Z tego filmu dowiesz się:

  • jak zamieniać podstawy logarytmów,
  • jak dobrać nową podstawę logarytmu,
  • kiedy logarytm jest równy 1,
  • jak obliczyć odwrotność logarytmu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Skala Richtera jest skala logarytmiczną której pierwotnie używano do określania wielkości trzęsienia Ziemi na podstawie amplitudy wstrząsów sejsmicznych. Obecnie używa się tak zwanej magnitudy która też jest skalą logarytmiczną. Każdy kolejny stopień oznacza 32-krotnie silniejsze wstrząsy. W świecie logarytmów istnieje wzór którego nazwa to zamiana podstawy logarytmu. Wytłumaczę Ci teraz budowę tego wzoru. Spójrz na taki logarytm. Logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Ten wzór mówi nam o tym że dowolny logarytmy możemy zamienić na iloraz dwóch logarytmów. Przyjrzyjmy się im bliżej. Zwróć uwagę, że oba logarytmy mają inną podstawę niż ten logarytm. Podstawa w tym logarytmie jest jednak taka sam jak podstawa w tym logarytmie. Z tego powodu obie podstawy oznaczono tą samą literą. Liczby logarytmowane w liczniku i mianowniku nie są jednak przypadkowe. Liczba logarytmowana w liczniku jest taka sama jak liczba logarytmowana w tym logarytmie. Liczba logarytmowana w tym logarytmie jest z kolei taka sama jak podstawa tego logarytmu. Spójrz jeszcze na te zapisy. One przypominają nam o tym że nowa podstawa, którą sobie wybierzemy musi być większa od zera i różna od 1. Uzasadnię Ci teraz że ten wzór rzeczywiście działa. Najpierw przekształcimy sobie nieco to równanie. Pomnóżmy je przez mianownik czyli przez logarytm o podstawie x z liczby 2. Z lewej strony otrzymamy logarytm o podstawie 2 z liczby 5 razy logarytm o podstawie x z liczby 2. Mnożąc prawą stronę przez taki logarytm skróci nam się mianownik z tym logarytmem. Zostanie tylko licznik czyli logarytm o podstawie x z liczby 5. Zobacz. Logarytm o podstawie 2 z liczby 5 oznacza pewną liczbę do której należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 5. Ten logarytm jest więc liczbą. A co możemy zrobić z liczbą przez którą mnożymy logarytm? Tę liczbę możemy zapisać w wykładniku liczby logarytmowanej w tym logarytmie. Otrzymamy logarytm o podstawie x z liczby 2 do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Z prawej strony w dalszym ciągu mamy logarytm o podstawie x z liczby 5. Skup się teraz na tym co znajduje się w nawiasie. Ile to jest 2 do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5? Ta liczba jest taka sama jak ta liczba, czyli 5. Zobacz, co otrzymujemy na końcu. Logarytm o podstawie x z liczby 5 równa się logarytm o podstawie x z liczby 5. Co zrobiliśmy? Przekształcając ten wzór pokazaliśmy że coś jest zawsze prawdziwe. Pokażę Ci teraz jak stosować ten wzór. Spójrz raz jeszcze na logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Zapisaliśmy go jako iloraz dwóch logarytmów. Logarytmu o podstawie 3 z liczby 5 i logarytmu o podstawie 3 z liczby 2. Wpadło mi teraz do głowy żeby powiedzieć Ci jak łatwo zapamiętać gdzie powinny znaleźć się te dwie liczby. Zwróć uwagę, że liczba logarytmowana jest wyżej niż podstawa logarytmu. Piątka, która jest wyżej znalazła się w liczniku który jest wyżej niż mianownik. Podstawę, która jest niżej zapisujemy w liczbie logarytmowanej w mianowniku. Powiedziałem już, że dowolny logarytmy możemy zamienić na iloraz dwóch logarytmów. Podstawy obu logarytmów są identyczne. Są