Rysowanie ostrosłupów

Dokąd prowadzą te schody w górę czy w dół? Albo inne pytanie: czy może istnieć taki trójkąt? Jak widzisz, na papierze możemy narysować wszystko. Nawet takie figury, których nie można skonstruować w rzeczywistości. Zanim przejdziemy do rysowania ostrosłupów zaczniemy od rysowania brył które już na pewno umiesz narysować. Tutaj widzisz narysowany sześcian. Jak sama nazwa wskazuje, sześcian ma 6 ścian i każda z nich jest kwadratem. Na rysunku zaznaczyłem 2 ściany: przednią i tylną. Wyraźnie widać, że mają one kształt kwadratu tak jak w rzeczywistości, czyli w 3D. A co z tymi dwiema ścianami? Jaki mają one kształt? Jak wiesz, powinny to być kwadraty ale na tym płaskim rysunku wyglądają jak równoległoboki. Dlaczego tak jest? Po prostu musimy narysować coś trójwymiarowego na płaskiej kartce. Zwróć uwagę, że jedne elementy wyglądają tak jak w rzeczywistości czyli ta ściana jest kwadratem natomiast inne na płaskim rysunku ulegają zniekształceniu. Ta ściana wygląda jak równoległobok. Co jeszcze ulega zmianie? Skupmy się na kątach. Podstawa sześcianu jest kwadratem. Więc ma 4 kąty proste. Czy one wyglądają na kąty proste? Nie. Te dwa kąty wyglądają jakby były kątami ostrymi natomiast te dwa jak kąty rozwarte. Metoda, którą się posługujemy gdy rysujemy sześcian na kartce nosi nazwę rzutu równoległego. Dlaczego tak się nazywa? Zwróć uwagę na te krawędzie. Są one równoległe. Tak samo te krawędzie. Też są równoległe. Podobnie jak te. Rzut równoległy zachowuje równoległość odpowiednich krawędzi. Stąd wzięła się jego nazwa. Na samym końcu musisz zapamiętać w jaki sposób nie rysować brył. Podam przykład jak nie rysować sześcianu. Tak wygląda sześcian widziany przez kogoś, kto stoi naprzeciw niego. Nie przypomina bryły przestrzennej, prawda? Tak z kolei wygląda sześcian dla kogoś, kto stoi w jego środku. Dlaczego te 2 rysunki sześcianów są błędne? Zobacz, ten rysunek niczym się nie różni od kwadratu. Jak mielibyśmy poznać że to bryła przestrzenna? Tutaj natomiast pokrywają się niektóre odcinki. Na przykład przekątne przedniej i tylnej ściany. Dobry rysunek ułatwia rozwiązanie zadania natomiast błędny przeszkadza. Dlatego warto nauczyć się rysowania brył przestrzennych. Rysowanie ostrosłupów zaczniemy od ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Jaką figurę ma on w podstawie? Taką samą, jak sześcian. Czyli kwadrat. Spróbujmy teraz narysować podstawę tego ostrosłupa tak samo jak rysujemy podstawę sześcianu. Oto narysowany kwadrat oczywiście w rzucie równoległym i odpowiednio pochylony. Wygląda jak równoległobok, prawda? Teraz musimy dorysować krawędzie boczne. Ale w jaki sposób? Gdzie będzie wierzchołek? Tutaj, tutaj, a może tutaj? Zastanówmy się. Jest to ostrosłup prawidłowy. Co wiemy o takich ostrosłupach? Spodek wysokości pada idealnie na środek podstawy. Jak znaleźć środek podstawy? Spójrzmy na podstawę tego ostrosłupa z góry. Oto kwadrat, który stanowi podstawę. Jak znaleźć jego środek? To bardzo proste. Wystarczy narysować jego przekątne. Narysujmy więc przekątne na tej podstawie. Punkt przecięcia będzie spodkiem wysokości. Świetnie! Oto spodek wysokości. Teraz wystarczy narysować wysokość. W jaki sposób? Wystarczy ją nanieść pionowo w górę. Przykładowo, niech ma taką długość. Jaki jest kolejny krok? Nie ma tu żadnej filozofii... Wystarczy połączyć wierzchołki podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa i otrzymamy narysowaną bryłę. Super. Oto nasz ostrosłup. Ale, ale, chwila... Czy wszystko tutaj jest OK? Ile mamy krawędzi? Raz, dwa, trzy. Trzy krawędzie? Powinny być 4! Ale zobacz, ta krawędź tylna pokrywa się na rysunku z tą krawędzią. Tak jak mówiłem wcześniej, bardzo ważne jest umiejętne rysowanie brył na kartce. Jak to naprawić? Wystarczy, że przedłużymy nieco wysokość. Cofnijmy się o parę kroków. Pozbądźmy się krawędzi i przedłużmy wysokość. Teraz powinno być wszystko OK. Oto nasz ostrosłup. Gratulacje! Teraz nauczymy się rysować ostrosłup prawidłowy trójkątny. Jaka figura będzie w jego podstawie? Trójkąt równoboczny. Zaczynamy od narysowania podstawy, pamiętając aby była ona odpowiednio nachylona. Albo - mówiąc kolokwialnie - nieco kopnięta. Super! Jak mówiliśmy poprzednio musimy znaleźć spodek wysokości który znajduje się idealnie w środku tej podstawy. Dla ułatwienia spójrzmy na podstawę z góry. Dobrze. Musimy znaleźć środek trójkąta równobocznego. Gdzie się znajduje? W poprzednim przykładzie wystarczyło narysować przekątne ale w trójkącie nie ma przekątnych. Jak sobie z tym poradzić? Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że środek trójkąta równobocznego znajduje się w miejscu przecięcia jego wysokości. Narysujmy więc wysokości w tym trójkącie. Tutaj jest spodek wysokości. No, dobrze, ale jak narysować wysokości na takim kopniętym rysunku? Jak pamiętasz, rzut równoległy nie musi zachowywać kątów, nawet tych prostych. Należy wykorzystać pewien fakt. Otóz w trójkącie równobocznym wysokości padają idealnie na połowie przeciwległego boku. Akurat środek odcinka w rzucie równoległym jest zawsze zachowany. Wystarczy więc, że wyznaczymy środki tych boków i połączymy je z odpowiednimi wierzchołkami. Do naszych celów wystarczy narysować dwie wysokości. Środek tego boku znajduje się tutaj. Środek tego boku tutaj. Poprowadźmy te wysokości. Na przecięciu mamy spodek wysokości ostrosłupa. A teraz zatrzymaj film i spróbuj dokończyć rysunek samodzielnie. Rysujemy wysokość i tworzymy krawędzie boczne łącząc wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkami podstawy. Super! Umiesz już rysować ostrosłupy prawidłowe trójkątne. Na samym końcu zostały nam ostrosłupy prawidłowe sześciokątne. W ich podstawach znajduje się sześciokąt foremny taki jak ten, który widzisz na rysunku. Na samym początku pytanie: Jak narysować, powiedzmy kopnięty sześciokąt foremny? Wydaje się to skomplikowane, ale zobacz. Najpierw narysujmy 3 przykładowe krawędzie tego sześciokąta. Wiemy, że muszą być one odpowiednio pochylone. Co dalej? Musisz pamiętać, że w sześciokącie odpowiednie pary krawędzi są równoległe. Jako że rysujemy w rzucie równoległym na naszym płaskim rysunku również ta równoległość będzie zachowana. Narysujmy odcinek równoległy do tego. Będzie tutaj. Teraz rysujemy tu odcinek równoległy do tego. Świetnie! Łączymy teraz 2 pozostałe wierzchołki i mamy już podstawę. Wiesz już dużo o rysowaniu ostrosłupów. Spróbuj dokończyć ten rysunek samodzielnie. następnie włącz film ponownie i porównaj swój rysunek z moim. Teraz musimy znaleźć spodek wysokości. Znajduje się on na środku figury czyli na przecięciu przekątnych. Teraz rysujemy odpowiednią wysokość i dodajemy krawędzie boczne. Łączymy wierzchołki i mamy gotowy ostrosłup. Wiesz już teraz, jak rysować ostrosłupy prawidłowe. To teraz zadanie dla ciebie. Spróbuj narysować ostrosłup trójkątny w którym spodkiem wysokości jest jeden z wierzchołków podstawy. Popatrzmy na treść zadania. Po pierwsze ma to być ostrosłup trójkątny ale nie prawidłowy. Możemy narysować dowolny trójkąt w podstawie, na przykład taki. Co jeszcze wiemy? Wiemy, że spodkiem wysokości jest jeden z wierzchołków podstawy. Ten, ten albo ten. Możemy wybrać dowolny z nich. Ja wybiorę ten. Od razu rysuje wysokość. Musimy połączyć ten wierzchołek z pozostałymi 2 wierzchołkami. Na samym końcu zaznaczamy przerywaną linią krawędź, która jest z tyłu. Oto jeden z możliwych ostrosłupów. W tym zadaniu nie ma jednej poprawnej odpowiedzi. Należy pamiętać tylko o tym aby w podstawie był trójkąt a spodek wysokości pokrywał się z jednym z wierzchołków podstawy. Kolejne zadanie będzie podobne. Narysuj ostrosłup czworokątny w którym spodek wysokości jest środkiem jednego z boków podstawy. Spróbuj to rozwiązać samodzielnie. Po pierwsze jest to ostrosłup czworokątny czyli w podstawie rysujemy dowolny czworokąt. Po drugie spodek wysokości jest środkiem jednego z boków podstawy. Wybieramy jeden z boków podstawy, na przykład ten. Znajdujemy jego środek i otrzymujemy spodek wysokości jak i samą wysokość. Teraz poprowadzimy krawędzie boczne i mamy ostrosłup. Pamiętaj o przerywanych krawędziach z tyłu. Oto przepis jak narysować ostrosłup prawidłowy w rzucie równoległym w 4 prostych krokach. Po pierwsze: musimy narysować podstawę. Po drugie: znajdujemy spodek wysokości. Po trzecie: rysujemy tę wysokość. I po czwarte: dorysowujemy krawędzie boczne. Zobaczyłeś właśnie kolejny film poświęcony ostrosłupom. Zachęcam do obejrzenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube: PistacjaMatematyka.