Pierwiastki chemiczne możemy ze sobą łączyć i mieszać z różnym skutkiem. Czasami coś dymi, czasami coś wybucha a czasami nie dzieje się zupełnie nic. Czy możemy tak samo mieszać ze sobą pierwiastki matematyczne? Sprawdzimy to za chwilę. Powinieneś już znać podstawowe prawa działań na pierwiastkach,czyli mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia. A pamiętasz jak się wyłączało czynnik przed znak pierwiastka? Spróbujmy to najpierw zrobić dla pierwiastka kwadratowego z osiemdziesięciu. 80 możemy zapisać jako 16 razy 5 ponieważ 16 razy 5 to 80. Dlaczego tak zrobiliśmy? Zauważ, że 16 to 4 do kwadratu. Teraz korzystając z prawa działań na pierwiastkach, możemy zapisać to wyrażenie jako iloczyn dwóch pierwiastków. Czyli mamy pierwiastek z czterech do kwadratu razy pierwiastek z pięciu. Ile to pierwiastek z czterech do kwadratu? To oczywiście 4. Czyli ostatecznie otrzymujemy 4 pierwiastki z pięciu. A co zrobić z pierwiastkami wyższych stopni? Na przykład jak uprościć pierwiastek czwartego stopnia z czterdziestu ośmiu? Poprzednio mieliśmy pierwiastek stopnia drugiego i znaleźliśmy w nim iloczyn zawierający kwadrat. Logiczne jest, abyśmy teraz znaleźli iloczyn zawierający jakąś liczbę podniesioną do czwartej potęgi. Zobacz, że 48 możemy zapisać jako 16 razy 3. A ile to jest 16? Owszem, to 4 do drugiej ale szukamy czwartej potęgi. 16 to również 2 do czwartej. Tak samo możemy ten pierwiastek rozbić na iloczyn dwóch pierwiastków i otrzymujemy, że to 2 pierwiastki czwartego stopnia z trzech. Albo kolejny przykład. Jak uprościć pierwiastek piątego stopnia z pięciuset tysięcy? Zobacz. Tym razem będziemy szukać pod pierwiastkiem jakiejś liczby podniesionej do piątej potęgi. Widzisz tu jakąś? 500 000 to 100 000 razy 5. Ta liczba ma 5 zer. Możemy ją inaczej zapisać jako 10 do potęgi piątej. Zaleźliśmy więc liczbę podniesioną do piątej potęgi. Zatrzymaj teraz film i analogicznie jak w poprzednich przykładach doprowadź ten pierwiastek do najprostszej postaci. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Iloczyn pod pierwiastkiem przedstawiamy jako iloczyn dwóch pierwiastków. Pierwiastek piątego stopnia z dziesięciu do piątej razy pierwiastek piątego stopnia z pięciu. Ta liczba jest oczywiście równa 10 czyli otrzymujemy ostatecznie 10 pierwiastków piątego stopnia z pięciu. No dobrze. Jak widzisz, kluczowe jest rozbicie liczby pod pierwiastkiem na odpowiedni iloczyn. Spróbujmy jeszcze policzyć wspólnie pierwiastek sześcienny ze stu czterech. Jak zapisać 104 w postaci iloczynu? Pamiętaj, że każdą liczbę zawsze możesz rozłożyć na czynniki pierwsze. 104 to liczba parzysta czyli na pewno dzieli się przez 2. Możemy ją zapisać w postaci 2 razy 52. 52 również jest parzysta. Jeżeli podzielimy ją przez 2 otrzymamy 26. Czyli mamy 2 razy 2 razy 26. Zauważ, że nadal jeszcze nie mamy żadnego sześcianu. Ale 26 również jest parzysta. To 2 razy 13. 104 to 2 razy 2 razy 2 razy 13 czyli 2 do trzeciej razy 13. O to nam chodziło. Spróbuj teraz samodzielnie do końca uprościć ten pierwiastek. Zapisujemy tę liczbę jako iloczyn dwóch pierwiastków i otrzymujemy 2 pierwiastki trzeciego stopnia z trzynastu. Znamy podstawowe zasady rządzące mnożeniem i dzieleniem pierwiastków. A co z dodawaniem lub odejmowaniem? Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że możemy dodawać i odejmować tylko te pierwiastki które są tego samego stopnia i mają taką samą liczbę podpierwiastkową. Spójrz tutaj. Ile to 3 pierwiastki piątego stopnia z trzech minus pierwiastek piątego stopnia z trzech? Gdybyśmy pierwiastek piątego stopnia z trzech oznaczyli jakąś literą powiedzmy a, to mielibyśmy wyrażenie 3a minus a, co nam daje oczywiście 2a czyli 2 pierwiastki piątego stopnia z trzech. Podobnie jest w przypadku dodawania. 6 pierwiastków siódmego stopnia z jedenastu dodać 3 pierwiastki siódmego stopnia z jedenastu to 9 pierwiastków siódmego stopnia z jedenastu. Dodajemy takie same pierwiastki. Tutaj mamy ich 6, a tutaj mamy ich 3. No dobrze. A tutaj mamy taki przykład. Ile to jest pierwiastek ze stu dwudziestu pięciu minus pierwiastek z czterdziestu pięciu? Czy możemy to odjąć? Nawet nie myśl o tym aby odjąć od 125, 45. Trzeba postąpić w inny sposób. Mówiliśmy przed chwilą że możemy dodawać bądź odejmować pierwiastki identyczne, czyli takie które są takiego samego stopnia i mają taką samą liczbę podpierwiastkową. Tutaj mamy pierwiastki takiego samego stopnia, ale mamy różne liczby podpierwiastkowe. Tutaj 125, a tutaj 45. Co można z tym fantem zrobić? A gdybyśmy uprościli to wyrażenie na przykład korzystając z umiejętności wyłączania czynnika przed pierwiastek tak jak w poprzedniej planszy? Spróbujmy. Jak inaczej możemy zapisać 125? To 25 razy 5. Zauważ, że tutaj kryje się kwadrat 5. Jak rozpisać 45? To to samo co 9 razy 5. Tutaj zauważ że kryje nam się kwadrat trójki. Co możemy zapisać w taki sposób. Jaki czynnik możemy tutaj wyłączyć przed pierwiastek? Piątkę. Otrzymamy 5 pierwiastków z pięciu. A tutaj? Trójkę. Otrzymamy 3 pierwiastki z pięciu. Możemy teraz odjąć? Oczywiście. 5 pierwiastków z pięciu odjąć 3 pierwiastki z pięciu to oczywiście 2 pierwiastki z pięciu. Zobacz co zrobiliśmy. Wyłączyliśmy czynniki przed znak pierwiastka po czym mogliśmy je zwyczajnie odjąć. Świetnie. A teraz spróbujemy uprościć takie wyrażenie. Tutaj mamy sumę trzech pierwiastków trzeciego stopnia z trzystu siedemdziesięciu pięciu z dwudziestu czterech i z osiemdziesięciu jeden. Spróbujmy je jakoś inaczej zapisać. 375 to 125 razy 3. Z kolei 24 to 8 razy 3. A 81 to 27 razy 3. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie dokończyć ten przykład. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. 125 to 5 do trzeciej. 8 to 2 do trzeciej. A 27 to 3 do trzeciej. Czyli możemy teraz wyłączyć odpowiednie czynniki przed pierwiastek. 5 pierwiastków trzeciego stopnia z trzech dodać 2 pierwiastki trzeciego stopnia z trzech dodać 3 pierwiastki trzeciego stopnia z trzech to oczywiście 10 pierwiastków trzeciego stopnia z trzech. Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś to nie wahaj się i cofnij fragment filmu aby zobaczyć go ponownie. A teraz mamy przykład w którym jednocześnie dzielimy i odejmujemy pierwiastki. W liczniku mamy pierwiastek z dwudziestu siedmiu, w mianowniku pierwiastek z czterdziestu ośmiu minus pierwiastek z dwunastu. Jak obliczyć to wyrażenie? Cóż, na początku wypadałoby jakoś uprościć mianownik. Może tak jak to zrobiliśmy poprzednim razem? Spróbujmy wyłączyć czynnik przed pierwiastek. Pierwiastek z czterdziestu ośmiu to 16 razy 3, a 12 to 4 razy 3. 16 i 4 są kwadratami pewnych liczb. Czwórki i dwójki. Zauważ, że licznik też możemy zapisać jako pewien iloczyn. 9 razy 3. Wszędzie tutaj powtarza nam się trójka. Dobrze. Spróbuj samodzielnie obliczyć wartość tego wyrażenia. W liczniku będziemy mieli 3 pierwiastki z trzech ponieważ 9 to 3 do kwadratu a w mianowniku 4 pierwiastki z trzech minus 2 pierwiastki z trzech. Tutaj odejmujemy i otrzymamy 2 pierwiastki z trzech. Teraz pierwiastki z trzech nam się skrócą i otrzymujemy 3/2. Spróbuj samodzielnie w taki sam sposób rozwiązać ten przykład. Musimy w odpowiedni sposób rozbić liczby pod pierwiastkiem. 50 to 25 razy 2. Natomiast 18 to 9 razy 2. 25 to 5 do kwadratu. Natomiast 9 to 3 do kwadratu. 5 pierwiastków z dwóch minus 3 pierwiastki z dwóch to 2 pierwiastki z dwóch. Pierwiastki z dwóch nam się skrócą i ostatecznie otrzymujemy 2. Aby ułatwić wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o potęgach i pierwiastkach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv