Za pomocą systemu GPS jesteśmy w stanie wyznaczyć dokładne współrzędne przecięcia się dwóch dróg. W tym filmie pokażę Ci, jak wyznaczyć współrzędne przecięcia się dwóch prostych. Dziś zajmiemy się rozwiązywaniem układów równań metodą graficzną. Będziemy interpretować równania jako wzory funkcji liniowych. Jeżeli nie pamiętasz jak rysuje się wykresy funkcji liniowych zapraszam Cię do obejrzenia naszego filmu na ten temat. Polecenie brzmi: rozwiąż układ równań metodą graficzną. Nasz układ równań składa się z dwóch funkcji liniowych. Aby rozwiązać ten układ metodą graficzną będziemy potrzebowali wykresów obu funkcji w jednym układzie współrzędnych. Aby przygotować odpowiednie wykresy wyznaczymy współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej oraz współrzędne dwóch punktów leżących na tej prostej. Aby wyznaczyć te współrzędne posłużymy się niezawodną tabelką. Wszystko, co związane z pierwszą funkcją oznaczajmy na różowo. A wszystko, co związane z drugą funkcją oznaczajmy na niebiesko. Tak, aby potem nic nam się nie mieszało. Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów leżących na różowej prostej. Niech będzie to na przykład x 0 i x 2. Dla x 0, y będzie równy minus 1. A dla x 2 y będzie równy 1. Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych. Dla x 0 mieliśmy y minus 1. Czyli ten punkt znajduje się tutaj. A dla x 2 y był równy 1. Zatem ten punkt znajduje się tutaj. I poprowadźmy przez te punkty prostą. Otrzymaliśmy w ten sposób wykres różowej funkcji. Wykonajmy analogiczne działania dla niebieskiej funkcji. Wyznaczmy wartość funkcji dla x równego zero oraz x równego 2. Dla x 0 otrzymamy y równy 3 a dla x równego 2 otrzymamy y równy minus 3. I także zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych. Pierwszy punkt ma współrzędne 0 i 3 więc znajduje się tutaj. A drugi punkt ma współrzędne 2 i minus 3, czyli znajduje się tutaj. Poprowadźmy przez te punkty prostą. I otrzymamy wykres niebieskiej funkcji. Świetnie. Mamy już wykresy obu funkcji należących do naszego układu równań. Rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. Taki punkt leży jednocześnie na różowej prostej oraz na niebieskiej prostej czyli spełnia oba równania. Jak widzisz, proste przecięły się w punkcie o współrzędnych x 1 oraz y 0. Zatem zapiszmy poszukiwane przez nas rozwiązanie układu równań. Wykonajmy jeszcze sprawdzenie. Gdy za x podstawimy do pierwszego równania 1 otrzymamy 1 minus 1. Da nam to zero. Zatem wynik poprawny. W drugim równaniu otrzymamy minus 3 razy 1, czyli minus 3 plus 3 także da nam zero. Czyli wynik poprawny. Wyczyśćmy układ współrzędnych aby przygotować go do następnych zadań. Kolejny układ równań wygląda w ten sposób. Czy ten układ różni się czymś od poprzedniego? Zauważ, że tym razem nie mamy podanych wzorów na y co jest konieczne do narysowania odpowiednich wykresów. Ale nie szkodzi. Możemy je wyznaczyć sami. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć z obu równań y. W pierwszym równaniu musimy przerzucić x oraz 4 na drugą stronę. Zatem, odejmiemy stronami x i dodamy 4. W drugim równaniu chcemy pozbyć się tej minus 2. Aby to zrobić podzielimy stronami przez minus 2. Otrzymamy w ten sposób z pierwszego równania y, znak równości minus x plus 4. A z drugiego równania y, znak równości 1/2x plus 1. I ponownie pierwsze równanie na różowo drugie równanie na niebiesko. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć współrzędne dwóch punktów różowej prostej oraz współrzędne dwóch punktów niebieskiej prostej. Czyli wyznacz wartości funkcji dla wybranych przez Ciebie x-ów. Ja wybrałem sobie x równe zero i x równe 1. I dla nich wyznaczyłem wartości y. Oczywiście dobór tych punktów był dowolny. Dla x 0, to znaczy gdy podstawimy tutaj zero otrzymamy y 4. A dla x 1, otrzymamy y 3. Narysujmy teraz te punkty w układzie współrzędnych. Pierwszy punkt ma współrzędne x 0 oraz y 4. Czyli znajduje się tutaj. Drugi punkt ma współrzędne x 1, a y 3. Czyli, znajduje się dokładnie tutaj. Poprowadźmy przez te punkty prostą. Otrzymaliśmy w ten sposób wykres różowej funkcji. Teraz analogiczne działania dla niebieskiej funkcji. Wyznaczamy wartości. Na przykład dla x 0 i x 1. Dla x 0, mamy 0 plus 1, czyli 1. Dla x 1, mamy 1/2 plus 1, czyli 1 i 1/2. Zaznaczmy to w układzie współrzędnych. Pierwszy punkt miał współrzędne zero oraz 1. Czyli jest tutaj. Drugi punkt miał współrzędne 1 oraz 3/2. Czyli jest tutaj. Poprowadźmy przez te punkty prostą. Otrzymaliśmy w ten sposób wykres niebieskiej funkcji. Czy wiesz już, co będzie rozwiązaniem tego układu równań? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę. Rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się badanych prostych. Aby odczytać te współrzędne poprowadźmy odpowiednie linie pomocnicze. Widzimy, że ten punkt ma współrzędne 2 i 2. Zatem nasze rozwiązanie to x równy 2 oraz y równy 2. Wykonajmy jeszcze sprawdzenie. W obu równaniach wynikiem powinno być 2 bo taki wyszedł nam y. W pierwszym równaniu gdy za x podstawimy 2 otrzymamy minus 2 plus 4 czyli 2. Wynik poprawny. W drugim równaniu 1/2 razy 2, to 1 a 1 plus 1 da nam 2. Więc wszystko się zgadza. Spójrzmy teraz na taki przykład. Zarówno w pierwszym jak i w drugim równaniu y jest wyznaczony od razu. Zatem możemy przejść do rysowania wykresów tych funkcji. Zatrzymaj film i spróbuj zrobić to samodzielnie. Nasze wykresy prezentują się następująco. Nie mają one żadnego miejsca przecięcia, prawda? Czy gdybyśmy przedłużali te proste uzyskalibyśmy taki punkt w którym te proste się przetną? Zwróć uwagę, że współczynniki przy x w obu przypadkach są identyczne. Co oznacza, że wykresy funkcji liniowych są równoległe. A czy kiedykolwiek dwie proste równoległe się przetną? Masz rację, nigdy się nie przetną. Co oznacza, że nasz układ równań nie ma rozwiązań. Jest to układ sprzeczny. Spróbuj zapamiętać że interpretacją graficzną wszystkich sprzecznych układów równań będą dwie proste równoległe bo nie jesteśmy w stanie wskazać żadnego wspólnego punktu tych prostych. Posprzątajmy teraz w układzie współrzędnych aby przygotować sobie trochę miejsca na rozwiązanie takiego układu równań. Rozpoczynamy od wyznaczenia y w obu równaniach. Aby to zrobić zarówno w pierwszym jak i drugim równaniu odejmujemy stronami 2x. Co da nam y znak równości minus 2x plus 3 i w drugim równaniu dokładnie to samo. Powstałe wzory są identyczne. Zatem wykresy tych funkcji także będą identyczne. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie narysować taki wykres. Wykres prezentuje się w ten sposób. Proste leżą na sobie co oznacza, że otrzymaliśmy układ nieoznaczony, w którym mamy nieskończenie wiele rozwiązań bo rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktów przecięcia. A jeżeli proste leżą na sobie to mamy nieskończenie wiele takich punktów. Na przykład czy weźmiemy punkt stąd czy punkt stąd, czy też stąd to jego współrzędne będą rozwiązaniem naszego układu. Moglibyśmy takie punkty leżące na prostej wyznaczać w nieskończoność. Z tego fragmentu lekcji spróbuj zapamiętać że interpretacją geometryczną wszystkich nieoznaczonych układów równań pierwszego stopnia są nakładające się proste. Z tej lekcji zapamiętaj że współrzędne punktu w którym dwie proste się przecinają stanowią jednocześnie rozwiązanie tego układu równań oraz, że w zależności od ułożenia dwóch prostych względem siebie mówimy o układzie oznaczonym sprzecznym lub nieoznaczonym. Jeśli chcesz dowiedzieć się jeszcze więcej o układach równań zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych filmów z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.