Z motywacją do nauki jest trochę jak z wyprawą w góry. Na początku rośnie tak jak my wspinamy się po zboczu. Potem zatrzymuje się na pewnym poziomie tak jak gdy podczas wędrówki idziemy granią i podziwiamy widoki. W każdej górskiej wyprawie przychodzi jednak czas powrotu na dół. W matematyce są elementy które zachowują się podobnie. Obejrzyj z nami film a motywacja do nauki Ci nie spadnie. Jeśli oglądasz nasze filmy, na pewno wiesz jak wygląda wykres funkcji czyli jej graficzna interpretacja. Może on przyjmować postać punktów lub linii umieszczonych w układzie współrzędnych. Z wykresu możemy odczytać własności danej funkcji. O jednej z nich powiemy w tym filmie. Popatrz na ten wykres. Można by go opisać na przykład tak: Funkcja opada, później unosi się trochę później znów opada, a następnie biegnie prosto w prawo i tak dalej. Taka informacja opisuje jedną z własności funkcji choć w mało precyzyjny sposób. Jaka to własność i jak ją opisać poprawnie tego nauczymy Cię w tym filmie. Matematycy, aby opisać zachowanie funkcji używają pojęcia "monotoniczność". Można powiedzieć, że określając monotoniczność funkcji, dokładnie określamy jej przebieg w całej dziedzinie lub w określonych przedziałach. Ważne, żeby posługiwać się przy tym matematycznymi określeniami. Zatem funkcja już nie idzie do góry, tylko... jest rosnąca, w jakimś zakresie lub cała. Jak w tym przypadku. Dlaczego rosnąca? Weź kilka wybranych argumentów x i odczytaj ich wartości. Dla x równego -1 mamy f(x), czyli y, równe 1. dla x równego 0 mamy y równe 2 a dla x równego 1 mamy y równe 3. Widzisz, że dla każdego kolejnego argumentu funkcji, czyli x wartość funkcji jest większa od poprzedniej. Na wykresie, niczym na wycieczce oznacza to wspinaczkę ku górze. Nasza funkcja rośnie z każdym kolejnym argumentem. Weźmy teraz wykres innej funkcji. Spójrzmy na trzy punkty z naszego wykresu. Dla x równego -1 f(x), czyli y, wynosi 2 dla x równego 1 mamy y równe 1 a dla x równego 3, y jest równe zeru. Widzisz, że z każdym kolejnym argumentem wartości funkcji są coraz mniejsze. Porównując to do górskiej wycieczki zmierzamy w dół. Przedstawiona funkcja maleje z każdym kolejnym argumentem. Opisaliśmy już funkcję rosnącą i malejącą. Co nam jeszcze zostało? A, tak, podziwianie widoków. Popatrz na ten wykres. Choć kolejne argumenty rosną wartości funkcji pozostają niezmienne. Dla każdego argumentu f(x) = 2 Możemy to zapisać w ten sposób. Czyli, mimo iż argumenty rosną wartości funkcji pozostają bez zmian. Taką funkcję nazywamy funkcją stałą. I to już w zasadzie cała monotoniczność. Co nam pozostało? Schrup orzeszka, a po nim będziemy łączyć poznane wcześniej określenia tak jak etapy w górskiej wędrówce. W matematyce funkcje też często wyglądają różnie w różnych przedziałach. Jak określisz tę funkcję? Rosnąca, stała, rosnąca, rosnąca, stała... Czy da się jakoś krócej? Może udało Ci się zauważyć, że w naszym opisie nie użyliśmy słowa "malejąca". Wykres funkcji nigdy nie idzie w dół. Na ogół wspina się lub nie zmienia wysokości czyli funkcja w pewnych przedziałach jest rosnąca, a w pewnych stała. Jak zatem można by ją określić? Możemy powiedzieć że jest to funkcja niemalejąca. W takiej funkcji każda kolejna wartość jest większa bądź równa poprzedniej. A jak określisz taką funkcję? Malejąca, stała, malejąca, stała... W tym opisie, podobnie jak poprzednio też nie użyliśmy jednego słowa jednak tym razem jest to słowo "rosnąca". Naszą funkcję możemy nazwać... Jak myślisz? Tak, funkcją nierosnącą. Każda kolejna odczytywana wartość tej funkcji jest mniejsza lub równa poprzedniej. Nigdy nie urośnie. Znasz już wszystkie określenia opisujące monotoniczność funkcji. Pora je przećwiczyć. Nazwij tę funkcję. To funkcja rosnąca, jasne. A ta? Tym razem to funkcja nierosnąca. Brawo! A kolejny przykład? To funkcja stała. To może opisz jeszcze taki wykres? To funkcja niemalejąca. Twoje odpowiedzi są takie, jak nasze? Gratulujemy! Mam nadzieję, że bez problemu opisujesz już monotoniczność funkcji słowami. Czas przejść na wyższy poziom i nauczyć się opisywać ją za pomocą przedziałów. Zobaczysz, że to nic trudnego. Wróćmy do pierwszego wykresu. Czy tę funkcję możemy opisać jednym z poznanych określeń monotoniczności? Nie. W pewnych przedziałach maleje w pewnych rośnie, a w pewnych jest stała. Jako całość nie jest więc ani rosnąca ani malejąca, ani nierosnąca, ani niemalejąca ani - tym bardziej - stała. O takiej funkcji mówimy że jest niemonotoniczna. A więc o poznanych możemy powiedzieć, że są Tak, monotoniczne. Funkcje monotoniczne to takie których monotoniczność możemy opisać jednym słowem, co nie znaczy, że nie możemy opisać przebiegu i tej funkcji. Nie będziemy się jednak odnosić do całości a do jej fragmentów, czyli przedziałów. Jak to jest na naszym wykresie? Mówiliśmy już, że w tej funkcji są fragmenty w których jest ona rosnąca, takie, w których malejąca i takie, w których jest stała. Jak to zapisać? Najłatwiej odczytywać wykres od lewej do prawej. Dla iksów od -7 do -6, czyli w przedziale od minus 7 do minus 6, funkcja jest malejąca. Zapisujemy to w ten sposób: funkcja czyli f od x, jest malejąca dla iksów z przedziału od minus siedmiu do minus sześciu. Przedział ten jest obustronnie domknięty. Dlaczego? Z lewej strony mamy zamalowane kółko, czyli ten punkt należy do wykresu funkcji. Ten punkt też, ale w miejscu gdzie zmienia się monotoniczność Jednak tu funkcja ma mniejszą wartość niż tu co spełnia wymóg funkcji malejącej. Zaliczamy go więc do przedziału. Kiedy spojrzymy na drugi fragment funkcji widzimy, że w przedziale od -6 do -4 jest ona rosnąca. A co z końcami? Tak, jak w poprzednim przypadku, zaliczamy je do przedziału, gdyż tylko tak podamy cały fragment, w którym funkcja jest rosnąca czyli zapisujemy: funkcja jest rosnąca dla iksa należącego do przedziału obustronnie domkniętego, od -6 do -4. Teraz Ty spróbuj w ten sam sposób zapisać pozostałe przedziały, używając takiego zapisu dla przedziałów, w których funkcja jest stała. Masz tak, jak ja? Przyjrzyj się dokładnie zwłaszcza ostatniemu przedziałowi. Czy jest on otwarty z prawej strony, tak jak na wykresie? Mamy to! Jednak podawanie każdego przedziału oddzielnie jest mało czytelne a często musimy podać tylko jeden rodzaj monotoniczności. Przykładowo, w jakich przedziałach nasza funkcja jest rosnąca. Dlatego przedziały, w których funkcja rośnie podajemy w jednej linii, oddzielając je przecinkami lub średnikami. Podobnie porządkujemy przedziały, w których funkcja maleje i te, w których funkcja jest stała. Czas na Ciebie. Określ, w jakich przedziałach funkcja pokazana na planszy jest malejąca w jakich rosnąca, a w jakich stała. Masz tak, jak my? Gratulacje! Z poprzednich naszych filmów wiesz, że funkcję można przedstawiać na różne sposoby. Monotoniczność najłatwiej jest określić z wykresu, jednak co, jeśli go nie mamy? Czy musimy za każdym razem go rysować? Do określania monotoniczności funkcji wystarczy tabelka. Znasz ją już, ale dla szybkiego przypomnienia: górny wiersz tabelki odpowiada argumentom czyli iksom, za to dolny wiersz tabelki to wartości funkcji, czyli f(x) = y. Tabelkę porządkujemy od najmniejszych do największych wartości iksów. Określiliśmy już słownie każdy rodzaj monotoniczności, dlatego zobaczmy jak przedstawiać się to będzie w tym przypadku. Funkcja rosnąca: wartość funkcji dla kolejnych argumentów rośnie. Funkcja malejąca: wartość funkcji dla kolejnych argumentów maleje. Funkcja stała: wartość funkcji jest zawsze taka sama. Czyli za każdym razem nasza funkcja zachowuje się dokładnie tak jak jej nazwa na to wskazuje. Oczywiście podobnie mamy z: funkcja nierosnąca - wartość funkcji dla każdego argumentu maleje lub jest taka jak poprzednia; funkcja niemalejąca - - wartość funkcji dla każdego argumentu rośnie lub jest taka sama jak poprzednia. Jak widzisz, jest to jeszcze prostsze niż określenie funkcji z wykresu. Pamiętaj jednak o uporządkowaniu argumentów - iksów bo często w tym tkwi pułapka. Monotoniczność funkcji to określenie jej zachowania w zależności od argumentów. Funkcja może być rosnąca, malejąca, stała niemalejąca lub nierosnąca. Dodając kolejne przedziały monotoniczności używaj przecinków lub średników i pamiętaj że opisując zmiany kierunku funkcji posługujemy się przedziałami domkniętymi. Funkcja, jeśli rośnie, to nie może być stała. Za to liczba filmów na pistacji stale rośnie i to nie paradoks. Sprawdź nas wchodząc na pistacja.tv