Zależności liniowe możemy obserwować nie tylko na lekcjach matematyki. Biolodzy mogą Ci na przykład udowodnić że szybkość cykania świerszczy jest wprost proporcjonalna do temperatury powietrza a archeolodzy opowiedzieć jak z długości kości ramienia czy uda obliczyć wzrost człowieka którego szkielet znaleźli. Określenie własności dowolnej funkcji polega na ustaleniu jej kilku podstawowych cech czyli odpowiedzeniu na pytania: Jaka jest dziedzina funkcji? Jaki jest jej zbiór wartości? Jaka jest monotoniczność funkcji? Czyli czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała? Jakie współrzędne ma punkt przecięcia wykresu z osią OY? Czy funkcja ma miejsca zerowe? Jeśli tak, to jakie? I dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie a dla jakich wartości ujemne? Mamy tutaj wykres funkcji liniowej wyrażonej wzorem f od x równa się 1/2x minus 2. Opiszmy jej własności. Na początek zajmiemy się dziedziną funkcji. Dziedzina mówi nam o tym dla jakich argumentów, czyli x-ów możemy obliczyć wartość funkcji. Popatrzmy na wzór. Czy dla każdej liczby wstawionej w miejsce x możemy obliczyć f od x? Oczywiście, że tak. To oznacza, że x może przyjmować wartości od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Czyli możemy zapisać że x należy do zbioru liczb rzeczywistych lub do przedziału minus nieskończoność, plus nieskończoność. Informacje o dziedzinie funkcji możemy także odczytać z wykresu. Zauważ, że każdemu punktowi leżącemu na osi x odpowiada na wykresie punkt którego pierwszą współrzędną jest wartość naszego x. To także oznacza, że dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Zajmijmy się teraz zbiorem wartości. Jego także możemy odczytać z wykresu. Zauważ, że drugie współrzędne punktów na wykresie przyjmują wszystkie możliwe wartości. Zarówno dodatnie, jak i ujemne a także 0. Stąd możemy powiedzieć że zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Popatrzmy na wykres i określmy teraz monotoniczność funkcji. Skoro idąc w prawo po wykresie funkcji idziemy pod górę możemy powiedzieć, że funkcja jest rosnąca bo wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości. Także z wykresu możemy odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresu i osi OY. Musimy jednak pamiętać, że odczytanie z wykresu dokładnych współrzędnych nie zawsze jest możliwe. Dlatego lepiej jest te współrzędne policzyć. Zauważ. Punkt przecięcia wykresu i osi Y musi mieć pierwszą współrzędną równą zeru. Jest to oczywiste bo jest to cecha wspólna wszystkich punktów leżących na tej osi. Wykorzystajmy to do obliczeń. Do wzoru funkcji wstawmy w miejsce x czyli pierwszej współrzędnej, 0. Otrzymamy f od zera równa się 1/2 razy 0 minus 2. 1/2 razy 0 daje 0 a 0 odjąć 2 to -2. Otrzymaliśmy f od zera równe minus dwóm co możemy odczytać, że dla argumentu 0 wartość funkcji wynosi -2 albo, że wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, -2. Zajmijmy się teraz miejscem zerowym. Podobnie jak poprzednio można postarać się to odczytać z wykresu. Niemniej nie zawsze ten odczyt będzie dokładny, dlatego lepiej jest miejsce zerowe obliczyć. Znów wykorzystamy nasz wzór funkcji. Miejsce zerowe to argument dla którego wartość, czyli f od x wynosi 0. Wykorzystajmy te wiedzę i zastąpmy we wzorze f od x, zerem. Otrzymamy równanie: 0 równa się 1/2x minus 2. Nie pozostaje nam nic innego jak to równanie rozwiązać. Przenosimy -2 na drugą stronę i otrzymujemy 2 równa się 1/2x. Teraz obie strony równania mnożymy przez 2 otrzymując 4 równa się x. Jaki z tego wniosek? Miejscem zerowym jest argument x równy czterem. Możemy też powiedzieć że wykres funkcji przecina oś X w punkcie o współrzędnych 4, 0. Pozostało nam ostatnie pytanie. Dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie? Zróbmy sobie teraz trochę miejsca na planszy na kolejne obliczenia. Znów posłużymy się wzorem. Wiemy, że wartości funkcji, czyli f od x mają być większe od zera co możemy zapisać w ten sposób f od x większe od zera. Jeśli zastąpimy f od x naszym wzorem funkcji otrzymamy 1/2x minus 2 większe od zera. Wystarczy teraz tę nierówność rozwiązać. Tak jak w równaniu przenosimy -2 na drugą stronę. Otrzymujemy 1/2x jest większa od dwóch. Teraz mnożymy obustronnie przez 2 i otrzymujemy wynik x większe od czterech. Nasze wnioski z obliczeń możemy zapisać symbolicznie f od x większe od zera dla x-ów większych od czterech czyli należących do przedziału od czterech do nieskończoności. Podobnie układamy nierówność by odpowiedzieć na pytanie dla jakich argumentów wartości funkcji są ujemne? Otrzymamy nierówność f od x jest mniejsze od zera czyli 1/2x minus 2 jest mniejsze od zera. A po przekształceniach otrzymujemy że x jest mniejsze od czterech. I znów możemy zapisać to symbolicznie. f od x jest mniejsze od zera dla każdego x który jest mniejszy od czterech. To wszystko. Prawda, że łatwe? Zjedz orzeszka a po nim przejdźmy do drugiego zadania. Opisz własności funkcji przedstawionej na wykresie. Wykresem tej funkcji jest prosta więc jest to funkcja liniowa. Czy potrafisz podać jej wzór? Oczywiście to funkcja określona wzorem y równa się 7. Jak myślisz które z własności tej funkcji są inne niż tej poprzedniej a które takie same? Sprawdźmy to. Zacznijmy od dziedziny. Dla jakich argumentów jest określona ta funkcja? Przyjrzyj się wykresowi i odczytaj to z niego. Oczywiście dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bo każdemu punktowi leżącemu na osi x odpowiada na wykresie punkt którego pierwszą współrzędną jest wartość naszego x. A co jest zbiorem wartości? Dla każdego argumentu wartość funkcji jest taka sama. Zbiór wartości jest jednoelementowy. Należy do niego tylko liczba 7. Zapisujemy to: Zw równa się 7. Oczywiście na pytanie jaka jest monotoniczność odpowiemy, że funkcja jest stała. Czy potrafisz podać punkt przecięcia z osią OY? Oczywiście to 0, 7, bo wszystkim argumentom, a więc i zeru jest przyporządkowana ta sama wartość. A co z miejscem zerowym? Z wykresu widać, że go nie ma. A gdyby nie było wykresu? Skąd o tym byśmy wiedzieli? Pamiętasz, jak obliczamy miejsce zerowe? Do wzoru funkcji czyli do y równego 7 w miejsce y wstawiamy 0. Co otrzymamy tak postępując? 0 równa się 7 To równanie sprzeczne, nie ma rozwiązań czyli nie ma argumentów dla których wartość wynosi 0 czyli nie ma miejsc zerowych. Pozostało nam jeszcze jedno pytanie. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie a dla jakich wartości ujemne? Funkcja stale przyjmuje wartość 7 dla wszystkich argumentów. 7 jest większe od zera więc dla wszystkich argumentów wartość funkcji jest dodatnia co możemy zapisać, f od x jest większe od zera dla x-ów należących do liczb rzeczywistych. I oczywiście nigdy wartości nie są ujemne. To zapisujemy: f od x jest mniejsze od zera dla x należącego do zbioru pustego. Zastanówmy się teraz nad pytaniem ile miejsc zerowych może mieć funkcja liniowa? Przyjrzyjmy się współczynnikowi kierunkowemu takiej oto funkcji. Jeśli nie pamiętasz co to takiego zapraszam Cię do obejrzenia filmu pod tytułem „Współczynniki funkcji liniowej ”. Znajdziesz go w tej samej playliście. Jeśli współczynnik kierunkowy a jest różny od zera to wykres nie jest równoległy do osi OX. Funkcja rośnie lub maleje. Wówczas prosta będąca wykresem przecina oś OX tylko w jednym punkcie którego pierwsza współrzędna jest miejscem zerowym danej funkcji. Z definicji miejsca zerowego, otrzymujemy: f od x równa się 0 czyli ax plus b równa się 0. Z tego równania wyliczamy argument x czyli miejsce zerowe. Otrzymujemy ax równa się -b. Możemy teraz obustronnie podzielić przez a bo jest ono różne od zera. Otrzymujemy x równa się -b przez a. Właśnie wyprowadziliśmy wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej gdy a jest różne od zera. Gratulacje. Teraz zapamiętaj! Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych tylko wtedy, gdy a jest równe zeru i b jest różne od zera. Zauważyliśmy to w zadaniu drugim. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji liniowej gdy a równa się b równa się 0. Wykres tej funkcji leży na osi OX. Ostatnie zadanie przed nami. Określ monotoniczność oraz punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych funkcji określonej wzorem y równa się -3x plus 6. Zauważ, że w tym zadaniu nie musimy określać wszystkich własności funkcji. Pójdzie nam szybciej. Nie mamy też wykresu co może nam trochę utrudnić zadanie dlatego do tego zadania wykorzystamy wiadomości o współczynnikach funkcji liniowej. Przyjrzyjmy się wzorowi naszej funkcji: y równa się -3x plus 6. Ile wynosi współczynnik kierunkowy a? Oczywiście -3. Czy pamiętasz, jaka jest zależność między współczynnikiem a monotonicznością funkcji liniowej? Oczywiście współczynnik ujemny oznacza że funkcja jest malejąca. Mamy więc pierwszą część odpowiedzi. Teraz ile wynosi współczynnik b? Oczywiście 6. Pamiętasz? Każda funkcja liniowa przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, b. Czy u nas wykres funkcji przechodzi przez punkt 0, 6? Gdzie leży ten punkt? Oczywiście na osi OY. Mamy kolejną część odpowiedzi. Pozostało nam przecięcie wykresu i osi OX. Pamiętasz, jak to robiliśmy w poprzednim zadaniu? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie to policzyć a następnie sprawdź z moimi obliczeniami. We wzorze funkcji w miejsce y wstawiamy 0, otrzymując w ten sposób równanie: 0 równa się -3x plus 6 czyli -6 równa się -3x i po podzieleniu przez -3 otrzymujemy x równa się 2. Obliczyliśmy miejsce zerowe. Nie pozostaje nam nic innego jak sformułować odpowiedź. Funkcja opisana wzorem y równa się -3x plus 6 jest malejąca. Jej wykres przecina osie układu współrzędnych w punktach 0, 6 i 2, 0. Po dzisiejszej lekcji potrafimy już określać podstawowe własności funkcji liniowej takie jak: dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność punkty przecięcia z osiami czy to dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich wartości ujemne. Warto poświęcić na te zadania trochę czasu bo są bardzo ważne i możemy się z nich wiele nauczyć. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv