Wielkie twierdzenie Fermata zostało udowodnione po 358 latach wysiłków matematyków z całego świata. Wygląda ono w ten sposób: x do potęgi n dodać y do potęgi n równa się z do potęgi n. Ma ono 3 niewiadome: x, y, z. W tym filmie pokażę Ci, jak wyglądają równania z dwiema niewiadomymi. Mamy tutaj 5 równań z dwiema niewiadomymi: y oraz x. Za chwilę pokażę Ci ich wykresy na podstawie których nauczymy się rozpoznawać równania pierwszego stopnia. Spójrzmy na początku na wykres zielonej funkcji. Wykres ten ma postać prostej. Warto też zauważyć, że x w tym równaniu występuje w potędze pierwszej. Równaniem pierwszego stopnia nazywamy takie równanie w którym niewiadome występują w pierwszej potędze. Wykresem takiego równania z dwiema niewiadomymi jest linia prosta. Dlatego takie równania nazywamy czasem równaniami liniowymi. Wykres kolejnej tym razem pomarańczowej funkcji wygląda następująco. Od razu widzimy, że nie jest to prosta zatem nie jest to też równanie pierwszego stopnia. Do podobnych wniosków doszlibyśmy analizując do jakiej potęgi podniesiony jest y oraz do jakiej potęgi podniesiony jest x. Widzimy, że y podniesiony jest do potęgi pierwszej zatem warunek spełniony. Ale nasz x podniesiony jest do potęgi drugiej zatem w tym przypadku warunek nie został spełniony czyli o tym równaniu nie możemy powiedzieć że jest pierwszego stopnia. Przeanalizujmy teraz takie równanie. Wiemy, że pierwiastek z x to to samo co x podniesiony do potęgi 1/2. Czy jesteś w stanie stwierdzić czy jest to równanie pierwszego stopnia zanim zobaczymy jego wykres? Tak, masz rację. Nie jest to równanie pierwszego stopnia bo x znajduje się tutaj w potędze 1/2 a nie w potędze pierwszej. Dla pewności sprawdźmy jeszcze wykres tej funkcji. Prezentuje się on w ten sposób. Jak widzimy, nie jest to prosta zatem nie jest to też równanie pierwszego stopnia czyli nasz wniosek był poprawny. Skupmy się teraz na takim równaniu. Jak myślisz czy jest ono równaniem pierwszego stopnia? I jaką postać przyjmie wykres tej funkcji? Zastanów się chwilę. y występuje tu w potędze pierwszej. x także występuje w potędze pierwszej. Zatem powinno być to równanie pierwszego stopnia. Spójrzmy jeszcze na wykres. Jest on prostą. Zatem mamy potwierdzenie. To równanie także jest równaniem pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi. Zostało nam już tylko jedno równanie do przeanalizowania. Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać że y oraz x są w potędze pierwszej. Co oznaczałoby, że jest to równanie pierwszego stopnia. Jednak zawsze chcemy doprowadzić do postaci, gdy y jest po jednej stronie a x i liczba po drugiej stronie. Aby to zrobić musimy stronami podzielić przez x. Co da nam y równa się 1 przez x. Co jest równoważne z zapisem y równa się x do potęgi minus pierwszej bo gdy x znajduje się w mianowniku i jest w potędze pierwszej możemy to zapisać w ten sposób. Razy 1. Czyli ostatecznie otrzymamy, że y jest równy x do potęgi minus pierwszej. Podsumowując, mamy y w potędze pierwszej oraz x w potędze minus pierwszej zatem żółte równanie nie jest równaniem pierwszego stopnia. Oczywiście, upewnijmy się jeszcze że mamy rację i zobaczmy jak wygląda wykres takiej funkcji. Ta struktura zdecydowanie nie przypomina prostej. Zatem mieliśmy rację nie jest to równanie pierwszego stopnia. W tej części lekcji pokażę Ci jak rozwiązywać równania pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi. Na początku zawsze staramy się doprowadzić nasze wyrażenie do postaci, gdzie y znajduje się po jednej stronie równania a po drugiej stronie równania mamy liczbę oraz naszego x. Niekiedy ten krok możesz pominąć gdy w zadaniu taka postać jest nam dana od razu. Jednak w naszym przypadku musimy to x przenieść na drugą stronę. Aby to zrobić, dodamy stronami x. Co da nam y znak równości x plus 1 czyli otrzymaliśmy taką postać jakiej poszukiwaliśmy. To znaczy, po jednej stronie mamy y a po drugiej stronie x oraz liczbę. Narysujemy teraz wykres dla naszej funkcji. Do tego celu posłużymy się niezawodną tabelką. Teraz przypomnę tylko krótko jak to zrobić. Wybieramy sobie dwa x na przykład może być to x zero oraz x 2. Następnie podstawiamy te liczby do naszego wzoru i obliczamy wartość y. Gdy za x podstawimy zero otrzymamy, że y to zero plus 1, czyli 1. A gdy za x podstawimy 2 otrzymamy, że y to 2 plus 1, czyli 3. W ten sposób wyznaczyliśmy współrzędne dwóch punktów i jesteśmy w stanie narysować teraz wykres badanej funkcji. Aby to zrobić, musimy otrzymane punkty zaznaczyć w układzie współrzędnych. Pierwszy punkt ma współrzędne x zero oraz y 1. Czyli znajdzie się tutaj. A drugi punkt ma współrzędne x 2 oraz y 3. Czyli znajdzie się tutaj. Aby narysować teraz wykres naszej funkcji musimy przez te dwa punkty poprowadzić prostą. Świetnie. Wykres naszej zielonej funkcji jest już gotowy. Pokażę Ci teraz jkak wyznaczyć rozwiązanie naszego równania. Pierwszy sposób to odczytanie rozwiązania z wykresu. Rozwiązaniem będą współrzędne każdego punktu, który leży na tej prostej. Co oznacza, że mamy nieskończenie wiele rozwiązań bo możemy w nieskończoność wyznaczać kolejne punkty które leżą na prostej. Zwróć uwagę, że wyznaczyliśmy już wcześniej dwa takie rozwiązania. Był to punkt o współrzędnych x zero, y 1 oraz drugi punkt o współrzędnych x 2 oraz y 3. Możemy oczywiście wyznaczyć kolejne takie punkty na przykład dla x równego 1 mamy punkt w tym miejscu które odpowiada y o wartości 2. Zatem rozwiązaniem jest punkt o współrzędnych x 1 oraz y 2. Pokażę Ci teraz jak wyznaczyć to samo rozwiązanie w sposób algebraiczny. y przypisujemy bez zmian. Znak równości i za x podstawiamy wybraną przez nas liczbę w tym przypadku było to 1. Dodać 1, bo tak mówi wzór. I otrzymamy, że y równa się 2 . Zatem mamy rozwiązanie, że dla x równego 1 mamy y równy 2. Co zgadza się z wykresem bo ten punkt leży na naszej prostej. Możemy również wyznaczyć te wartości na odwrót. To znaczy podstawiamy coś za y i wyznaczamy x. Na przykład weźmy sobie y o wartości minus 1 równa się x plus 1. Z tego równania otrzymamy że x to minus 2 bo odejmujemy stronami 1. Zatem otrzymamy x równa się minus 1 minus 1 co da nam łącznie minus 2. Czyli kolejne rozwiązanie to dla x minus 2,mamy y równy minus 1. Czy punkt o takich współrzędnych leży na wykresie naszej funkcji? Sprawdźmy. Mamy x minus 2 oraz y minus 1. Czyli ten punkt leży na naszej prostej. Zobacz. Każda para liczb która spełnia nasze równanie reprezentuje współrzędne punktu który leży na wykresie takiej funkcji. Co możemy powiedzieć na temat tego punktu? Nie leży on na naszej prostej. Zatem zgodnie z tym co powiedzieliśmy sobie przed chwilą gdy podstawimy współrzędne tego punktu do naszego wzoru powinniśmy otrzymać sprzeczność bo przypomnę nie leży on na naszym wykresie. Współrzędna odczytana z osi pionowej y to 1. Zatem w miejsce y wpisujemy 1. Znak równości. W miejsce x wpisujemy współrzędną x-ową która w tym przypadku wynosi 3. I dodajemy jeszcze 1. Sprawdzamy, czy ta równość zachodzi . Zatem dopiszmy nad znakiem równości jeszcze znak zapytania. Otrzymamy 1 równa się 4. Co oczywiście nie jest prawdą. Zatem otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Podsumowując, każdą parę liczb która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem takiego równania. A interpretacją pary liczb która spełnia równanie jest punkt leżący na wykresie. Natomiast para liczb która nie spełnia danego równania to współrzędne punktu który nie leży na naszym wykresie. Z tej lekcji zapamiętaj że równaniem pierwszego stopnia nazywamy takie równanie w którym niewiadome występują w pierwszej potędze oraz, że każda para liczb która po podstawieniu do danego równania da równość prawdziwą reprezentuje współrzędne punktu leżącego na wykresie tej funkcji. Zachęcam Cię do obejrzenia pozostałych filmów z playlisty układy równań oraz do odwiedzenia naszej strony pi-stacja.tv