Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda postać iloczynowa funkcji kwadratowej,
  • jakie informacje możemy z niej odczytać,
  • jak rysować parabolę na podstawie wzoru funkcji kwadratowej zapisanej w postaci iloczynowej.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Trajektoria lotu piłki rzuconej do kosza przypomina wykres funkcji kwadratowej. Równania kwadratowe wykorzystuje się między innymi do obliczania wysokości na której znajdzie się piłka w danej sekundzie po wykonaniu rzutu. W zależności od siły rzutu kąta i odległości, można zatem przynajmniej w teorii, obliczyć szansę na kolejne punkty w meczu o ile liczy się wystarczająco szybko. W tym filmie zajmiemy się trzecią i ostatnią postacią funkcji kwadratowej: postacią iloczynową. Jej wzór wygląda tak: y równa się a razy w pierwszym nawiasie x odjąć x1 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć x2. Warto zauważyć że nie dla każdej funkcji kwadratowej istnieje postać iloczynowa. Nie każda funkcja ma bowiem miejsca zerowe czyli x1 i x2. Najpierw uzasadnimy, że rzeczywiście jeżeli pod x1 i x2 podstawimy miejsca zerowe funkcji to otrzymamy wzór funkcji kwadratowej. Najprościej będzie najpierw wymnożyć nawiasy. Współczynnik a przepisujemy. Otwieramy nawias i piszemy: x kwadrat odjąć x razy x1 odjąć x razy x2 dodać x1 razy x2. Wyciągnijmy jeszcze x przed nawias z tych dwóch wyrażeń. Mamy a razy w nawiasie kwadratowym x kwadrat odjąć x razy w nawiasie x1 dodać x2 zamknąć nawias dodać x1 razy x2. Teraz obliczymy, ile to jest x1 dodać x2 oraz x1 razy x2. x1 dodać x2 to po prostu -b dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a dodać -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Mianownik jest taki sam więc wystarczy dodać liczniki. Dostajemy: -2b podzielić przez 2a czyli x1 dodać x2 to jest to samo co -b przez a. Spróbuj analogicznie obliczyć ile to będzie x1 razy x2. Mamy ułamki, czyli będziemy mnożyć licznik przez licznik a mianownik przez mianownik. W liczniku otrzymamy: -b dodać pierwiastek z delty razy -b odjąć pierwiastek z delty a w mianowniku 2a razy 2a czyli 4a kwadrat. W liczniku można zauważyć wzór skróconego mnożenia. Suma razy różnica to -b w nawiasie do kwadratu odjąć pierwiastek z delty do kwadratu. W liczniku mamy zatem b kwadrat odjąć delta gdzie delta to b kwadrat odjąć 4 razy a razy c czyli na górze mamy b kwadrat odjąć b kwadrat dodać 4 razy a razy c a na dole 4a kwadrat. b kwadrat i -b kwadrat się uproszczą. Zostaje nam 4ac podzielić przez 4a kwadrat co daje c przez a. Teraz wystarczy podstawić nasze wyliczenia do wzoru który otrzymaliśmy wcześniej. Mamy a razy, w nawiasie x kwadrat odjąć x razy x1 dodać x2 czyli -x razy -b podzielić przez a dodać x1 razy x2, czyli c przez a. Upraszczajc wyrażenie mnożąc każdy element z nawiasu przez a otrzymujemy: ax kwadrat dodać bx dodać c. A to przecież wzór ogólny funkcji kwadratowej. Czyli jeżeli x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej w postaci ogólnej to a razy x odjąć x1 razy x odjąć x2 również opisuje tę samą funkcję kwadratową. Ta postać przechowuje informacje o miejscach zerowych. Jest przydatna do rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych. Teraz zastanówmy się co poza miejscami zerowymi daje nam wzór funkcji w postaci iloczynowej. Przejdźmy do zadania. Narysuj wykres funkcji określonej wzorem: y równa się 2 razy, w nawiasie x odjąć 1 zamknąć nawias razy w nawiasie x dodać 2. Czy to jest w ogóle postać iloczynowa? Spróbuj samodzielnie odczytać ze wzoru miejsca zerowe oraz współczynnik a. Porównując wzór na postać iloczynową i zapis naszej funkcji widzimy, że a to 2 a miejsca zerowe to 1 oraz -2 bo minus -2 daje nam +2. Od razu możemy miejsca zerowe zaznaczyć na wykresie. Dzięki znajomości współczynnika a wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. Istnieje jednak dużo parabol które mają miejsca zerowe w tych punktach i ramiona skierowane do góry. Każda z nich ma nieco inny kształt oraz środek położony w innym miejscu. Czy z postaci iloczynowej możemy określić o którą konkretnie nam chodzi? Na przykład odczytać informacje o wierzchołku? Zauważ, że wszystkie te wykresy są symetryczne względem jednej osi. Współrzędna x wierzchołka czyli p leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi więc, aby ją otrzymać wystarczy obliczyć średnią arytmetyczną miejsc zerowych czyli x1 i x2. W naszym przypadku pierwsza współrzędna wierzchołka to 1 dodać -2 podzielić przez 2 czyli -1/2. A co możemy powiedzieć o współrzędnej y wierzchołka czyli q? Nie da się jej odczytać bezpośrednio ze wzoru ale skoro mamy współrzędną x to y możemy obliczyć obliczając wartość tej funkcji dla x wierzchołka. To nam daje 2 razy -1/2 odjąć 1 razy -1/2 dodać 2. Po wykonaniu obliczeń mamy -4 i 1/2. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w tym miejscu. Teraz przykład dla Ciebie. Spróbuj samodzielnie narysować wykres funkcji o wzorze: y równa się x razy w nawiasie 3x odjąć 6. Czy jest to funkcja zapisana w postaci iloczynowej? Brak a na początku nie przeszkadza. Przecież może być równe jednemu. Podobnie brak pierwszego nawiasu. Pierwszy x możemy zapisać jako x odjąć 0 w nawiasie. Od razu dostajemy jedno z miejsc zerowych. To 0. A co z drugim nawiasem? Czy jest w postaci x odjąć x2? Nie, bo x nie jest samotne ale wystarczy wyłączyć 3 przed nawias. Wtedy nasz wzór na funkcję będzie wyglądał tak: y równa się 3 razy w nawiasie x odjąć 0 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie x odjąć 2. Stąd współczynnik a wynosi 3 a miejscami zerowymi są 0 oraz 2. Spróbuj samodzielnie podać współrzędne wierzchołka tej funkcji. Zaczynamy od x który jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych czyli wynosi 0 dodać 2 podzielić przez 2 co daje 1. y współrzędna wierzchołka to 3 razy w nawiasie 1 odjąć 0 razy w drugim nawiasie 1 odjąć 2 czyli po wykonaniu obliczeń -3. Wierzchołek naszej paraboli ma zatem współrzędne 1 i -3. Teraz możemy narysować wykres. Ostatnie zadanie ma inne polecenie. Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór. Jeżeli w zadaniu nie określono o jaką postać funkcji kwadratowej chodzi to możemy podać taką jaka dla nas będzie najwygodniejsza. Zastanów się, co można odczytać z wykresu. Współrzędną y wierzchołka trudno odczytać z rysunku. Na szczęście miejsca zerowe są punktami kratowymi. To -4 oraz 1. Stąd najwygodniej byłoby użyć postaci iloczynowej. Nie znamy jeszcze współczynnika a więc na razie zapiszemy wzór jako: y równa się a razy w nawiasie x odjąć -4 razy w drugim nawiasie x odjąć 1 a po przekształceniu a razy w nawiasie x dodać 4 razy w drugim nawiasie x odjąć 1. Brakuje nam wartości współczynnika a. Jak ją znaleźć? Co jeszcze da się odczytać z rysunku? Na przykład punkt wspólny paraboli z osią y czyli 0 i -1. Jest to punkt należący do wykresu funkcji więc musi spełniać jej wzór. Dlatego wystarczy go podstawić do tego wzoru: -1 to a razy w nawiasie 0 dodać 4 zamknąć nawias razy w drugim nawiasie 0 odjąć 1. Otrzymujemy -1 równa się -4a co daje nam, że a równa się 1/4. W końcu możemy zapisać wzór naszej funkcji. y to 1/4 razy w nawiasie x dodać 4 razy w drugim nawiasie x odjąć 1. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest opisana wzorem y równa się a razy w nawiasie x odjąć x1 razy w drugim nawiasie x odjąć x2 gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Jest ona szczególnie pomocna przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych. Uwaga! Aby funkcja kwadratowa posiadała postać iloczynową musi mieć co najmniej jedno miejsce zerowe. Ten dział dotyczy równań kwadratowych oraz postaci iloczynowej. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami zasubskrybuj kanał.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Opracowanie dźwięku: Aleksander Margasiński

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg