Ostrosłupy - zadania

Piramidy kojarzą ci się zapewne ze starożytnym Egiptem i grobowcami faraonów. Mało kto wie, że w Polsce również są piramidy. Na zdjęciu widzisz piramidę w Rapie która powstała na początku XIX wieku i jest grobowcem pruskiego rodu von Fahrenheid. A teraz mamy takie zadanie. Suma długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego wynosi 150 cm. Oblicz długości tych krawędzi jeżeli podstawą ostrosłupa jest sześciokąt i krawędź boczna jest o 5 cm dłuższa od krawędzi podstawy. Co mamy obliczyć w tym zadaniu? Długości krawędzi w ostrosłupie. Jakie to krawędzie? Krawędź boczna i krawędź podstawy. Dobrze. Co wiemy o tym ostrosłupie? Po pierwsze jest to ostrosłup prawidłowy. To oznacza, że w jego podstawie znajduje się wielokąt foremny a wszystkie krawędzie boczne mają taką samą długość. Wiemy też, że suma długości krawędzi w ostrosłupie wynosi 150 cm. Czy możemy już narysować ten ostrosłup? Nie! Ostrosłupów prawidłowych jest bardzo wiele. Musimy wykorzystać dodatkowo informację że w podstawie tego ostrosłupa jest sześciokąt. Z jaką bryłą mamy do czynienia? Z ostrosłupem prawidłowym sześciokątnym. Suma jego krawędzi bocznych i krawędzi podstawy wynosi 150 cm. Co jeszcze wiemy? Wiemy, że krawędź boczna jest o 5 cm dłuższa od krawędzi podstawy. Możemy oznaczyć krawędź podstawy jako niewiadomą, powiedzmy p. Dobrze. Mamy oznaczoną krawędź podstawy ale co zrobić z krawędzią boczną? Zobacz: wiemy, że krawędź boczna jest o 5 cm dłuższa od krawędzi podstawy. Czyli jeżeli krawędź podstawy ma długość p to krawędź boczna będzie o 5 cm dłuższa od p, czyli otrzymamy p plus 5. Możemy ją oznaczyć w taki sposób. Ile jest krawędzi podstawy w tym ostrosłupie? Sześć. Ponieważ w podstawie jest sześciokąt foremny. Jaka będzie łączna długość wszystkich krawędzi podstawy? 6 razy p albo inaczej 6p tak, jak mamy tutaj. A ile mamy krawędzi bocznych? Również jest ich 6. To jaka będzie ich łączna długość? 6 razy p plus 5. Możemy to zapisać w taki sposób. Dobrze, ale co możemy zrobić z tą wiedzą? Zobacz. Mówiliśmy na początku że suma długości krawędzi wynosi 150 cm. A suma długości krawędzi to łączna długość krawędzi podstawy dodać łączna długość krawędzi bocznych. Jeżeli dodamy do siebie te dwa wyrażenia to musimy otrzymać 150 cm. Ułóżmy odpowiednie równanie. Łączna długość krawędzi podstawy dodać długość wszystkich krawędzi bocznych daje nam w rezultacie 150 cm. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć p. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Najpierw musimy wymnożyć wszystko w nawiasie. 6 razy p to 6p 6 razy 5 to 30. 6p plus 6p to 12p a 150 minus 30 to 120. Dzielimy przez 12 i otrzymujemy: p równa się 10. To oznacza, że długość krawędzi podstawy w tym ostrosłupie wynosi 10 cm. Jaka jest długość krawędzi bocznej? Jest ona o 5 cm dłuższa czyli do 10 dodajemy 5 i otrzymujemy 15 cm. A teraz takie zadanie. Poniższy rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa. Oblicz długości pozostałych krawędzi tego ostrosłupa. Zobacz. Tak, jak było powiedziane w treści zadania mamy tutaj siatkę pewnego ostrosłupa. Jaka figura znajduje się w jego podstawie? Kwadrat. Jaka jest długość boku tego kwadratu? 1. Wiemy więc, że te pozostałe krawędzie również mają długość 1. Długości jakich krawędzi jeszcze znamy? Oprócz kwadratu mamy tutaj również 4 trójkąty. Zauważ, że każdy z tych trójkątów jest trójkątem prostokątnym. Jak nam to może pomóc? W trójkącie prostokątnym będziemy mogli wykorzystać twierdzenie Pitagorasa. Długości jakich krawędzi obliczyłbyś najpierw? Trzeba wybrać taki trójkąt, aby brakowało w nim długości tylko jednego boku, jak tutaj. Znamy długości przyprostokątnych. Wystarczy obliczyć przeciwprostokątną. