Matematycy, wszystkie liczby które można wymierzyć, czyli takie które przedstawiają długość, temperaturę objętość lub natężenie, nazywają liczbami wymiernymi. Jakie to liczby? Dowiesz się z tego filmu. Zbiór liczb rzeczywistych składa się z dwóch podzbiorów: zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. Zbiór liczb wymiernych zawiera w sobie zbiór liczb całkowitych i naturalnych dlatego możemy oznaczyć to w ten sposób. Zarówno liczby naturalne jak i liczby całkowite są jednocześnie liczbami wymiernymi ale czym właściwie są liczby wymierne? Liczby wymierne to takie liczby które możemy przedstawić za pomocą ułamka zwykłego nieskracalnego w takiej postaci: W = p / q. Ten zapis oznacza, że nasz ułamek jest nieskracalny, czyli nie da się go już bardziej uprościć. Zobaczmy to na przykładzie. Przykładem liczby wymiernej będą 2/7 ponieważ nie możemy tego ułamka zapisać w prostszej postaci. Na diagramie mamy zapisane że liczby całkowite i liczby naturalne również są liczbami wymiernymi. Czy na pewno? Zobaczmy. Weźmy liczbę 3. Liczbę 3 możemy zapisać jako 3/1 więc jest to liczba wymierna. Nieskracalne ułamki proste są liczbami wymiernymi. Liczby całkowite są liczbami wymiernymi. A czy ułamki dziesiętne też są liczbami wymiernymi? Zobaczmy. Mamy ułamek 125 tysięcznych. Przekształćmy go w ułamek prosty. Będzie to 125 przez 1000. Musimy jeszcze jak najbardziej uprościć nasz ułamek. Podzielmy więc licznik i mianownik przez 25. 125 podzielić na 25 daje nam 5 natomiast 1000 przez 25 daje nam 40 a więc nasz ułamek to 5/40. Jak widzisz, dalej możemy go uprościć. Zróbmy to. Podzielmy licznik i mianownik jeszcze przez 5. 5 podzielić na 5 daje nam 1, 40 na 5 daje 8. a więc naszym ułamkiem jest 1/8 czyli 125 tysięcznych jest liczbą wymierną. Wiemy, że ułamki dziesiętne są liczbami wymiernymi, ale co zrobić jeśli rozwinięcie ułamka jest okresowe? Zobaczmy. Mamy ułamek 7/10 w okresie. Możemy go rozwinąć. Będzie to 0, 7, 7, 7, 7 i tak do nieskończoności. Żeby się upewnić że nasz ułamek jest liczbą wymierną musimy zamienić go na ułamek zwykły. Pokażę ci jak to zrobić, czyli jak obciąć mu ogon. W tym celu wykonamy proste działanie. Zapiszmy, że x = 0,7777 do nieskończoności. Wtedy 10 x będzie się równało 7,7, 7, 7 i tak do nieskończoności. Od 10 x odejmijmy x. Będzie się to równało 7,7777 do nieskończoności, odjąć 0,77777. 10 x odjąć x daje nam 9x i to się równa 7, bo tych siódemek po przecinku w obu liczbach mamy tyle samo. Teraz możemy obie strony równania podzielić przez 9 i nasz x = 7/9. Ułamek przedstawiony w postaci rozwinięcia dziesiętnego okresowego, tak jak ułamek zwykły, jest liczbą wymierną. Czyli przekształcenie naszego ułamka dziesiętnego z rozwinięciem okresowym na ułamek prosty, polega na przesunięciu naszej liczby w okresie przed przecinek i pozbyciu się jej ogona. Rozwiążmy takie zadanie: Zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. Naszym ułamkiem dziesiętnym jest liczba y, równa 0,54 w okresie. Jest to to samo, co 0,54 54 54 do nieskończoności. Zobacz, ten ułamek ma okres składający się z dwóch liczb. Co trzeba zrobić, żeby przesunąć przecinek o dwa miejsca? Trzeba go pomnożyć przez 100. Wykonaj to działanie samodzielnie, postępując podobnie, jak w poprzednim zadaniu. Zatrzymaj film, a następnie sprawdź swój wynik z moim. 100 y równa się 54,54 54 do nieskończoności. Teraz wystarczy, że od tych 100 y odejmiemy y. To będzie się równać 54,54 54 do nieskończoności, odjąć 0,54 54 54 do nieskończoności. Sto y minus y daje nam 99 y natomiast 54 z tym naszym ogonem odjąć właśnie ten ogon, daje nam po prostu 54. Podzielmy obie strony równania przez 99 więc y będzie się równało 54/99. Z poprzedniego zadania wiemy, że ułamki dziesiętne z rozwinięciem okresowym są liczbami wymiernymi, ale uprośćmy nasz ułamek. Skróćmy więc licznik i mianownik przez 9. 54 podzielić przez 9 daje nam 6. Z kolei 99 podzielić przez 9 daje nam 11 a więc nasz y równa się 6/11. Rozwiążmy jeszcze jeden przykład. Naszym ułamkiem dziesiętnym jest liczba t = 0,1 i 37 w okresie. Jest to to samo, co 0,1 37 37 37 do nieskończoności. Zauważ, że teraz okres zaczyna powtarzać się dopiero od czwartej cyfry po przecinku. Mamy powtarzające się 37, przeszkadza nam jednak jedynka na początku okresu. Jak usunąć pierwsze trzy cyfry? Pomnóżmy naszą liczbę przez 1000 oraz przez 10. Zobacz: 1000 t, to jest 137 przecinek 37 37... do nieskończoności. 10 t to się równa jeden, przecinek 37 37 37... do nieskończoności. Jaki będzie wynik działania 1000 t odjąć 10 t? Zatrzymaj film, oblicz samodzielnie a następnie porównaj swój wynik z moim. 1000 t minus 10 t to się równa 137,37 37... do nieskończoności odjąć 1,37 37 37... do nieskończoności. Wyliczając 10 t i 1000 t możemy pozbyć się całego tego ogona. 1000 t odjąć 10 t, to jest 990 t. 137 i nasz ogon, odjąć 1, przecinek i nasz ogon daje nam 136. Podzielmy obie strony równania przez 990 a więc t równa się 136/990. Podzielmy jeszcze licznik i mianownik na 2. 136 na 2 daje nam 68 990 na 2 daje nam 495 a więc ułamek 0,1 i 37 w okresie jest liczbą wymierną. Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie. Zakreśl wszystkie liczby, które należą do zbioru liczb wymiernych. Zatrzymaj film i spróbuj rozwiązać to zadanie samodzielnie. Z poprzednich przykładów wiemy że ułamek 0,33 w okresie będzie liczbą wymierną. Pierwiastek z 36 to to samo, co sześć więc również jest liczbą wymierną, ponieważ liczby całkowite są liczbami wymiernymi. Liczba 18 jest liczbą całkowitą więc również jest liczbą wymierną tak samo, jak liczba 6 do czwartej. Liczbę 26,25 możemy zamienić na ułamek prosty, więc jest to liczba wymierna tak samo, jak liczba 0,16. Reszta wymienionych liczb należy do zbioru liczb niewymiernych i o nich opowiem Ci w kolejnym filmie. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem W. Zawiera on w sobie wszystkie te liczby które możemy określić za pomocą ułamka nieskracalnego liczb całkowitych. Zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych filmów z playlisty o zbiorach liczbowych. Odwiedź też nasz fanpage na Facebooku.