Z tego filmu dowiesz się:

  • jaki wpływ ma współczynnik kierunkowy funkcji liniowej na jej wykres,
  • jak wskazać taki współczynnik we wzorze,
  • jak wyznaczyć taki współczynnik z wykresu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Pękiem prostych nazywamy zbiór wszystkich prostych które przechodzą przez dany punkt. Punkt taki zwany jest środkiem pęku. Jak zapewne się domyślasz prostych wchodzących w skład takiego zbioru jest nieskończenie wiele. Co tu widzisz? Wszystkie narysowane proste przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych 0, 2. Jak pamiętasz wzór ogólny funkcji liniowej to y równa się ax plus b. Wszystkie punkty leżące na osi rzędnych mają pierwszą współrzędną czyli współrzędną x równą zeru. Podstawiając do wzoru funkcji w miejscu argumentu x, 0 otrzymamy y równa się a razy 0 plus b czyli y równa się b. Możemy sformułować wniosek. Każda funkcja liniowa przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, b. Własność tę możemy wykorzystywać przy rysowaniu wykresu funkcji ale także przy ustalaniu jej wzoru na podstawie wykresu. W naszym przypadku wiemy że wyraz wolny każdej z przedstawionych funkcji to 2 bo przecinamy pionową oś w punkcie 0, 2. Spójrzmy teraz na wykresy takich funkcji liniowych. Co możemy zaobserwować? Widzimy, że proste te są względem siebie równoległe. A skoro są równoległe to biegną w tym samym kierunku. To, w jakim kierunku biegnie funkcja zależy od współczynnika a. Nic dziwnego, że współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Wartość tego współczynnika możemy odczytać także z wykresu. Pokażę Ci jak. Mamy funkcję f od x równa się 2x minus 1. Z dowolnego punktu na wykresie narysujmy odcinek jednostkowy równoległy do osi OX. Następnie na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Powstał nam tu trójkąt. Wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o dwie jednostki. Ta zmiana wartości funkcji, to właśnie wartość współczynnika kierunkowego. Możemy powiedzieć że dla każdej funkcji liniowej wzrost dowolnego argumentu o 1 powoduje zmianę wartości funkcji równą współczynnikowi kierunkowemu. Możemy to udowodnić. Jeśli f od x równa się ax plus b to dla argumentu większego o 1 mamy f od x plus 1 równa się ax plus 1 plus b. Obliczmy teraz różnicę wartości f od x plus 1 i f od x. Co otrzymujemy? f od x plus 1 minus f od x równa się a razy x plus 1 plus b minus ax plus b. Piszemy dalej. ax plus a plus b minus ax minus b. Skracamy teraz to, co możemy i widzimy, że w wyniku otrzymujemy a. Spójrz teraz na kolejny przykład. Tutaj mamy wykres funkcji g od x. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie na jego podstawie podać wzór. Spójrzmy. Wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o minus 3 jednostki. Oznacza to że wartość współczynnika kierunkowego a wynosi tu -3. A współczynnik b? Widzimy, że nasz wykres nie przechodzi przez środek układu współrzędnych tylko jest przesunięty w górę o dwie jednostki. Oznacza to, że współczynnik b wynosi 2. Teraz już bez problemu możemy napisać że wzór funkcji g od x to -3x plus 2. Wartość współczynnika a pozwala nam określić na ile funkcja liniowa jest stroma. Im większa wartość bezwzględna współczynnika tym wykres szybciej pnie się do góry lub spada w dół. Możemy zauważyć tutaj jeszcze jedną zależność. Funkcja f od x jest funkcją rosnącą funkcja g od x jest funkcją malejącą a h od x jest funkcją stałą, prawda? W pierwszym przypadku a jest większe od zera. W drugim przypadku a jest mniejsze od zera a w trzecim a jest równe zeru. Możemy zatem sformułować kolejny wniosek. Jeśli wartość współczynnika kierunkowego jest dodatnia to wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji. Czyli mamy do czynienia z funkcją rosnącą. Na tej samej zasadzie jeśli współczynnik a jest równy zeru to mamy do czynienia z funkcją stałą. Natomiast jeśli wartość współczynnika kierunkowego a jest ujemna to na pewno mamy do czynienia z funkcją malejącą. Na podstawie wykresu funkcji f od x równa się ax plus b określ monotoniczność funkcji współrzędne punktu przecięcia z osią OY i wartości współczynników a i b. Zacznijmy od określenia monotoniczności funkcji. Widzimy, że w całej dziedzinie dla coraz większych x-ów y i są coraz mniejsze. Możemy stwierdzić że f od x jest funkcją malejącą. Skoro funkcja jest malejąca wiemy na pewno że wartość współczynnika a jest ujemna. Teraz spróbujmy odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY. Tym punktem jest punkt o współrzędnych 0, 3. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie określić na podstawie wykresu wartości współczynników a i b. Jak pamiętasz, druga współrzędna punktu przecięcia z pionową osią informuje nas jaka jest wartość współczynnika b. Wiemy już zatem, że b równa się 3. A ile wynosi a? Wykorzystajmy metodę o której przed chwilą się uczyliśmy. Z dowolnego punktu rysujemy odcinek o długości jednej jednostki równoległy do osi OX. Teraz na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Widzimy, że wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o minus dwie jednostki. Oznacza to, że a równa się -2. Świetnie. Zapiszmy jeszcze na koniec pełny wzór funkcji. Wiemy, że a równa się -2 a b równa się 3. Zatem nasz wzór będzie miał postać f od x równa się -2x plus 3. Jaką liczbę należy wstawić w miejsce m aby wykres funkcji g od x równy -3x plus m minus 2 przecinał oś Y w punkcie 0,10? Odpowiedz na to pytanie ale najpierw zastanów się ile wynosi wartość parametru a a ile wartość parametru b. Widzimy, że przy naszym x stoi -3. To wartość współczynnika kierunkowego a. A ile wynosi wartość wyrazu wolnego b? Nasze b równe jest wyrażeniu m minus 2. Z treści zadania wiemy w jakim punkcie wykres funkcji przecina pionową oś OY. Tym punktem jest punkt 0, 10. Z tej informacji możemy wywnioskować że wartość współczynnika b wynosi 10. Zatrzymaj teraz film. Ułóż odpowiednie równanie i oblicz jaka liczba kryje się pod literą m. Otrzymamy takie równanie: m minus 2 równa się 10. Po przeniesieniu dwójki na drugą stronę i wykonaniu obliczeń dostaniemy m równa się 12. Określ współczynnik kierunkowy funkcji f od x równa się ax minus 2 wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt -2, -3. Spróbujmy narysować wykres funkcji f od x. Wiemy, że leży na nim punkt -2, -3. Zaznaczmy go. Z podanego wzoru możemy także odczytać że wartość współczynnika b wynosi -2. Jak już wiesz wykres funkcji liniowej zawsze przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, b. Czyli w naszym przypadku przez punkt o współrzędnych 0, -2. Zaznaczmy ten punkt. Poprowadźmy teraz prostą przez te dwa punkty. Ta prosta to wykres funkcji f od x. Ale w treści zadania poproszono nas o określenie współczynnika kierunkowego funkcji. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie odczytać wartość tego współczynnika z wykresu. Narysujmy odcinek jednostkowy rozpoczynający się w punkcie -2, -3 równoległy do osi OX. Na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Niestety z wykresu ciężko byłoby nam w tym przypadku odczytać dokładną zmianę wartości. A co, gdybyśmy narysowali równoległy do poziomej osi odcinek rozpoczynający się w punkcie -2, -3 ale o długości dwóch jednostek? Jeśli na jego końcu narysujemy odcinek do niego prostopadły bez problemu odczytamy że wzrost argumentu o dwie jednostki odpowiada zmianie wartości o jedną jednostkę. Skoro przesunęliśmy się poziomo o dwie jednostki to otrzymaną zmianę wartości musimy podzielić przez 2. 1 podzielić przez 2 da nam 1/2. Oznacza to, że wartość współczynnika kierunkowego a także wynosi 1/2. Możemy jeszcze sprawdzić nasz wynik. Podstawmy do wzoru współrzędne punktu -2, -3. Otrzymamy: -3 równa się 1/2 razy -2 minus 2 a to wynosi -3. Widzimy, że lewa strona równa się prawej. Nasz punkt znajduje się w tym miejscu na wykresie. Widzimy, że nigdzie się nie pomyliliśmy a nasz wynik jest poprawny. W dzisiejszej lekcji powiedzieliśmy sobie jaki wpływ ma współczynnik kierunkowy funkcji liniowej na wykres tej funkcji. Umiemy też wskazać go we wzorze lub wyznaczyć z wykresu. Jest to bardzo przydatna umiejętność która może Ci się przydać w przyszłości. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Weronika Brzezińska

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Weronika Brzezińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg