Ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześciokątny - obliczanie długości odcinków

Kości do gry były już używane ponad 5000 lat temu w tak zwanej królewskiej grze z Ur. Były to kości czworościenne. Oprócz klasycznych kości sześciennych są też na przykład kości ośmiościenne dziesięciościenne, dwunastościenne i wiele, wiele innych. Mamy takie zadanie: Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 i krawędzi bocznej 8. O jakim ostrosłupie mówi to zadanie? O ostrosłupie prawidłowym czworokątnym. Jaki to ostrosłup? Jaką figurę ma w swojej podstawie? Czworokąt foremny, czyli kwadrat. Co jeszcze wiemy o tej bryle? Wiemy, że krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 4, a krawędź boczna 8. Narysujmy więc ten ostrosłup. Oto nasza bryła. W podstawie mamy kwadrat. Krawędź podstawy ma długość 4 a krawędź boczna ma długość 8. Dobrze, co musimy znać aby obliczyć objętość ostrosłupa? Pole podstawy oraz długość wysokości. Zacznijmy od pola podstawy ponieważ jest to bardzo łatwe. Ile wynosi? Przypomnij sobie, że podstawa to wielokąt foremny czyli tutaj kwadrat. Pole podstawy tego ostrosłupa to oczywiście cztery do kwadratu czyli szesnaście. No dobrze, a co zrobić z wysokością? Narysujmy od razu na tym rysunku. Oto nasza wysokość. Warto pamiętać o tym że w ostrosłupach prawidłowych spodek wysokości zawsze pokrywa się ze środkiem podstawy. No dobrze, w jaki sposób obliczyć tę wysokość? Ten kąt prosty nie jest tutaj przypadkowo. Mamy tutaj trójkąt prostokątny. Widzisz go? Wysokość, krawędź boczna oraz pewien odcinek w podstawie tworzą trójkąt prostokątny. Tutaj będzie go łatwiej zauważyć. Znamy długość niebieskiego odcinka. Wynosi osiem. Szukamy długości wysokości. Gdybyśmy znali długość tego odcinka moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Czym jest ten odcinek? Spójrzmy na ten ostrosłup z góry. I jak? Czy teraz lepiej widać, czym jest ten odcinek? To połowa przekątnej kwadratu. Co nam daje taka informacja? Zobacz: Wiemy, że bok tego kwadratu ma długość 4. Tyle, co krawędź podstawy ostrosłupa. Czy jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu? Pewnie, że tak. Przekątna kwadratu to 4 razy pierwiastek z 2 czyli 4 pierwiastki z dwóch. Natomiast ten odcinek x to 1/2 całej przekątnej. W takim razie x będzie równe: 4 pierwiastki z dwóch razy 1/2 czyli dwa pierwiastki z dwóch. Super! Znamy długość jednej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć wysokość h korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Układamy równanie: h kwadrat dodać dwa pierwiastki z dwóch do kwadratu to osiem do kwadratu. Czyli h kwadrat dodać 4 razy 2 to 64. Dalej dochodzimy do tego że h kwadrat to 56 czyli h to pierwiastek z 56 albo, mówiąc inaczej dwa pierwiastki z 14. Świetnie! Wyznaczyliśmy wysokość ostrosłupa. Czy to koniec zadania? Nie. Mieliśmy wyznaczyć objętość ale to już tylko formalność. Znamy pole podstawy i długość wysokości. Oblicz samodzielnie objętość tego ostrosłupa. Objętość to jedna trzecia razy pole podstawy razy długość wysokości. Czyli w naszym przypadku 32 pierwiastki z 14 przez 3. Zobacz, co zrobiliśmy. W ostrosłupie znaleźliśmy pewien trójkąt prostokątny i korzystając z właściwości przekątnych w kwadracie obliczyliśmy objętość. Dobra robota! A teraz kolejne zadanie. Mamy obliczyć długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jeżeli krawędź podstawy ma długość 6 a wysokość to trzy pierwiastki z dwóch. Czym to zadanie różni się od poprzedniego? Tym razem mamy wyznaczyć długość krawędzi bocznej. Co znamy? Znamy krawędź podstawy oraz długość wysokości. Na samym początku sporządź odpowiedni rysunek. Oto nasz ostrosłup. W podstawie mamy kwadrat o boku 6 a długość wysokości to 3 pierwiastki z dwóch. W jaki sposób obliczyć teraz długość krawędzi bocznej? Zapewne domyślasz się że musimy znaleźć jakiś trójkąt prostokątny. Widzisz go? Jest tutaj. Składa się on z wysokości pewnego odcinka w podstawie i krawędzi bocznej ostrosłupa. Wybraliśmy go, ponieważ zawiera szukany odcinek jeden odcinek, który znamy i jeszcze jeden, który możemy łatwo obliczyć. Czym jest ten żółty odcinek? Powinieneś już to wiedzieć. To połowa przekątnej kwadratu. Samodzielnie wyznacz długość tego żółtego odcinka. Ja go oznaczę literą x. x to połowa przekątnej czyli 1/2 razy 6 pierwiastków z dwóch ponieważ przekątna w kwadracie to bok razy pierwiastek z dwóch czyli 3 pierwiastki z dwóch. Super! Mamy już długości przyprostokątnych. Teraz nie pozostaje nam nic innego jak wyznaczyć długość krawędzi bocznej. Zrób to samodzielnie. Możesz to zrobić wykorzystując twierdzenie Pitagorasa ale możesz również zadziałać sprytniej i mniej się namęczyć. Zauważ, że te dwie przyprostokątne mają taką samą długość. W takim razie ten trójkąt prostokątny stanowi połowę kwadratu o boku 3 pierwiastków z dwóch. Przeciwprostokątna będzie w tym wypadku przekątną tego kwadratu a jej długość to bok razy pierwiastek z dwóch czyli 3 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z dwóch co daje nam ostatecznie 6. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 6. Gratulacje! A teraz ostatnie zadanie. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 12 i krawędzi bocznej 20. Co mamy teraz zrobić? Wyznaczyć objętość. Ale jakiego ostrosłupa? Prawidłowego sześciokątnego. Jaka figura jest w jego podstawie? Sześciokąt foremny. Zacznijmy od narysowania tej bryły. Zrób to samodzielnie. To nasza bryła. W podstawie sześciokąt foremny o boku 12 a krawędź boczna ma długość 20. Tak jak mówiliśmy wcześniej do wyznaczenia objętości musimy znać pole podstawy i długość wysokości. Narysujmy tę wysokość. Na pewno wiesz, co powinniśmy teraz zrobić. Szukamy trójkątów prostokątnych. Widzisz je? Szukany trójkąt jest tutaj. Wysokość, pewien odcinek w podstawie oraz krawędź boczna. Teraz pytanie, czym jest ten odcinek? Znowu musimy spojrzeć na ostrosłup z góry. Co widzisz? Jest to połowa tej przekątnej w sześciokącie. Ale jaka jest długość tego odcinka? Możemy to od razu stwierdzić. Jeżeli ten sześciokąt ma bok o długości 12 to ten odcinek również ma długość 12. Dlaczego? Zobacz, że nasz sześciokąt foremny jest podzielony na 6 przystających trójkątów równobocznych. Jeżeli tego nie pamiętasz zachęcam cię najpierw do zobaczenia filmu o sześciokątach foremnych. Znamy długość jednej przyprostokątnej oraz przeciwprostokątnej. Wyznacz teraz samodzielnie wysokość tego ostrosłupa. Powinieneś otrzymać, że h kwadrat to 256 czyli h jest równe 16. Świetnie! Potrzebujemy jeszcze tylko pola podstawy. Jaki jest wzór na pole podstawy sześciokąta foremnego? Widzisz, ja też go nie pamiętam. Ale wykorzystajmy fakt, że ten sześciokąt składa się z 6 trójkątów przystających i są to trójkąty równoboczne. Będziemy znali pole jednego trójkąta to będziemy znali pole całego sześciokąta. Ile wynosi pole trójkąta równobocznego o boku 12? Pole trójkąta o boku a to a kwadrat pierwiastków z trzech przez cztery. W naszym przypadku a to 12 czyli 12 do kwadratu pierwiastków z trzech przez cztery czyli 144 pierwiastki z trzech przez cztery czyli 36 pierwiastków z trzech. To ile wynosi pole sześciokąta? Jest 6 razy większe. 6 razy 36 pierwiastków z trzech daje nam 216 pierwiastków z trzech. Super! Mamy już pole podstawy. Pozostaje tylko wyznaczyć objętość. Zrób to samodzielnie. Objętość to 1/3 razy wysokość, czyli 16 razy pole podstawy czyli 216 pierwiastków z trzech. Otrzymujemy 1152 pierwiastki z trzech. Zobacz: znowu szukaliśmy trójkąta prostokątnego i znowu wykorzystywaliśmy własności przekątnych figur znajdujących się w podstawie ostrosłupa. Dobra robota! W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Ponadto warto pamiętać o zależności pomiędzy długością przekątnej kwadratu i długością jego boku. Zobaczyłeś właśnie kolejny film poświęcony ostrosłupom. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku PistacjaMatematyka