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Zauważ, że ten trójkąt nie dość że jest prostokątny, jest jeszcze równoramienny. A w takim trójkącie przeciwprostokątna jest pierwiastek z 2 razy dłuższa od przyprostokątnej. Długość tego odcinka to po prostu pierwiastek z 2. Super! Wyznaczyliśmy jedną z krawędzi. Czy na pewno tylko jedną? Zauważ, że te 2 trójkąty są przystające a to oznacza, że mają boki takiej samej długości. Więc tutaj też będziemy mieć pierwiastek z 2. Gdzieś jeszcze? Tak – tutaj i tutaj. Po złożeniu ostrosłupa te krawędzie się pokryją. Również te dwie krawędzie się pokryją. Musimy jeszcze obliczyć długości tych dwóch krawędzi. Zrób to samodzielnie. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy, że długość tej krawędzi to pierwiastek z 3. A jaka jest długość tej krawędzi? Jest taka sama. Po złożeniu ostrosłupa te dwie krawędzie się pokryją. Świetnie! Wyznaczyliśmy długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa na podstawie jego siatki. Na końcu przekonajmy się, że rzeczywiście ta siatka jest siatką ostrosłupa. Zobacz. A teraz mamy takie zadanie. Bryły, które narysowano poniżej powstały z dwóch jednakowych sześcianów o krawędzi 1 dm w ten sposób że z jednego sześcianu wycięto ostrosłup o wysokości pół decymetra i doklejono do drugiego sześcianu. Porównaj pola powierzchni tych brył. Dobrze. Przyjrzyjmy się powierzchniom obu brył. Wiesz dobrze, że pole powierzchni bryły to suma powierzchni jej ścian. Jakie ściany mają te dwie bryły? Na pewno są to ściany sześcianu i ściany ostrosłupa. Ile jest ścian sześcianu? 5. Wszystkie oprócz górnej na której albo dokleiliśmy ostrosłup albo wycięliśmy kontur bryły w bryle. Wszystkie one mają taką samą powierzchnię bo mieliśmy dwa identyczne sześciany. Dobrze, a co z tym ostrosłupem? Zauważ, że tutaj wystarczy rozpatrywać powierzchnie boczne tych ostrosłupów. Podstawa w każdym wypadku jest niewidoczna. Wklejona bądź wycięta. Czy te ściany boczne powstałe po wycięciu ostrosłupa będą miały inną powierzchnię niż te doklejone tutaj? Oczywiście, że nie. Ten ostrosłup znajdował się wcześniej w tej bryle. W każdym wypadku musimy te pola dodać. Nawet, jeśli wycięliśmy ostrosłup w środku to dodatkowe ściany powiększają a nie pomniejszają powierzchnię bryły. Pola powierzchni tych dwóch brył są więc takie same. Może to być zaskakujące że wykrawając coś z jednej bryły i przyklejając do drugiej nie zmieniamy pola powierzchni. Pola powierzchni obu tych brył są równe. Czy wszystko jest równe w tych bryłach? Sprawdźmy ich objętości. Jak to zrobić? Zobacz: każda z tych brył powstała z sześcianu. Jednak tutaj do sześcianu dodajemy ostrosłup a tutaj wycinamy ostrosłup. Jaka będzie objętość sześcianu? To proste. Skoro te sześciany mają bok długości 1 dm to ich objętość wynosi 1 dm sześcienny. A jak obliczyć objętość wyciętego ostrosłupa? Musimy znać jego pole podstawy oraz wysokość. Wysokość jest podana w treści zadania – to pół decymetra. A pole podstawy? Podstawą jest kwadrat o boku 1 dm. Podstawiamy to wszystko do wzoru i otrzymujemy, że objętość ostrosłupa równa się 1/3 razy 1/2 czyli 1/6 dm sześciennego. Oblicz teraz samodzielnie objętości tych dwóch brył. Tak jak mówiliśmy wcześniej, objętość tej bryły to objętość sześcianu pomniejszona o objętość wyciętego ostrosłupa czyli 5/6 dm sześciennego. Natomiast objętość tej bryły to objętość sześcianu powiększona o objętość ostrosłupa czyli 1 i 1/6 dm sześciennego. Nazwę ostrosłupa tworzymy od wielokąta który znajduje się w jego podstawie. Jeżeli w podstawie ostrosłupa jest wielokąt foremny a jego krawędzie boczne są równe to mówimy, że ten ostrosłup jest prawidłowy. Ważne wzory, o których musisz pamiętać to wzór na objętość ostrosłupa oraz wzór na jego pole powierzchni. Zobaczyłeś właśnie kolejny film poświęcony ostrosłupom. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv