Liny podtrzymujące most Golden Gate w San Francisco mają kształt zbliżony do pewnego matematycznego obiektu. Za chwilę dowiesz się, jak nazywa się ten kształt i poznasz kilka jego właściwości. W tej lekcji zajmiemy się taką funkcją: y równa się x kwadrat. Funkcja to taka maszyna, do której zamiast x wrzucamy pewną liczbę wykonujemy działania i otrzymujemy wartość która jest oznaczona literą y. Nasze rozważania zaczniemy od określenia dziedziny tej funkcji. Dziedzina to zbiór wszystkich liczb które możemy wstawić za x tak aby działania, którymi określona jest funkcja dało się wykonać. Tutaj mamy x do kwadratu. Jakie liczby możemy podnosić do kwadratu? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Do kwadratu możemy podnosić dosłownie wszystkie liczby. Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Dziedzinę tej funkcji możemy zapisać również w taki oto sposób. x należy do zbioru od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Spróbujemy teraz narysować tę funkcję. Przyda się nam do tego taka tabelka. Pamiętaj, że x to argumenty funkcji a y to jej wartości. Jak możemy obliczyć jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu równego 0? Do wzoru funkcji w miejsce x wystarczy wstawić 0 i podnieść tę liczbę do kwadratu. 0 do kwadratu to 0. Ta funkcja dla argumentu równego 0 przyjmuje wartość 0. Argumenty razem z wartościami tworzą punkty w układzie współrzędnych. W tym przypadku otrzymujemy punkt o współrzędnych 0, 0. Gdzie znajduje się ten punkt? W tym miejscu. Teraz obliczymy, jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu równego 1. W miejsce x wstawiamy zatem 1. Ile to jest 1 do kwadratu? 1 do kwadratu to 1. Otrzymujemy zatem punkt o współrzędnych 1, 1. Gdzie znajduje się ten punkt? W tym miejscu. Obliczmy jeszcze wartość, którą przyjmuje ta funkcja dla argumentu –1. Aby to zrobić, wystarczy podnieść liczbę –1 do kwadratu. –1 do kwadratu to 1. Otrzymujemy punkt o współrzędnych –1, 1. Gdzie znajduje się ten punkt? Tutaj. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla argumentów: 2, –2, 3, –3, 1/2. Następnie włącz lekcję i sprawdź czy Twoje wyniki zgadzają się z moimi. Funkcja y równa się x kwadrat dla argumentu równego dwóm przyjmuje wartość 4. Dla argumentu równego minus dwóm również przyjmuje wartość 4. Dla argumentu równego trzem przyjmuje wartość 9 a dla argumentu równego minus trzem również przyjmuje wartość 9. Dla argumentu 1/2 ta funkcja przyjmuje wartość równą 1/4. Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać jakie punkty utworzą dane argumenty i wartości. Następnie sprawdź, czy masz takie same punkty jak ja. Argument 2 i wartość 4 utworzą punkt o współrzędnych 2 i 4. Argument –2 i 4 utworzą punkt o współrzędnych –2 i 4. Następnie otrzymamy punkt o współrzędnych 3 i 9. Kolejny punkt ma współrzędne –3 i 9. Ostatni punkt w naszej tabelce będzie miał współrzędne 1/2 i 1/4. Umieśćmy teraz te punkty w układzie współrzędnych. Punkt o współrzędnych 2 i 4 znajduje się tutaj. Punkt o współrzędnych –2 i 4 znajduje się tutaj. Punkt, którego współrzędne to 3 i 9 znajduje się w tym miejscu. Punkt o współrzędnych –3 i 9 znajduje się tutaj. Został nam punkt którego współrzędne to 1/2 i 1/4 i ten punkt znajduje się tutaj. Gdy połączymy wszystkie punkty których współrzędne spełniają równość y równa się x do kwadratu to otrzymamy pewien charakterystyczny kształt, który nazywa się parabolą. Nie narysowaliśmy po prostu odcinków łączących te punkty. Wykres jest zaokrąglony co dobrze widać na samym dole. Zwróć na to uwagę rysując własne wykresy funkcji kwadratowych. Ten dziubek kształtem powinien przypominać literę U, a nie V. Wykres funkcji y równa się x kwadrat jest parabolą. Warto zapamiętać tę nazwę! Funkcja, której najwyższą potęgą przy x jest liczba 2, nazywa się funkcję kwadratową. W kolejnych lekcjach poznasz inne postacie i inne przykłady funkcji kwadratowych. Zwróć uwagę, że jeden z punktów na wykresie ma inny kolor. Mowa o tym punkcie. Zauważ, że jest to najniżej położony punkt tej paraboli. Mówimy, że ten punkt jest wierzchołkiem tej paraboli. Opiszemy sobie teraz kilka podstawowych własności funkcji kwadratowej y równa się x kwadrat. Zaczniemy od osi symetrii. Skup teraz swoją uwagę na tych dwóch punktach. Mają one taką samą wartość. Zwróć uwagę, że znajdują się one w takiej samej odległości od osi y. Tak samo te 2 punkty są na tej samej wysokości i znajdują się w tej samej odległości od osi y. Dzieje się tak dlatego, że zawsze jak podniesiemy przeciwne liczby do kwadratu na przykład 2 i –2 to otrzymamy ten sam wynik czyli otrzymane punkty będą symetryczne. Widzisz zatem, że oś y której równanie to x równa się 0 jest osią symetrii tej paraboli. Zapiszmy to. Osią symetrii funkcji y równa się x kwadrat jest oś y, której równanie to x równa się 0. Warto wspomnieć, że oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Teraz opiszemy monotoniczność funkcji y równa się x kwadrat. Aby to zrobić, warto wyobrazić sobie że jeździmy po naszym wykresie na deskorolce. Ustawiamy się zatem na tym wykresie jak najbardziej na lewo, czyli tutaj. Teraz będziemy poruszali się po tym wykresie w prawą stronę. Gdy to zrobimy, będziemy jechali w dół w górę czy też poziomo. Sprawdźmy to. Poruszając się od lewej strony do prawej będziemy zjeżdżali po naszym wykresie w dół. Co to oznacza? Oznacza to, że dla tych x–ów wartości funkcji maleją. Możemy zatem zapisać, że funkcja maleje dla x–ów należących do przedziału od minus nieskończoności do zera. Przy zerze mamy przedział domknięty bo 0 należy do dziedziny tej funkcji. Skup się ponownie na wykresie. Gdy będziemy dalej poruszali się w prawą stronę to tym razem będziemy poruszali się po wykresie w górę. Dla tych x–ów wartości funkcji maleją czy rosną? Rosną! Funkcja zatem rośnie dla x–ów należących od zera do plus nieskończoności. Jeszcze raz przypomnę, że badamy funkcję y równa się x kwadrat. Zastanów się teraz jaka jest jej najmniejsza wartość. Kilka chwil temu powiedziałem że wierzchołkiem tej paraboli jest punkt który znajduje się najniżej. Ten punkt znajduje się na przecięciu osi y oraz osi x. Oś x przechodzi przez wartość równą zeru. Najmniejszą wartością tej funkcji jest więc 0. Zapisujemy odpowiedź y równa się 0. A czy potrafisz powiedzieć jaka jest jej największa wartość? Zwróć uwagę, że wykres tej funkcji wychodzi poza ekran. Co to zatem oznacza? Spójrz na wzór tej funkcji y równa się x kwadrat. Powiedzieliśmy, że każdą liczbę możemy podnieść do kwadratu. Im większe liczby będziemy wstawiali tym większe wartości będziemy otrzymywali. Wartości nie mają ograniczenia od góry. Możemy zatem zapisać, że w przypadku tej funkcji występuje brak wartości największej. Czy jesteś w stanie zatem podać zbiór wartości? Zatrzymaj lekcje i spróbuj odpowiedzieć. Zbiór wartości oznaczamy wielką literą Y. Zbiór wartości to wszystkie wartości które przyjmuje ta funkcja. Wiemy, że najmniejszą wartością tej funkcji jest 0. Skoro 0 jest wartością tej funkcji to w tym miejscu mamy przedział domknięty. Powiedzieliśmy również, że wartości tej funkcji nie mają ograniczenia od góry. Otrzymujemy zatem przedział lewostronnie domknięty od zera do plus nieskończoności. Pamiętaj, że przy symbolu nieskończoności zawsze występuje symbol przedziału otwartego. Możemy to też zapisać w taki sposób że wartości funkcji oznaczone małą literą y należą do przedziału lewostronnie domkniętego od zera do nieskończoności. A czy potrafisz powiedzieć ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Do odpowiedzi na to pytanie możemy dojść na 2 sposoby. Skoro mamy do dyspozycji wykres możemy to odczytać z wykresu. Miejsce zerowe to miejsce, w którym wykres funkcji dotyka lub przecina oś x. Wykres funkcji y równa się x kwadrat dotyka osi x w jednym miejscu. W wierzchołku. Ta funkcja ma zatem jedno miejsce zerowe. Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zeru. Tym argumentem jest liczba 0. Drugim sposobem dojścia do odpowiedzi na to pytanie jest rozwiązanie odpowiedniego równania. Jeszcze raz przypomnę, że miejsce zerowe to argument, czyli x dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zeru. Poszukując miejsca zerowego w miejsce y wstawiamy liczbę 0. Jakie równanie otrzymamy? 0 równa się x kwadrat. Aby rozwiązać to równanie wystarczy zastanowić się, jaką liczbę należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 0. Istnieje jedna taka liczba którą jest liczba 0. Otrzymujemy 0 równa się x. Zwróć uwagę, że w tym miejscu otrzymaliśmy dokładnie to samo, co tutaj. Została nam ostatnia rzeczy do zbadania. Poszukamy teraz współrzędnych punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych. Mamy dwie osie: x i y. Zaczniemy od osi y. Wykres tej funkcji przecina oś y w miejscu który jest wierzchołkiem tej paraboli. Czy pamiętasz, jakie współrzędne ma ten wierzchołek? Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne 0, 0. Zapisujemy zatem: 0, 0. Spójrzmy raz jeszcze na wykres tej funkcji i zastanówmy się, czy ta parabola przecina oś x. No nie! Możemy zatem zapisać, że podana funkcja nie przecina osi x jedynie się z nią styka. Ma zatem 1 punkt wspólny. Dziedziną funkcji y równa się x kwadrat jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór wartości to przedział lewostronnie domknięty, od zera do plus nieskończoności. Funkcja x kwadrat maleje dla x–ów należących do przedziału prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do zera, a rośnie dla x–ów należących do przedziału lewostronnie domkniętego od zera do plus nieskończoności. Miejscem zerowym jest x równy zeru. Najmniejszą wartością jest 0. Funkcja nie przyjmuje wartości największej. Punktem przecięcia z obiema osiami jest początek układu współrzędnych czyli punkt o współrzędnych 0 i 0. W tym dziale znajdziesz informacje dotyczące postaci ogólnej i kanonicznej funkcji kwadratowej. Pozostałe działy dotyczące funkcji kwadratowej znajdziesz na naszej stronie internetowej pi–stacja.tv