Funkcje kwadratowe służą rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów. Na przykład możesz dzięki nim obliczyć w jakim tempie musisz czytać lekturę żeby zdążyć przed klasówką. Już 2000 lat przed naszą erą pierwsze funkcje kwadratowe służyły matematykom babilońskim do rozwiązywania praktycznych problemów geometrycznych. Wiesz już, że miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zeru. Potrafisz także odczytać z wykresu ile miejsc zerowych ma dana funkcja. W tej lekcji sprawdzimy ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa. Posłużymy się do tego wykresami. Oto wykres pierwszej funkcji. Ile ma miejsc zerowych? Wierzchołek jest pod osią x a ramiona są skierowane do góry zatem wykres przecina oś x w dwóch miejscach. To pierwsze miejsce zerowe a to drugie. Przesuńmy wykres tej funkcji w górę. Ile miejsc zerowych ma wykres tej funkcji? Wykres dotyka osi x w jednym punkcie którego współrzędne są takie same jak współrzędne wierzchołka. Ta funkcja ma jedno miejsce zerowe. A co się stanie gdy przesuniemy wykres tej funkcji jeszcze bardziej w górę? Tym razem wierzchołek leży nad osią x. Skoro ramiona paraboli są skierowane do góry to wykres nie przecina osi x w żadnym miejscu. Ta funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. A gdyby ramiona paraboli były skierowane w dół? Zobacz. Wierzchołek jest nad osią x. W tej sytuacji ramiona paraboli przecinają oś x w dwóch miejscach więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe. Przesuńmy teraz wykres tej funkcji w dół tak, aby wierzchołek znalazł się na osi x. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Ta funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe i jest nim pierwsza współrzędna wierzchołka. Przesuńmy tę funkcję jeszcze w dół. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Wierzchołek jest pod osią x. Ramiona są skierowane w dół. Wykres tej funkcji nie przecina osi x więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Podsumujmy. Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe jedno, bądź może nie mieć ich wcale. Omawiając liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie wykresu mówiłem, że zależy ona od znaku współczynnika a oraz drugiej współrzędnej wierzchołka. Obie liczby da się od razu odczytać z postaci kanonicznej czyli ze wzoru: a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu dodać q. Liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej da się zatem określić przy pomocy współczynnika a oraz q. Kiedy funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe? W dwóch przypadkach. Gdy q jest dodatnie czyli wierzchołek jest nad osią x a współczynnik a jest ujemny ramiona są wtedy skierowane w dół. Drugi przypadek jest taki gdy q jest ujemne czyli wierzchołek znajduje się pod osią x a współczynnik a jest dodatni ramiona są skierowane do góry. Kiedy funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe? Tylko wtedy, gdy q wynosi 0 bo wtedy wierzchołek znajduje się dokładnie na osi x. Wartość współczynnika a nie ma znaczenia. Funkcja w każdym przypadku dotyka osi x dokładnie w jednym miejscu więc ma jedno miejsce zerowe. A kiedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych? Też w dwóch przypadkach. Gdy wierzchołek jest nad osią x czyli q jest dodatnie a ramiona są skierowane do góry czyli, gdy a jest dodatnie. Drugi przypadek to taki gdy wierzchołek jest pod osią x czyli q jest ujemne a ramiona są skierowane w dół czyli a jest ujemne. Ważne jest tylko, aby a było różne od zera bo inaczej wzór nie opisywałby funkcji kwadratowej. Do określania liczby miejsc zerowych możemy wykorzystać także deltę. Wiesz, że q obliczamy ze wzoru: minus delta podzielić przez 4a. Wyznaczmy z niego deltę mnożąc obie strony przez -4a. Delta równa się -4 razy a razy q. Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe gdy a jest dodatnie, a q ujemne. Jaki znak będzie mieć wynik mnożenia liczby ujemnej przez dodatnią i ujemną? Dodatni. Funkcja kwadratowa ma także dwa miejsca zerowe gdy a jest ujemne, a q dodatnie. Mnożąc -4 przez ujemne a i dodatnie q delta też przyjmie wartość dodatnią. Oznacza to, że jeśli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe to delta jest dodatnia. Kiedy funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe? Tylko wtedy, gdy q to 0. Znak a nie ma znaczenia. Delta to -4 razy a razy q. Mnożąc -4 przez dowolną liczbę oraz przez 0 zawsze otrzymamy 0. Oznacza to, że jeśli funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe to delta wynosi 0. A kiedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych? Gdy a i q to liczby dodatnie oraz gdy a i q to liczby ujemne. Jaki znak przyjmie delta gdy -4 pomnożymy przez dodatnie a i dodatnie q? Będzie ujemna. A jaki znak przyjmie, gdy -4 pomnożymy przez ujemne a i ujemne q? Również minus. Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych gdy delta jest ujemna. Jak widzisz, każda liczba rozwiązań jest dla innego znaku delty stąd po znaku delty można jednoznacznie stwierdzić ile miejsc zerowych ma dana funkcja kwadratowa. Delta przydaje się do określania liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej y równa się ax kwadrat dodać bx dodać c Wzór na deltę to b kwadrat odjąć 4 razy a razy c. Poćwiczymy teraz określanie liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej. Ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa y równa się x kwadrat odjąć x odjąć 2? Najpierw samodzielnie odczytaj współczynniki postaci ogólnej czyli a, b i c. a to 1, b to -1, a c to -2. Teraz samodzielnie oblicz deltę. Delta to b kwadrat odjąć 4ac czyli -1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy -2 czyli 1 dodać 8, a to wynosi 9. Delta jest dodatnia więc ile miejsc zerowych ma ta funkcja? 2. A ile miejsc zerowych ma funkcja y równa się x kwadrat odjąć x dodać 2? a to 1, b to -1, a c to 2. Delta równa się -1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2, czyli -7. Delta jest ujemna więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Kolejne zadanie dla Ciebie. Ile miejsc zerowych ma funkcja: y równa się x kwadrat odjąć 4x dodać 4? a to 1, b to -4, c to 4. Delta to -4 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 4, czyli 0. Skoro delta to 0 to ta funkcja ma jedno miejsce zerowe. Z tej lekcji nauczyliśmy się określać ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa niezależnie od postaci w której jest zapisana. W kolejnych lekcjach dowiesz się jak obliczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Do usłyszenia. Jak sprawdzić ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa? Jeżeli mamy do czynienia z postacią ogólną możemy wykorzystać deltę którą liczymy ze wzoru: b kwadrat minus 4ac. Jeżeli delta jest mniejsza od zera to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Jeżeli delta to 0 to ma jedno miejsce zerowe a jeżeli delta jest większa od zera to ma dwa miejsca zerowe. Jeżeli mamy do czynienia z postacią kanoniczną najpierw należy odczytać współrzędne wierzchołka a następnie odpowiednio zinterpretować wykres pomocniczy, który jest narysowany w oparciu o te współrzędne oraz o wartość współczynnika a. Ten dział wprowadzi Cię w świat równań kwadratowych i postaci iloczynowej. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv.