Sześciokąt foremny

Jaki wielokąt kojarzy ci się z pszczołami? To sześciokąt foremny. Dlaczego pszczoły wybrały właśnie taki kształt? Okazuje się, że siatka złożona z sześciokątów pozwala na uzyskanie największej powierzchni przy minimalnym wykorzystaniu materiału. Jak widzisz, owady wykorzystują matematykę chociaż jej nie znają. Chyba jej nie znają. Dzisiaj zajmiemy się sześciokątem foremnym. Zacznijmy może od jego kąta wewnętrznego. Pamiętasz jaki to był kąt? Tu zaznaczyłem jeden przykładowy. Jaka jest miara tego kąta? Być może pamiętasz, że istnieje specjalny wzór do wyznaczania miary kąta wewnętrznego wielokąta foremnego. Pamiętasz, jak wyglądał? No właśnie, ja też nie. Dlatego musimy sobie jakoś radzić inaczej. Zobacz, że sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 przystających trójkątów równoramiennych. Jeżeli nie wiesz albo nie pamiętasz dlaczego są to trójkąty równoramienne to zachęcam Cię najpierw do zobaczenia filmu o kątach wewnętrznych w wielokątach foremnych. Oto one. Tutaj mamy kąt pełny, czyli 360 stopni. Ponieważ są to trójkąty przystające to każdy z nich ma tutaj taki sam kąt. 6 alfa daje nam 360 stopni. Ile w takim razie wynosi alfa? Dzielimy przez 6 i otrzymujemy że alfa równa się 60. A miara pozostałych kątów? Zwróć uwagę na to że nie jest to dowolny trójkąt. Mówiliśmy wcześniej, że jest to trójkąt równoramienny, czyli ma ramiona o takiej samej długości. A skoro jest równoramienny to ma takie same kąty przy podstawie. Ja je oznaczę literą beta. Ile wynosi beta? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć miarę kąta beta. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Suma kątów w trójkącie musi dać 180 stopni czyli 2 beta plus 60 stopni to 180 stopni. Odejmuję obustronnie 60 stopni. Czyli 2 beta to 120 stopni. Czyli beta to 60. To ciekawa obserwacja. Jaki w takim razie jest nasz trójkąt? To trójkąt równoboczny. Wszystkie kąty mają miarę 60 stopni. To bardzo ważna informacja. Pokazaliśmy, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Ale trochę odbiegliśmy od tematu. Mieliśmy wyznaczyć miarę kąta wewnętrznego. Czy wiesz ile ona wyniesie? Ten kąt jest 2 razy większy od kąta beta. W takim razie jego miara to 120 stopni. Dzięki temu, że sześciokąt foremny składa się z trójkątów równobocznych możemy w łatwy sposób wyznaczyć jego pole. Zobacz. Skoro sześciokąt składa się z sześciu trójkątów to jego pole jest 6 razy większe od pola jednego takiego trójkąta. Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego? Ten wzór to a kwadrat razy pierwiastek z trzech przez 4 gdzie a to podstawa trójkąta. Załóżmy, że nasz sześciokąt ma bok długości 4. To znaczy, że bok trójkąta równobocznego też ma długość 4. Spróbuj samodzielnie z pomocą tego wzoru wyznaczyć pole tego trójkąta a potem porównaj swój wynik z moim. Pod a podstawiamy 4 i otrzymujemy że pole trójkąta to 4 pierwiastki z trzech. To ile w takim razie wyniesie pole sześciokąta? Będziesz 6 razy większe. 6 razy 4 pierwiastki z trzech daje 24 pierwiastki z trzech. W jaki sposób możemy policzyć pole dowolnego sześciokąta foremnego? Powiedzmy takiego o boku a. Dla takiego dowolnego sześciokąta foremnego, pole to 6 razy a kwadrat pierwiastków z trzech przez 4 czyli 6 razy pole trójkąta równobocznego. Mówiliśmy o kątach w sześciokącie foremnym to może teraz zastanówmy się nad jego przekątnymi. Ile przekątnych jest w sześciokącie foremnym? Znowu możesz wykorzystać odpowiedni wzór albo po prostu wszystkie je narysować. Powinno Ci wyjść, że sześciokąt ma 9 przekątnych. A oto stosowny wzór. W miejsce n należy podstawić liczbę boków. Po podstawieniu rzeczywiście uzyskujemy że sześciokąt foremny ma 9 przekątnych. No dobrze, a ile jest tutaj przekątnych różnej długości? Na tym rysunku będzie bardzo ciężko to określić. Zróbmy sobie trochę miejsca i przeanalizujmy przekątne wychodzące z tylko jednego wierzchołka powiedzmy z tego. Ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka w sześciokącie foremnym? 3. Oto one. Ile jest tutaj przekątnych o różnej długości? Zauważ, że ta przekątna ma taką samą długość, jak ta przekątna. Możemy od razu powiedzieć że w sześciokącie są dwa rodzaje przekątnych różniące się długością. Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić jedną przekątną o takiej samej długości jak ta niebieska przekątna oraz dwie przekątne o takiej samej długości jak te zielone przekątne. No dobrze, to pomyślmy teraz czy jesteśmy w stanie policzyć długości tych przekątnych? Załóżmy, że bok sześciokąta ma długość a. Jak się za to zabrać? Pamiętasz, co mówiliśmy poprzednio? Że sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Zróbmy to, teraz już trochę widać. Spójrz na niebieską przekątną. Czemu ona jest równa? Zauważ, że jest ona 2 razy dłuższa od boku trójkąta równobocznego. Ten odcinek jest równy a ten odcinek również ma długość a. W takim razie niebieska przekątna ma długość 2a. A co z zieloną przekątną? Zobacz. Czym jest ten odcinek w tym trójkącie? Albo czym jest ten odcinek w tym trójkącie? To wysokości tych trójkątów. Zielona przekątna jest 2 razy dłuższa od wysokości trójkąta równobocznego. Jaki jest wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a? To a pierwiastków z trzech przez 2. Ta przekątna będzie 2 razy dłuższa od wysokości, czyli jej długość to a pierwiastków z trzech. No dobrze. To teraz zadanie dla Ciebie. Załóżmy, że ten sześciokąt foremny ma bok o długości 8 centymetrów. Zatrzymaj film i wyznacz długość niebieskiej oraz zielonej przekątnej. Długość niebieski przekątnej to 2 razy 8 centymetrów czyli 16 centymetrów. A długość zielonej przekątnej to 8 pierwiastków z trzech centymetrów. To teraz jeszcze jedno zadanie. Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF. Uzasadnij, że kąt CEF jest kątem prostym. Na samym początku znajdź samodzielnie kąt CEF. Ten kąt jest tutaj. Oznaczyłem go grecką literą alfa. No dobrze i co dalej? Zauważ, że po prowadzeniu przekątnej CE uzyskaliśmy pewien trójkąt. CDE Jaki jest ten trójkąt? Na pewno jest to trójkąt równoramienny ponieważ jego ramiona stanowią boki sześciokąta foremnego. A co możemy powiedzieć o kątach? Czy znamy miarę tego kąta? To 120 stopni, ponieważ jest to kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego. Skoro jest to trójkąt równoramienny to w takim razie kąty przy podstawie będą sobie równe. Ja oznaczę je literą beta. No dobra, ale po co nam w ogóle to beta? A zobacz, jaki to jest kąt? To kąt wewnętrzny sześciokąta czyli 120 stopni. Alfa dodać beta to 120 stopni. Zobacz, jeżeli wyznaczymy betę to wyznaczymy też alfę. W jaki sposób wyznaczyć betę? Sumy kątów w tym trójkącie. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz miarę kąta beta. 2 beta plus 120 stopni to 180 stopni. Czyli 2 beta to 60 stopni czyli beta to 30 stopni. To w takim razie ile wynosi miara kąta alfa? Alfa plus 30 stopni to 120 stopni czyli alfa to 90 stopni. Kąt alfa jest kątem prostym czego należało dowieść. Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Jego pole można obliczyć mnożąc przez 6 pole jednego takiego trójkąta. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę 120 stopni. W sześciokącie foremnym są dwa rodzaje przekątnych o różnych długościach. Zobaczyłeś kolejny film z playlisty o wielokątach foremnych. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv