Z tego filmu dowiesz się:

  • w jaki sposób pisemnie podzielić wielomian przez dowolny wielomian, w szczególności przez dwumian postaci x+a,
  • jak przy dzieleniu wielomianów zapisać wynik z resztą,
  • w jaki sposób stopnie dzielnika i dzielnej związane są ze stopniem wynikowego wielomianu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Pewnie zdarzało Ci się wysyłać znajomym duże pliki, które przekraczały dozwolony rozmiar poczty. Trzeba je było spakować do formatu na przykład zip. Czy wiesz, że programy tego typu posiadają wewnętrzną kontrolę prawidłowości kompresji z wykorzystaniem wielomianów? Jest to tak zwana cykliczna kontrola nadmiarowa która wykorzystuje pisemne dzielenie wielomianów. Nie wchodząc w szczegóły algorytm dzieli bity danych przez pewien wielomian a gdy w wyniku pojawi się reszta to wiadomo już, że do danych wkradł się błąd. Istnieje kilka metod dzielenia wielomianów. Jedną z nich omówiłem już w innym filmie z tej playlisty. Teraz opowiem Ci o bardzo uniwersalnej metodzie dzielenia wielomianów. Metodzie pisemnej. Umiesz już dzielić pisemnie liczby całkowite. Jeśli nie pamiętasz jak to się robi odsyłam Cię do odpowiedniego filmu. Zacznijmy od prostego przykładu i podzielimy wielomian x kwadrat dodać 3x dodać 7 przez dwumian x dodać 2 gdzie x nie może być równy minus 2. Przy dzieleniu pisemnym wielomiany trzeba uporządkować. Pamiętaj o tym, to jest bardzo ważne. Pierwszy wyraz, czyli x kwadrat dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika czyli przez x. Wynik, czyli x piszemy tutaj nad dzielną. Teraz tego x mnożymy przez cały dzielnik. Czyli przez x dodać 2. Wynik tego mnożenia piszemy pod spodem w taki sposób, aby wyrazy o jednakowych wykładnikach znalazły się w jednej kolumnie. x razy x to x kwadrat. x razy 2 to 2x. Teraz odejmujemy od siebie te dwa wyrażenia. x kwadrat odjąć x kwadrat daje zero. 3x odjąć 2x to x. Siódemkę przepisujemy. I teraz całą procedurę powtarzamy. Dzielimy pierwszy wyraz tego co otrzymaliśmy czyli x przez pierwszy wyraz dzielnika czyli przez x. x przez x to 1 więc dodajemy 1 do wyniku nad kreską. Mnożymy otrzymaną jedynkę przez dzielnik. Wynik piszemy pod spodem. 1 razy x to x. 1 razy 2 to 2. Wykonujemy odejmowanie. x odjąć x to zero a 7 odjąć 2 to 5. Piątki nie możemy już podzielić przez x dodać 2 ponieważ 5 jest stopnia zerowego a x dodać 2 jest stopnia pierwszego. Zatem to koniec naszego dzielenia. Wynikiem dzielenia wielomianu x kwadrat dodać 3x dodać 7 przez wielomian x dodać 2 jest dwumian x dodać 1 reszty 5. Możemy zapisać ten wynik również w innej postaci. x kwadrat dodać 3x dodać 7 równa się x dodać 1 razy x dodać 2 i dodać 5. A dlaczego? Zamiast reszty możemy napisać dodać 5 dzielone przez x plus 2. Jeśli obie strony pomnożymy teraz przez x dodać 2 to otrzymamy poniższe wyrażenie. Schrup orzeszka, a z następnym wielomianem pójdzie już łatwiej. Podziel pisemnie wielomian minus 2x do czwartej dodać 3x do trzeciej odjąć x odjąć 4 przez dwumian x odjąć 1 gdzie x nie równa się 1. Od czego zacząć? Zapiszmy to dzielenie. Minus 2x do czwartej dodać 3x do trzeciej odjąć x odjąć 4 podzielić przez x odjąć 1. Zauważ, że nie mamy tutaj wyrazu z x-em kwadrat. Przy dzieleniu pisemnym warto zapisywać wszystkie potęgi zmiennej nawet jeśli mają zerowe współczynniki ponieważ ułatwia to późniejsze obliczenia. Dlatego w tym miejscu dopiszmy dodać 0x kwadrat. Dodawanie zer nic nie zmienia ale dzięki temu nie zapomnimy o tym wyrazie. Wynik zapisywać będziemy tutaj nad dzielną. Sprawdź się, zatrzymaj film i zrób dzielenie samodzielnie. Zaczynamy od podzielenia pierwszego wyrazu tego wielomianu przez pierwszy wyraz tego wielomianu. Minus 2x do czwartej podzielić przez x daje minus 2x do trzeciej. Teraz to, co otrzymaliśmy mnożymy przez x odjąć 1. Minus 2x do trzeciej razy x to minus 2x do czwartej co zapisujemy tutaj. Następnie mnożymy minus 2x do trzeciej przez minus 1 i otrzymujemy 2x do trzeciej. To, co otrzymaliśmy, musimy odjąć od wielomianu powyżej. Minus 2x do czwartej odjąć minus 2x do czwartej da nam zero. 3x do trzeciej odjąć 2x do trzeciej to x do trzeciej. Dopisujemy też 0x kwadrat stąd. Powtarzamy procedurę. Dzielimy x do trzeciej przez x. Wynik to x kwadrat czyli do wyniku nad kreską dodajemy x kwadrat właśnie. Teraz mnożymy przez to ten dwumian. x kwadrat razy x to x do trzeciej. x kwadrat razy minus 1 to minus x kwadrat. Teraz wykonujemy odejmowanie. x do trzeciej odjąć x do trzeciej to zero. 0x kwadrat odjąć minus x kwadrat to x kwadrat. Dopisujemy jeszcze minus x stąd. Kontynuujemy. x kwadrat przez x to x co oczywiście dopisujemy nad kreską. Tę wartość mnożymy przez x odjąć 1. Zatem x razy x to x kwadrat. x razy minus 1 daje minus x. Odejmujemy x kwadrat i x kwadrat co daje nam zero. Minus x odjąć minus x to też zero. Minus 4 dopisuję stąd. Jest to nasza reszta. Zróbmy sobie trochę miejsca i zapiszmy wynik naszego działania. Przy podzieleniu wielomianu minus 2x do czwartej dodać 3x do trzeciej odjąć x odjąć 4 przez dwumian x odjąć 1 otrzymamy wielomian: minus 2x do trzeciej dodać x kwadrat dodać x i resztę minus 4. Możemy to również zapisać w taki sposób: minus 2x do czwartej dodać 3x do trzeciej odjąć x odjąć 4 równa się w nawiasie minus 2x do trzeciej dodać x kwadrat dodać x zamknąć nawias razy w nawiasie x odjąć 1 zamknąć nawias i odjąć 4. Zauważ, że wynikiem jest wielomian stopnia 4 odjąć 1, czyli trzeciego natomiast stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, czyli jedynki i w naszym przypadku równa się zero. Kolejny przykład będzie dla Ciebie. Podziel pisemnie wielomian x do czwartej dodać 3x do trzeciej dodać 5x dodać 15 przez dwumian x dodać 3 jeśli x nie jest równe minus 3. Zatrzymaj film i oblicz ten iloraz. Na początku zapiszmy to dzielenie. x do czwartej dodać 3x do trzeciej. x-ów kwadrat nie mamy, dlatego piszemy 0x kwadrat, dodać 5x dodać 15. To musimy podzielić przez x dodać 3. Nad tą kreską będziemy pisać wynik. Zaczynamy. x do czwartej dzielimy przez x. Wynik to x do trzeciej co zapisujemy tutaj. Teraz x do trzeciej musimy pomnożyć przez x dodać 3 czyli mamy x do czwartej dodać 3x do trzeciej. Odejmujemy. x do czwartej odjąć x do czwartej to zero. 3x do trzeciej odjąć 3x do trzeciej też daje nam zero. Co dalej? Teoretycznie powinniśmy podzielić 0x kwadrat przez nasz dzielnik. Tyle, że to zero więc wyraz ten możemy pominąć. Dalej mamy 5x stąd i 15 stąd. To dlatego, że jeśli dzielimy przez wielomian stopnia pierwszego to tutaj pod kreską muszą znajdować się dwa wyrazy. Dzielimy 5x przez x i dostajemy piątkę którą dopisujemy do wyniku nad kreską. x dodać 3 mnożymy przez tę piątkę. Dostajemy 5x dodać 15. Klasycznie, odejmujemy oba wyrażenia. 5x odjąć 5x daje zero. Tak samo 15 odjąć 15. Super, nasz wielomian podzielił się bez reszty. Zapiszmy wynik. x do czwartej dodać 3x do trzeciej dodać 5x dodać 15 dzielone przez x dodać 3 równa się x do trzeciej, dodać 5. Tak, jak w poprzednich przykładach wynik możemy zapisać w postaci iloczynu. x do czwartej dodać 3x do trzeciej dodać 5x dodać 15 równa się x do trzeciej dodać 5 razy x dodać 3. Różnica stopni tego wielomianu i tego wielomianu wynosi 3. I takiego stopnia powinien być nasz wynik co jak widać jest prawdą. W tym przykładzie nie pojawiła się reszta. Na koniec pokażę Ci nieco bardziej skomplikowany przykład. Polecanie brzmi: podziel pisemnie wielomian 4x do trzeciej dodać 2x kwadrat odjąć 2, przez wielomian 2x kwadrat odjąć x dodać 2. Zapiszmy to dzielenie, 4x do trzeciej dodać 2x kwadrat dodać zero razy x odjąć 2. Dzielimy to przez 2x kwadrat odjąć x dodać 2. Sprawdź się i zrób ten przykład samodzielnie. Ten wyraz dzielimy przez ten wyraz. Czyli 4x do trzeciej przez 2x kwadrat. Otrzymamy 2x. To zapisujemy nad kreską. To, co jest nad kreską musimy pomnożyć przez każdy wyraz dzielnika. 2x razy 2x kwadrat to 4x do trzeciej. 2x razy minus x to minus 2x kwadrat. I wreszcie 2x razy 2 daje 4x. Zauważ, że dostaliśmy aż trzy wyrazy. Odejmujemy. 4x do trzeciej odjąć 4x do trzeciej to zero. 2x kwadrat odjąć minus 2x kwadrat to 4x kwadrat. 0x odjąć 4x to po prostu minus 4x. Dopisujemy minus 2 stąd. Powtarzamy procedurę. 4x kwadrat dzielimy przez 2x kwadrat i otrzymujemy dwójkę którą dopisujemy do wyniku nad kreską. Teraz mnożymy 2 razy 2x kwadrat to 4x do kwadratu. 2 razy minus x daje minus 2x. 2 razy 2 to 4. Znowu odejmujemy. 4x kwadrat odjąć 4x kwadrat daje nam zero. Minus 4x odjąć minus 2x to minus 2x. I na końcu minus 2 odjąć 4 to minus 6. Zauważ, że nie możemy dalej dzielić naszego wyrażenia bo to, co otrzymaliśmy jest mniejszego stopnia niż nasz dzielnik. Dlatego jest to nasza reszta. Możemy już zapisać odpowiedź. Ale najpierw zróbmy sobie trochę miejsca. Wynikiem dzielenia wielomianu 4x do trzeciej dodać 2x kwadrat odjąć 2 przez wielomian 2x kwadrat odjąć x dodać 2 jest: 2x dodać 2 i reszty minus 2x odjąć 6. Możemy to też zapisać nie wykorzystując pojęcia reszty. Dzieląc bardziej skomplikowane wielomiany pamiętaj, że stopień wielomianu wynikowego musi być równy różnicy stopni dzielnej i dzielnika. Stopień reszty musi zaś być mniejszy od stopnia dzielnika. Tak jest w naszym dzieleniu. Ten wielomian jest stopnia 3 odjąć 2 czyli pierwszego a reszta ma stopień pierwszy. Pamiętaj też, żeby zapisując dzielenie uwzględniać w nim wyrazy o zerowych współczynnikach. U nas w liczniku nie pojawiło się x w potędze pierwszej a w wyniku wyraz o tej potędze się znalazł. Dlatego ważne jest, aby nie pomijać zerowych współczynników w zapisie. Jeśli opanujesz tę metodę to żadne dzielenie wielomianów nie będzie Ci straszne. Metoda pisemna umożliwia dzielenie przez siebie dowolnych dwóch wielomianów. Przy używaniu tej metody pamiętaj o zerowych współczynnikach które mogą pojawić się w dzielonym wielomianie. Istnieją również inne sposoby dzielenia wielomianów o których opowiadałem w innych filmach z tej playlisty. Nie zapomnij zasubskrybować naszego kanału, aby nie ominęły Cię nowe wideolekcje.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipartVectors(CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg