się odcinki o długości y? Oczywiście wszędzie tutaj dookoła. Znamy już cztery długości boków tego ośmiokąta. Wiemy, że mają one długość y. Czy możemy wyznaczyć długości tych pozostałych boków? Zauważ, że mamy tutaj cztery trójkąty. Jakie to trójkąty? Po pierwsze, są to trójkąty równoramienne: mają one ramiona o długości y, a po drugie są to trójkąty prostokątne. W takim razie możemy wyznaczyć długość przeciwprostokątnej. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny i równoramienny, to przeciwprostokątna to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z dwóch czyli y razy pierwiastek z dwóch. I co teraz? Zauważ, że w naszym ośmiokącie mamy boki różnej długości. W takim razie nie jest to wielokąt foremny. Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary. Pamiętaj: aby sprawdzić, czy dana figura jest wielokątem foremnym, należy sprawdzić długości jej boków oraz miary jej kątów wewnętrznych. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o wielokątach foremnych. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do odwiedzenia naszej strony internetowej: pistacja.tv