Z tego filmu dowiesz się:

  • czym się różni kwadrat sumy od sumy kwadratów,
  • jak stosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy,
  • jak wykorzystywać wzór na kwadrat sumy w zadaniach z pierwiastkami,
  • jak graficznie przedstawić wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Matematyka jest pełna zwariowanych liczb. Przykładem takich liczb są liczby gnomoniczne. Jeśli taką liczbę dodasz do kwadratu jej liczby naturalnej otrzymasz kwadrat liczby większej o 1 od wyjściowej. Na przykład, liczbą gnomoniczną dla 3 jest 7, bo 3 do kwadratu dodać 7 równa się 16, a to jest 4 do kwadratu. Czasami mamy wyrażenie w nawiasie takie jak na przykład 2x dodać 5 do kwadratu albo pierwiastek z trzech dodać 1 do kwadratu. Tego typu przykłady nazywamy kwadratami sumy. Niestety często tak jak w tych przypadkach nie możemy wykonać działania w nawiasie. Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy pozwoli nam obliczyć takie przykłady. Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy wyprowadzamy z podniesionej do kwadratu sumy dwóch liczb. Wzór ten usprawnia nasze obliczenia i sprawia, że możemy sprytnie rozwiązywać z pozoru skomplikowane przykłady. Wyprowadźmy więc nasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy żebyśmy wiedzieli, skąd on się bierze. Wyprowadzamy go rozpoczynając od naszego nawiasu a dodać b do kwadratu. To potęgowanie możemy rozbić na dwa osobne nawiasy. a dodać b razy a dodać b Teraz nasze a z pierwszego nawiasu musimy przemnożyć razy a z drugiego nawiasu i razy b z drugiego nawiasu. Czyli otrzymamy a kwadrat dodać ab. Kolejnym krokiem będzie przemnożenie naszej liczby b z pierwszego nawiasu razy a z drugiego nawiasu i razy b z drugiego nawiasu. W ten sposób otrzymamy b razy a dodać b do kwadratu. W ten sposób wymnożyliśmy wszystkie wyrazy i otrzymaliśmy a do kwadratu dodać a razy b dodać b razy a dodać b do kwadratu. a razy b to to samo, co b razy a dlatego wynik naszego działania możemy zapisać jako a kwadrat dodać 2ab i dodać b kwadrat. A więc kwadrat sumy a dodać b do kwadratu równa się a kwadrat dodać 2ab dodać b kwadrat. Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy możemy przedstawić w postaci graficznej. Mamy kwadrat o boku a. A więc jego pole to a kwadrat. Przedłużmy odcinek a o dodatkowe b. W takiej sytuacji długość jednego boku to będzie a dodać b. A więc pole kwadratu którego bok ma długość a dodać b to a dodać b do kwadratu. Możemy poprowadzić takie dwa odcinki które wydzielą z tego obszaru dwa prostokąty o bokach a i b. Został nam jeszcze taki mały kwadrat. Jeśli się przyjrzymy to zobaczymy, że długości boków tego małego kwadratu to b. W takim razie pole tego małego kwadratu wynosi b kwadrat. A więc pole kwadratu którego bok ma długość a dodać b to a kwadrat dodać 2ab. Bo mamy dwa prostokąty których pole wynosi a razy b i dodać b kwadrat. Zauważ, że a dodać b do kwadratu nie równa się a kwadrat dodać b kwadrat ponieważ pole tych dwóch kwadratów jest mniejsze. Rozwiążmy taki przykład. x dodać 3 do kwadratu Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Niech nasz x, będzie liczbą a a 3, liczbą b. W takiej sytuacji podnosimy a do kwadratu a więc x do kwadratu dodać 2ab a więc 2 razy x razy 3 i dodać b do kwadratu czyli 3 do kwadratu. Uprośćmy to trochę i wyjdzie nam x kwadrat dodać 6x dodać 9. W ten sposób rozwiązaliśmy przykład. Często przykłady wyglądają na trudne ale zaraz się przekonasz że to tylko pozory. Rozwiążmy podane przykłady. Pierwszy przykład to: 2x dodać 5 do kwadratu. Skorzystajmy z naszego wzoru skróconego mnożenia. 2x będzie naszą liczbą a. A więc musimy podnieść ją do kwadratu. Będzie to 2x do kwadratu. 2ab to będzie 2 razy 2x razy 5. A b kwadrat to 5 do kwadratu. 2x podnosimy do kwadratu i będzie to 4 razy x do kwadratu. 2 razy 2x razy 5 daje nam 20x. I 5 do kwadratu to 25. Przejdźmy do drugiego przykładu. Pierwiastek z trzech dodać 1 do kwadratu. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozpisać ten przykład zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy a następnie sprawdź swój wynik z moim. Wyrazem a będzie pierwiastek z trzech. I podnosimy go do kwadratu. Dodać 2 razy pierwiastek z trzech razy 1 i dodać b do kwadratu czyli 1 do kwadratu. Pierwiastek z trzech razy pierwiastek z trzech to 3 dodać 2 pierwiastki z trzech i dodać 1. I to się równa 4 dodać 2 pierwiastki z trzech. Pierwszy przykład mamy zrobiony. Drugi tak samo. Przejdźmy zatem do trzeciego przykładu. 2 pierwiastki z pięciu dodać x do kwadratu. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć ten przykład a następnie sprawdź swój wynik z moim. 2 pierwiastki z pięciu podnosimy do kwadratu. Dodać 2 razy 2 pierwiastki z pięciu i razy x i dodać x do kwadratu to się równa 2 pierwiastki z pięciu do kwadratu to 2 do kwadratu razy pierwiastek z pięciu do kwadratu a więc 4 razy 5. Dodać 4 razy x razy pierwiastek z pięciu i dodać x kwadrat. W takim razie otrzymaliśmy wynik 20 dodać 4x pierwiastków z pięciu i dodać x kwadrat. W ten sposób rozwiązaliśmy trzeci przykład. Przejdźmy zatem do ostatniego. Podnieśmy 1001 do kwadratu. Moglibyśmy obliczyć ten przykład po prostu mnożąc go pisemnie ale jeśli skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy zrobimy to sprytniej. Teraz zatrzymaj film i zastanów się jak możemy podzielić naszą liczbę 1001 aby móc obliczyć 1001 do kwadratu używając wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. 1001 do kwadratu możemy zapisać jako 1000 plus 1 i razem do kwadratu. I użyjmy naszego wzoru skróconego mnożenia. 1000 do kwadratu dodać 2 razy 1000 razy 1 i dodać 1 do kwadratu. To daje nam 1000000 dodać 2000 dodać 1. A więc wynikiem potęgowania naszej liczby 1001 będzie liczba 1002001. W ten sposób rozwiązaliśmy ostatni przykład. Kwadrat sumy obliczamy poprzez przemnożenie nawiasu przez siebie. Nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. Możemy po prostu pomnożyć każdą liczbę w nawiasie tak, jak pokazują to strzałki. Jednak wzory skróconego mnożenia bardzo ułatwiają nam obliczenia i pozwalają na szybsze rozwiązywanie zadań. Jeśli chcesz poznać więcej wzorów skróconego mnożenia zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych filmów z tej playlisty i do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Aleksandra Wojnicz

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Aleksandra Wojnicz

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipart-Vectors (CC0)
JuralMin (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg