Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

Parkietaż to pokrycie powierzchni wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie. Jak widzisz, w tych parkietażach wykorzystano różne rodzaje figur. Co ciekawe, istnieją trzy parkietaże które można ułożyć tylko z wielokątów foremnych jednego rodzaju. Są one złożone z trójkątów równobocznych kwadratów i sześciokątów foremnych. Skupimy się dzisiaj na kątach wewnętrznych w wielokątach foremnych. Masz tutaj narysowane trzy wielokąty foremne. Jakie są miary kąta wewnętrznego w każdym z tych wielokątów? Zacznijmy od trójkąta równobocznego. Jaką miarę ma jego kąt wewnętrzny? To oczywiście 60 stopni. A kąt wewnętrzny w kwadracie? Nie ma wątpliwości, że jest to kąt prosty. A jaka jest miara kąta wewnętrznego w pięciokącie foremnym? No właśnie, czy jest jakiś sposób aby to obliczyć? Zaraz to sprawdzimy. Wykorzystamy do tego pewną własność wielokątów foremnych. Otóż dla każdego wielokąta foremnego można narysować taki okrąg który przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki. Ten okrąg przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta równobocznego. Ten okrąg przez wszystkie wierzchołki kwadratu a ten okrąg przez wszystkie wierzchołki pięciokąta foremnego. Skoro mamy okręgi to mamy również środki tych okręgów. Poprowadźmy teraz promienie do wierzchołków tych wielokątów. Zajmijmy się teraz bliżej pięciokątem foremnym. Tak, jak mówiliśmy wcześniej mamy pięciokąt okrąg i poprowadzone promienie. Zauważ, że te promienie dzielą nasz pięciokąt na pięć trójkątów. Zaznaczmy wyraźnie jeden z nich. Oto on. Co możemy powiedzieć o tym trójkącie? Na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ramiona tego trójkąta to promienie okręgu. A co z pozostałymi trójkątami? One również są równoramienne. Zauważ, że ramiona każdego z nich to promienie okręgu. Ale zauważ coś jeszcze. Wszystkie te trójkąty mają nie tylko takie same ramiona ale również taką samą podstawę. To bok pięciokąta foremnego. Skoro tych 5 trójkątów ma boki takiej samej długości to wszystkie są przystające zgodnie z zasadą bok, bok, bok. A skoro są przystające to odpowiadające kąty w tych trójkątach mają taką samą miarę. Tutaj jest kąt pełny, czyli 360 stopni. Możemy go podzielić na 5 kątów o takiej samej mierze. Ja każdy z nich nazwałem grecką literą alfa. Zauważ, że w każdym z tych trójkątów występuje jeden kąt alfa. Jest to kąt, między kolejnymi promieniami. Ile wynosi ten kąt alfa? Wiemy, że 5 alfa to 360 stopni. Dzielimy przez 5 i otrzymujemy że alfa ma miarę 72 stopni. Jak powiedzieliśmy wcześniej każdy z tych pięciu trójkątów jest równoramienny. A jaką znasz właściwość na kąty przy podstawie w trójkątach równoramiennych? Są one sobie równe. Ja znaczyłem je grecką literą beta. Zauważ, że kąt wewnętrzny w pięciokącie ma miarę dwóch beta. Jeżeli wyznaczymy betę to wyznaczymy też kąt wewnętrzny. Czy możemy to zrobić? Zwróć uwagę na sumy kątów w trójkącie. Beta dodać beta dodać alfa daje 180 stopni, czyli inaczej 2 beta dodać alfa to 180 stopni. A tak, jak mówiliśmy przed chwilą 2 beta to miara kąta wewnętrznego. Zatrzymaj teraz film i wyznacz samodzielnie miarę kąta wewnętrznego w pięciokącie korzystając z tego równania. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Przenosimy alfę na drugą stronę i w jej miejsce wstawiamy 72 stopnie. 180 minus 72 daje 108 Miara kąta wewnętrznego w pięciokącie foremnym to 108 stopni. Świetnie. Poradziliśmy sobie z pięciokątem. Czy w podobny sposób możemy wyznaczyć kąty w innych wielokątach foremnych? Co na przykład gdybyśmy mieli do czynienia z dziesięciokątem foremnym? Mamy dziesięciokąt, odpowiedni okrąg i poprowadzone promienie. Ponownie kąt pełny dzielimy na kąty alfa. Tym razem jest ich 10 ponieważ mamy 10 trójkątów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć miarę kąta alfa następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. 10 alfa to 360 stopni czyli alfa to 36 stopni. Podobnie jak poprzednio każdy z tych trójkątów jest równoramienny więc jego kąty przy podstawie są równe. Znowu zachodzi równość że 2 beta dodać alfa to 180 stopni. 2 beta to nasz kąt wewnętrzny. Znając alfę, możemy go obliczyć. Kąt wewnętrzny to 180 stopni minus alfa czyli 180 stopni minus 36 stopni. Kąt wewnętrzny w dziesięciokącie foremnym to 144 stopnie. Zauważ, że zrobiliśmy dokładnie to samo co w przypadku pięciokąta foremnego. Pamiętasz zapewne że w pięciokącie foremnym na tym miejscu stała piątka. Kolejne równania się nie zmieniają. Zmienia się jedynie wartość kąta alfa. To jak w takim razie możemy wyznaczyć kąt wewnętrzny dla dowolnego wielokąta foremnego powiedzmy takiego, który ma n boków? Tutaj w miejsce dziesiątki należy podstawić n. n razy alfa to 360 stopni. Mamy n trójkątów, a ich kąty przy wierzchołku tworzą kąt pełny. Czyli alfa to 360 przez n. Potem jak pamiętasz, kąt wewnętrzny to 180 stopni minus alfa. W miejsce alfa podstawiamy 360 stopni przez n i ostatecznie otrzymujemy nasz wzór. Miara kąta wewnętrznego w dowolnym wielokącie foremnym to 180 stopni minus 360 przez n. Często ten wzór przedstawiamy w innej postaci. Te dwa wyrażenia sprowadzamy do wspólnego mianownika. Właśnie w ten sposób. Potem odejmujemy. W liczniku możemy wyłączyć 180 stopni przed nawias i otrzymujemy taki wzór. Miara kąta wewnętrznego to inaczej 180 stopni razy n minus 2 przez n. Taki zapis można spotkać w wielu podręcznikach, ale ten wzór i ten stanowią dokładnie to samo. Wykorzystajmy teraz wyznaczony przez nas wcześniej wzór i obliczmy miarę kąta wewnętrznego w stukącie foremnym. Tak właśnie wygląda ten wielokąt. Przypomina koło, prawda? Ale nim nie jest. A to są wszystkie wierzchołki tego wielokąta. Jeśli chcesz i mi nie wierzysz możesz je policzyć. Jak obliczyć miarę kąta wewnętrznego? Pamiętasz jeszcze ten wzór? To 180 stopni razy n minus 2 przez n. Wykorzystałem drugą postać tego wzoru. Co należy podstawić w miejsce n? 100 Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz kąt wewnętrzny. 100 minus 2 to 98 180 przez 100 to 1,8 a 1,8 razy 98 to 176,4 Tutaj mogłeś wykorzystać kalkulator jeśli chcesz. Gratulacje. Wyznaczyliśmy miarę kąta wewnętrznego w stukącie foremnym. A teraz takie pytanie. Czy istnieje taki wielokąt foremny którego kąt wewnętrzny ma miarę 130 stopni? Zauważ, że w poprzednich zadaniach mieliśmy podaną liczbę boków i wyznaczaliśmy miarę kąta. Teraz mamy podaną miarę kąta i musimy wyznaczyć liczbę boków. Po raz kolejny wykorzystamy nasz wzór. Znamy kąt wewnętrzny i musimy wyznaczyć n. Aby pozbyć się n z mianownika możemy to równanie obustronnie przez nie przemnożyć. Otrzymujemy, że 130 razy n to 180 razy n minus 2. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz n. Pozbywam się nawiasu mnożąc wyrazy w środku przez 180. Otrzymujemy 180 razy n minus 360 czyli 2 razy 180. Teraz odejmuję obustronnie 180n. Otrzymujemy, że minus 50n to minus 360. Dzielimy teraz obustronnie przez minus 50 i otrzymujemy, że n jest równe 7,2. Koniec zadania? Jak nazwałbyś wielokąt foremny który ma 7,2 boków. No właśnie, taki wielokąt nie istnieje. n powinno być liczbą naturalną. Jaka jest odpowiedź na nasze pytanie? Nie istnieje taki wielokąt foremny. W wielokątach foremnych wszystkie kąty wewnętrzne są równej miary. Miarę kąta wewnętrznego w takich wielokątach najłatwiej wyznaczyć ze wzoru podanego na planszy. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o wielokątach foremnych. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku PistacjaMatematyka.