większe od zera i różne od 1. Mogłaby to być również liczba 4. Tak samo liczba 5, 6, 7 8 albo 9. Jeszcze raz powtórzę, że podstawa tych dwóch logarytmów może być dowolna. Musi być tylko większa od zera i różna od 1. Wróćmy teraz do przypadku gdzie podstawą dzielonych logarytmów była liczba 5. Zwróć uwagę, że w takim przypadku jesteśmy w stanie podać ile wynosi licznik. Logarytm o podstawie 5 z liczby 5 to 1. Możemy zatem powiedzieć że logarytm o podstawie 2 z liczby 5 to jest to samo co 1 podzielić przez logarytm o podstawie 5 z liczby 2. Zapiszmy raz jeszcze tę równość pod spodem. O tą równość nam chodziło. Teraz pomnożymy obie strony tego równania przez ten mianownik. Z lewej strony równania otrzymamy logarytm o podstawie 2 z liczby 5 razy logarytm o podstawie 5 z liczby 2. To jest lewa strona równania. Gdy prawą stronę pomnożymy przez ten logarytm to mianownik będziemy mogli skrócić z tym logarytmem. Zostanie nam licznik, czyli liczba 1. Spójrz teraz na te 2 logarytmy. Tutaj podstawą jest liczba 2 a liczbą logarytmowaną jest 5. Tutaj podstawą jest liczba 5 a liczba logarytmowana to 2. Iloczyn takich dwóch logarytmów jest równy 1. To dość ciekawa własność która wynika z tego wzoru. Wzór na zamianę podstawy logarytmu przydaje się do obliczania na przykład takich logarytmów. Tutaj mamy logarytm o podstawie 25 z liczby 125. Nie potrafimy powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 25 aby otrzymać 125. A czy istnieje liczba, która podniesiona do jakiejś potęgi da nam liczbę 25 i 125? Istnieje. Taką liczbą jest 5. 5 do potęgi drugiej to 25 i 5 do potęgi trzeciej to 125. Do czego jest nam to potrzebne? Zapiszę teraz ten logarytm jako iloraz dwóch logarytmów o podstawie 5. W liczniku otrzymam logarytm o podstawie 5 z liczby 125 a w mianowniku logarytm o podstawie 5 z liczby 25. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć te 2 logarytmy. Logarytm o podstawie 5 z liczby 125 to 3 ponieważ 5 podniesione do potęgi trzeciej da nam 125. Logarytm o podstawie 5 z liczby 25 to 2 ponieważ 5 podniesione do potęgi drugiej da nam 25. Otrzymaliśmy 3/2 a to jest to samo co 1 i 1/2. Logarytm o podstawie 25 z liczby 125 to 1 i 1/2. Oznacza to, że jeżeli liczbę 25 podniesiemy do potęgi 1 i 1/2 to otrzymamy 125. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj analogicznie obliczyć logarytm o podstawie 100 z liczby 1000. Nie wiem do jakiej liczby podnieść 100 aby otrzymać 1000. Szukamy zatem takiej liczby która podniesiona do jakiejś potęgi da nam liczbę 100 i liczbę 1000. Ta liczba to 10. 10 do potęgi drugiej to 100 i 10 do potęgi trzeciej to 1000. Ten logarytmy zapisuję zatem jako logarytm o podstawie 10 z liczby 1000 przez logarytm o podstawie 10 z liczby 100. Ten logarytm jest równy 3 a ten jest równy 2. Znowu otrzymujemy 3/2. Logarytm o podstawie 100 z liczby 1000 to 1 i 1/2. Wzór na zamianę podstawy logarytmu pozwala nam na zapisanie dowolnego logarytmu w postaci dwóch logarytmów o innej podstawie większej od zera i różnej od 1. W wielu przypadkach tylko dzięki znajomości tego wzoru będziemy mogli obliczyć dokładną wartość logarytmu. Chcesz bliżej poznać logarytmy? Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Zapraszam Cię również do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk, Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

ProSmile (CC 0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg