Działania na potęgach o wykładniku wymiernym

Z czym kojarzy Ci się prawdziwa potęga? Mamy potęgi militarne gospodarcze, naukowe. Oczywiście potęgi możemy łączyć! Połączenie potęgi gospodarczej z militarną da nam supermocarstwo. A jak to wygląda w matematyce? W tej lekcji dowiesz się jak mnożyć dzielić i łączyć potęgi matematyczne. Przypomnijmy sobie prawa działań na potęgach. Pierwsze mówi, że jeżeli mnożymy potęgi o takiej samej podstawie i różnych wykładnikach to w odpowiedzi otrzymujemy potęgę o takiej samej podstawie której wykładnik jest sumą wykładników. Analogicznie jest w przypadku dzielenia ale w tym przypadku w odpowiedzi otrzymujemy potęgę, której wykładnik jest równy różnicy wykładników. Tak samo przy podnoszeniu potęgi do jakiejś potęgi. Wystarczyło, że pomnożyliśmy wykładniki. Te 3 prawa działań mówią o tym co robić z potęgami które mają taką samą podstawę. Natomiast kiedy mamy taki sam wykładnik a różne podstawy, to przy mnożeniu wynik jest równy iloczynowi podstaw podniesionemu do potęgi. Tak samo z ilorazem: iloraz podstaw podniesiony do tej samej potęgi. Te prawa działań obowiązują dla wszystkich potęg, również dla potęg o wykładnikach wymiernych. Zaczniemy od pierwszego przykładu i policzymy, ile wynosi pierwiastek z trzech razy pierwiastek trzeciego stopnia z trzech. Zauważ, że mamy tutaj takie same podstawy, trójki. A jakie mamy wykładniki? Pierwiastek z trzech to to samo co 3 do jednej drugiej. Natomiast pierwiastek trzeciego stopnia z trzech to to samo, co 3 do jednej trzeciej. Jeżeli wcześniej nie spotkałeś się z potęgami wymiernymi albo ich jeszcze nie rozumiesz, zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Mnożymy potęgi o takich samych podstawach. W takim razie w odpowiedzi również w podstawie będzie 3. A jaki będzie wykładnik? 1/2 dodać 1/3, sprowadzamy do wspólnego mianownika i otrzymujemy w odpowiedzi 3 do potęgi pięciu szóstych. Jak to zapisać za pomocą pierwiastka? Patrzymy na mianownik wykładnika. To szóstka. Czyli będzie mieć pierwiastek szóstego stopnia z trzech do potęgi piątej. Tak jak w liczniku wykładnika. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielne w analogiczny sposób policzyć ile to jest pierwiastek z dwóch przez pierwiastek piątego stopnia z dwóch. Wykorzystaj to prawo działań na potęgach. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Znowu mamy dwie potęgi o takiej samej podstawie ale różnych wykładnikach. Pierwiastek z dwóch to 2 do jednej drugiej a pierwiastek piątego stopnia z dwóch to 2 do jednej piątej. Musimy odjąć wykładniki i otrzymujemy w odpowiedzi 2 do potęgi trzech dziesiątych, czyli pierwiastek dziesiątego stopnia z dwóch do trzeciej. Dobrze. A ten przykład? Pierwiastek z sześćdziesięciu czterech to 64 do jednej drugiej, co podnosimy jeszcze do potęgi jednej trzeciej. Czyli musimy pomnożyć wykładniki ponieważ podnosimy potęgę do potęgi. 64 do potęgi 1/2 razy 1/3. czyli 64 do potęgi jednej szóstej. A 64 do jednej szóstej to po prostu 2. Teraz mamy inny przykład. Pierwiastek trzeciego stopnia z 3/2 razy pierwiastek trzeciego stopnia z osiemnastu. Tym razem mamy różne podstawy ale takie same wykładniki. Możemy to zapisać w taki sam sposób jako 3/2 do potęgi jednej trzeciej razy 18 do potęgi jednej trzeciej. Mnożymy dwie potęgi o takim samym wykładniku i różnych podstawach czyli w odpowiedzi uzyskamy iloczyn podstaw podniesiony do tej samej potęgi, czyli 3/2 razy 18 do potęgi jednej trzeciej. 3/2 razy 18 to 27 a 27 do jednej trzeciej to 3. Spróbuj teraz analogicznie rozwiązać ten przykład. Ile to jest pierwiastek czwartego stopnia z osiemdziesięciu podzielić przez pierwiastek czwartego stopnia z pięciu? Zapisujemy te liczby w postaci potęg o wykładnikach wymiernych. 80 do jednej czwartej przez 5 do jednej czwartej, to jest to samo co 80 przez 5 do jednej czwartej a 80 przez 5 to 16. Z kolei 16 do jednej czwartej to po prostu 2. Zauważ, że 3 ostatnie przykłady mogliśmy równie dobrze rozwiązać wykorzystując własności działań na pierwiastkach. Możesz spróbować je zrobić samodzielnie w inny sposób. Zapamiętaj te prawa działań. Będziemy z nich jeszcze nie raz korzystać. A teraz korzystając ze znanych Ci praw działań na potęgach spróbujemy wyznaczyć wartość tego wyrażenia. Od czego byś zaczął? Cóż, na pierwszy rzut oka ciężko wykorzystać jakieś prawo działań bo nie mamy ani wspólnych podstaw ani wspólnych wykładników. Ale zobacz, mamy tutaj do czynienia z potęgami dwójki. 8 to 2 do trzeciej natomiast 16 to 2 do 4. Ile to jest 2 do trzeciej do minus pierwszej? To 2 do minus trzeciej. A 2 do czwartej do potęgi trzech czwartych? Podnosimy potęgę do potęgi czyli mnożymy wykładniki. Spróbuj dalej samodzielnie obliczyć wartość tego wyrażenia. Ten pierwiastek możemy zapisać w postaci potęgi wymiernej czyli 2 do minus trzeciej razy 1/3 którą mnożymy przez 2 do trzeciej ponieważ 4 razy 3/4 to 3. Tutaj również podnosimy potęgę do potęgi czyli możemy pomnożyć wykładniki. 2 do minus trzeciej razy 1/3 to 2 do minus pierwszej. Kiedy pomnożymy jeszcze przez 2 do trzeciej, otrzymujemy 2 do drugiej czyli po prostu 4. Zobacz, jaką drogę przeszliśmy aby udowodnić, że to wyrażenie jest tak naprawdę równe czterem. Dobrze, a teraz samodzielnie spróbuj wyznaczyć wartość tego wyrażenia. Na samym początku warto zauważyć że mamy tutaj potęgi dwójki: 2 do czwartej i 2 do drugiej i są one podniesione do pewnej potęgi. Tutaj do potęgi jednej trzeciej co możemy zapisać w taki sposób natomiast tutaj do potęgi minus drugiej. Musimy pomnożyć wykładniki: 4 razy 1/3 to 4/3 a 2 razy –2 to oczywiście –4. Mamy iloczyn dwóch potęg o takich samych podstawach. Czyli musimy dodać wykładniki. Podstawę przepisujemy, a w wykładniku mamy 4/3 dodać –4. Plus i minus daje nam minus. I po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy 2 do potęgi –8/3. Gdy to wszystko podniesiemy jeszcze do potęgi trzeciej, otrzymamy w ostateczności 2 do potęgi minus ósmej. Dobrze, to jeszcze samodzielnie na koniec spróbuj wyznaczyć wartość tego wyrażenia. Mam tutaj kilka pierwiastków: szóstego stopnia, czwartego stopnia i zwykły kwadratowy. Spróbujmy pozbyć się tych pierwiastków idąc tak jakby od wewnątrz. Pierwiastek z dwóch do czterdziestej ósmej to to samo, co 2 do dwudziestej czwartej. Ten pierwiastek czwartego stopnia możemy zapisać jako 2 do dwudziestej czwartej do potęgi jednej czwartej czyli 2 do potęgi szóstej. A pierwiastek szóstego stopnia z dwóch do potęgi szóstej to po prostu 2. Na sam koniec spróbuj jeszcze samodzielnie rozwiązać ten rozbudowany przykład. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Tutaj tym razem mamy do czynienia z samymi potęgami trójki. Tutaj jest 3 do jednej drugiej tutaj 3 do kwadratu 3 do potęgi trzeciej 3 do potęgi czwartej i 3 do potęgi piątej. Każdą z tych potęg podnosimy do jakiejś potęgi, czyli musimy pomnożyć te wszystkie wykładniki. Należy pamiętać, aby nie pomylić się przy mnożeniu, a także pamiętać o znakach tak jak w tym przypadku. Otrzymujemy w liczniku 3 do siedmiu drugich razy 3 do trzech drugich razy 3 do minus dziewięciu drugich podzielone przez 3 do pierwszej razy 3 do drugiej. Musimy zsumować wszystkie wykładniki w liczniku i zsumować wszystkie wykładniki w mianowniku. Obliczamy i otrzymujemy 3 do jednej drugiej przez 3 do trzeciej. Tutaj wystarczy odjąć wykładniki czyli 3 do potęgi 1/2 minus 3 czyli ostatecznie 3 do potęgi minus pięciu drugich. To jeszcze spróbuj samodzielnie zrobić ten przykład. Następnie porównaj swój wynik z moim. Co możemy tutaj zauważyć? Na pewno skróci się 5 do czwartej. Jeden problem z głowy! Zacznijmy upraszczać wyrażenia. 0,2 to to samo, co 1/5. Ta liczba to to samo co 5 do trzech drugich a 1/2 to 2 do minus pierwszej. Dalej możemy to rozpisać w ten sposób. Zauważ, że mamy do czynienia z potęgami piątki i z potęgami dwójki. Dodajemy odpowiednie wykładniki w piątce i odejmujemy wykładniki dwójki. Pamiętaj, że odejmujemy liczbę ujemną czyli ostatecznie czwórkę musimy dodać! Koniec końców mamy 5 do jednej drugiej razy 2 do potęgi 2 plus 4. Czyli pierwiastek z pięciu razy 2 do szóstej, czyli 64 pierwiastki z pięciu. Dla potęg o wykładniku wymiernym obowiązują takie same prawa działań jak dla potęg o wykładniku całkowitym. Możemy je stosować albo wtedy kiedy mamy takie same podstawy albo jeżeli wykładniki są sobie równe. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o potęgach i pierwiastkach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie — PistacjaMatematyka!