Matematyk z żoną opuszcza hotel. Stoją z bagażami na ulicy. Żona mu nie ufa gdyż jest wielce roztargniony więc mówi: poczekaj tu i przypilnuj bagaży a ja zamówię taksówkę. Zostawiła go mruczącego coś pod nosem. Gdy wróciła po kilku minutach mąż powiedział: wydawało mi się że mówiłaś, że mamy 8 walizek a ja policzyłem tylko do siedmiu. Ależ nie!- mówi żona. Przecież jest 8. Nie. Policz sama. 0,1,2,3... Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Liczby naturalne są to liczby od zera do nieskończoności. Każda następna liczba naturalna jest o 1 większa od poprzedniej. Do zbioru tych liczb zaliczamy liczby parzyste które oznaczyłam na niebiesko i nieparzyste które oznaczyłam na pomarańczowo. Jak sądzisz, czy iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty czy nieparzysty? Ponieważ chcemy rozstrzygnąć ten problem dla wszystkich liczb naturalnych zapiszemy go ogólnie. Weźmy dowolną liczbę naturalną którą mogę zapisać jako n. Następna po niej, co widzisz na osi liczbowej jest liczba n plus 1. Nasz iloczyn będzie zatem wyglądał tak: n razy, w nawiasie n plus 1. Jak pamiętasz co druga liczba naturalna jest parzysta. Jednak nie wiemy czy w naszym iloczynie parzysta jest liczba n czy n plus 1. Czy jest to ważne? Masz rację, nie jest. Bo mnożenie jest działaniem przemiennym. Wiemy zatem, że na pewno jedna z tych liczb jest parzysta. No a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej jest parzysty. Co możesz sprawdzić na dowolnym przykładzie liczb z osi liczbowej. Na przykład 2 razy 3 da nam 6 które jest parzyste i 7 razy 8 da nam liczbę 56 która również jest parzysta. Liczby naturalne możemy również podzielić na liczby pierwsze zaznaczone na żółto i liczby złożone zaznaczone na niebiesko. Pamiętaj, że liczby 0 i 1 nie należą ani do liczb pierwszych ani do liczb złożonych. Jeśli nie pamiętasz jak znaleźć liczby pierwsze lub złożone obejrzyj na naszym kanale film o liczbach pierwszych i złożonych. Każdą liczbę złożoną możemy zapisać jako iloczyn liczb pierwszych które są jej dzielnikami. Możemy w ten sposób znaleźć największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb. Jeśli nie pamiętasz jak to zrobić obejrzyj na naszym kanale filmy o NWD i NWW. Skoro już sobie przypomnieliśmy jakie są liczby pierwsze a jakie złożone rozwiążmy takie zadanie. Wyznacz liczby a i b wiedząc, że NWD liczby a i b równa się 6 a NWW liczby a i b równa się 210. Żeby to obliczyć najłatwiej będzie nam posłużyć się wzorem na zależność między NWD i NWW. Podstawmy nasze dane z zadania pod wzór. NWD liczby a i b to 6 razy NWW liczby a i b, czyli 210 równa się a razy b NWD jest dzielnikiem liczb a i b więc możemy zapisać że obie nasze liczby są podzielne przez 6. A więc a będzie jakąś liczbą x pomnożoną razy 6 i b będzie jakąś liczbą y pomnożoną razy 6. Skoro NWD jest dzielnikiem liczb a i b to jest również dzielnikiem NWW. A więc lewą stronę naszego działania możemy zapisać jako 6 oznaczające nasze NWD razy 6 razy 35 bo 6 razy 35 to 210. I nasza lewa strona równa się 6 razy x, które jest naszym a i razy 6 razy y, które jest naszym b a więc wiemy, że a razy b to 6 razy 6 razy 35. Wiemy też, że każda z tych liczb jest podzielna przez 6. To jak możemy wykorzystać nasze 35? Wychodzi na to że 35 to jest nasze x razy y. A więc nasze a może się równać 6 razy 1, czyli 6 i b równe 6 razy 35, czyli 210. Zauważ, że może też być tak że b będzie się równało 6 a a będzie się równało 210 bo mnożenie jest przecież przemienne. No dobrze, ale zastanówmy się czy istnieje inne rozwiązanie tego zadania. Czy 35 jest liczbą pierwszą? Nie jest. 35 to iloczyn 5 razy 7. Czy możemy ten fakt jakoś wykorzystać do znalezienia drugiego rozwiązania do tego zadania? Oczywiście! Możemy zapisać że nasze NWW razy NWD to 6 razy 6 razy 5 razy 7 a skoro tak to nasze a może się równać 6 razy 5 a b, 6 razy 7. A więc a może się równać 30 a b, 42. Albo odwrotnie a może się równać 42 a b, 30. Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie. Dla jakich liczb naturalnych n ułamek 6n plus 3 przez 3n plus 1 jest naturalny? Zacznijmy od zastanowienia się w jakiej sytuacji ułamek jest liczbą naturalną. Ułamek jest liczbą naturalną wtedy gdy możemy go przedstawić w postaci liczby całkowitej większej bądź równej zeru. Przepiszmy zatem nasz ułamek. 6n plus 3 przez 3n plus 1 Zatrzymaj teraz film i zastanów się ile razy mianownik mieści się w liczniku i co z tego wynika? Zacznijmy od tego ile razy 3n mieści się w 6n. To bardzo proste. 2 razy. W takim razie możemy zapisać nasz licznik jako 2 razy, w nawiasie 3n plus 1. Czy licznik zapisany jest poprawnie? Ile trzeba dodać aby nasz licznik był poprawny? Musimy jeszcze dodać 1. I mamy przekształcony cały ułamek. Ten zapis aż prosi się o skrócenie. Jak widzisz nie możemy jeszcze tego zrobić. Musimy najpierw rozbić nasz ułamek na sumę dwóch ułamków. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozbić ten ułamek na sumę dwóch ułamków. Pierwszym ułamkiem będzie 2 razy, w nawiasie 3n plus 1. podzielić przez 3n plus 1 Zaś drugim ułamkiem będzie 1 przez 3n plus 1. W pierwszym ułamku możemy skrócić nawias z mianownikiem i otrzymamy 2. Liczba 2 jest liczbą naturalną. Teraz musimy znaleźć takie n żeby ułamek 1 przez 3n plus 1 był liczbą całkowitą. Zatrzymaj teraz film i zastanów się, jaką liczbą może być n. Szukamy takich liczb n aby cały nasz ułamek 6n plus 3 przez 3n plus 1 był liczbą naturalną a więc liczbą od zera do nieskończoności. W takim razie ułamek 1 przez 3n plus 1 musi być całkowity. Aby nasz ułamek 1 przez 3n plus 1 był całkowity możemy 1 podzielić tylko przez 1 albo przez - 1. W takim razie możemy zapisać że 3n plus 1 równa się 1 lub 3n plus 1 równa się -1. Wtedy w pierwszym przypadku 3n będzie się równało 1 odjąć 1 a więc 0, co da nam n równe 0 lub w drugim przypadku 3n plus 1 może się równać -1 a więc 3n może się równać -2 i to da nam wynik n równe -2/3. Szukaliśmy liczby n która będzie naturalna a więc jedynym możliwym rozwiązaniem tego zadania będzie n równe 0. W ten sposób rozwiązaliśmy zadanie. A co jeśli liczba nie jest podzielna przez dzielnik? Udowodnij, że każda liczba całkowita k która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2 ma tę własność że reszta z dzielenia liczby 3k kwadrat przez 7 jest równa 5. Z pierwszej części zadania wynika że liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje nam coś i resztę 2. Przekształćmy nasz zapis tak żeby po lewej stronie mieć samo k. Wtedy k będzie się równać 7x plus 2 ponieważ reszta to 2. Reszty z dzielenia nie mnożymy przez nasz dzielnik. Teraz zatrzymaj film i zapisz liczbę 3k kwadrat. 3k kwadrat to inaczej 3 razy, w nawiasie 7x plus 2 podniesione do kwadratu. Podnosząc nasz nawias 7x plus 2 do kwadratu najlepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia z którego wyliczymy że nasz nawias 7x plus 2 do kwadratu to 49x kwadrat dodać 28x i dodać 4. To wyrażenie musimy jeszcze pomnożyć przez 3, które jest przed nawiasem i otrzymamy 147x kwadrat dodać 84x i dodać 12. Mamy wykazać, że reszta z dzielenia naszej liczby 3k kwadrat przez 7 to 5. W tym celu wyciągnijmy z naszego wyniku siódemki. 147x kwadrat to 7 razy 21x kwadrat dodać 84x to to samo co 7 razy 12x a 12 możemy przedstawić jako 7 plus 5. Tutaj widać, że przy dzieleniu naszej liczby 3k kwadrat przez 7 naszą resztą będzie liczba 5. W ten sposób rozwiązaliśmy ostatnie zadanie. Liczby naturalne to wszystkie liczby całkowite od zera do nieskończoności. Liczba pierwsza jest to taka liczba która ma dokładnie 2 różne dzielniki jedynkę i samą siebie zaś liczba złożona ma co najmniej 3 różne dzielniki. Zachęcam Cię do obejrzenia kolejnych filmów z playlisty o zbiorach liczbowych a także do odwiedzenia naszej strony internetowej.