Jednym z najbardziej znanych problemów optymalizacyjnych jest problem komiwojażera. Chodzi w nim o takie zaplanowanie trasy handlowca, by objechał on określoną liczbę klientów jak najkrótszą drogą lub w jak najkrótszym czasie. Jako pierwszy sformułował go w 1932 roku austriacki matematyk, Karl Menger. O ile sam problem wydaje się banalny o tyle znalezienie rozwiązania jest naprawdę trudne. Dla n punktów istnieje bowiem n minus 1 silnia przez dwa, kombinacji połączeń. My w tej lekcji będziemy rozwiązywać prostsze problemy optymalizacyjne. Zapraszam. W tej playliście zoptymalizowaliśmy niejedną figurę, jednak optymalizacja to nie tylko geometria. Optymalizujemy zyski firm, podatki czy własną garderobę, aby minimum ubrań dawało maksimum efektu. Optymalizacja w życiu codziennym wymaga najczęściej wielu zmiennych. My skupimy się na jej uproszczonym wariancie. Przeczytajmy pierwsze zadanie. Suma dwóch liczb jest równa 10. Znajdź te liczby, jeśli wiadomo, że suma jednej z liczb i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych. Na początek przeanalizujmy parę liczb która w sumie da nam 10. Może to być na przykład jeden i dziewięć. W tym zadaniu kolejność ma znaczenie bo tylko jedną z liczb podnosimy do kwadratu. Innym przypadkiem będzie więc 9 i 1. Obliczmy w obu wariantach sumę pierwszej liczby i kwadratu drugiej. Jak zapisać tę sumę w postaci uogólnionej? Aby uniknąć wprowadzania dwóch zmiennych nasze liczby możemy oznaczyć jako iks i 10-x. Ponieważ to drugą liczbę podnosimy do kwadratu, to ją oznaczmy jako iks a pierwszą jako 10 - x. Łatwiej bowiem podnieść do kwadratu iks niż wyrażenie 10 - x. Nasza suma to więc 10 minus iks dodać x do potęgi drugiej. Porządkujemy wyrazy i zapisujemy nasze wyrażenie jako funkcję iks do kwadratu minus iks plus 10. Teraz musimy określić jej dziedzinę. Jaką wartość może przyjmować nasz iks? W zadaniu nie ma podanych ograniczeń. Pod x możemy wstawić dowolną liczbę a więc dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Suma, którą zapisaliśmy ma być najmniejsza z możliwych, czyli ma być minimalną wartością naszej funkcji. Nasza funkcja ma dodatni współczynnik a a więc jej wykres będzie miał ramiona skierowane ku górze i wartość najmniejszą. Wszystko się zgadza. Mamy znaleźć dwie liczby które w sumie dadzą nam 10. Jedna z nich to x. Nasza suma będzie najmniejsza w tym miejscu a więc musimy obliczyć iksową współrzędną wierzchołka. Wzór na p to minus b przez 2a. Po podstawieniu otrzymujemy 1/2. Drugą z naszych liczb jest więc jedna druga. Pierwsza to 10 - 1/2, czyli 9 i 1/2. Mamy tym samym szukane liczby: 9,5 i 1/2. Czas na drugie zadanie. Tym razem zoptymalizujemy zyski w małym biznesie. Pewien sklepikarz sprzedawał damskie torebki po 120 zł za sztukę. Miesięcznie sprzedawał w tej cenie 300 torebek. Zauważył, że każdy wzrost ceny o 10 zł zmniejszał miesięczną sprzedaż o 25 torebek. Oblicz, jaką cenę jednej torebki powinien ustalić sprzedawca, aby uzyskać jak największy zysk, jeśli cena hurtowa torebki to 80 zł za sztukę. Zanim zaczniemy optymalizować cenę torebki i układać funkcję określającą tę cenę przeanalizujmy kilka możliwych scenariuszy aby łatwiej nam było zobaczyć zależności. Przy cenie 120 zł sprzedaje się 300 torebek miesięcznie. Kiedy cenę podniesiemy o 10 zł sprzedawać się będzie 275 torebek miesięcznie. Przy cenie 140 zł sprzedaż spadnie do 250 torebek. Jak w tych sytuacjach obliczyć zysk sprzedawcy? W pierwszym wariancie, na jednej torebce sprzedawca zarabia 40 zł. Sprzedaje miesięcznie 300 torebek a więc jego zysk to 40 razy 300, czyli 12 tysięcy. W drugim wariancie zysk to 50 razy 275, czyli 13 750. W trzecim 60 razy 250, czyli 15 000. Na razie zysk rośnie. Jednak gdybyśmy ustalili cenę na 240 zł czyli o 120 zł więcej niż obecnie to sprzedaż spadnie do zera i zysków nie będzie Gdzie jest złoty środek? Zaraz go znajdziemy, nie analizując zysków dla każdej z możliwych cen. Co zmieniało się w naszej analizie? Na każde 10 zł podwyżki musieliśmy odjąć 25 sztuk z miesięcznej sprzedaży. Zmieniała się skala podwyżki, co najwygodniej będzie przedstawić, jako krotność dziesięciozłotowych podwyżek. Cenę podnosimy więc o 10 zł iks razy czyli o 10x, co daje nam wyrażenie 120 + 10x. Jednak nas interesuje zysk. Z jednej torebki sprzedawca ma obecnie 40 zł. Po podwyżce będzie to o 10x więcej czyli 40 plus 10x. Ilość sprzedanych egzemplarzy to 300 - 25x bo na każdą dziesięciozłotową podwyżkę spada ona o 25 sztuk. A zysk miesięczny? To iloczyn zarobku na jednej torebce i liczby sprzedanych sztuk, czyli 40 plus 10x razy 300 minus 25x. Pamiętajmy o nawiasach! Nasza zależność gotowa. Spróbuj dokończyć to zadanie samodzielnie a następnie wznów film i sprawdź, jak Ci poszło. Oto przykładowe rozwiązanie. Funkcja po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu wyrazów przyjmuje taką postać. Jej dziedziną będzie przedział od 0 do 12 bo większa liczba podwyżek nie ma sensu. Iksowa współrzędna wierzchołka to 4 a więc optymalna cena to 120 plus 10 razy 4 czyli 160 złotych. Taką właśnie cenę powinien ustalić sprzedawca aby uzyskać największy zysk. W zadaniach optymalizacyjnych zwykle musimy wyznaczyć wzór funkcji. Łatwiej to zrobić, jeśli najpierw przeprowadzisz analizę z wykorzystaniem konkretnych liczb spełniających warunki zadania. Posługując się liczbami, łatwiej dostrzec zależności, które w kolejnym kroku można uogólnić na symbole i w ten sposób wyznaczyć żądany wzór. Tym filmem chcieliśmy Cię przekonać że optymalizacja pomaga nie tylko w napisaniu klasówki, ale i w codziennym życiu. Zanim jednak założysz biznes i zechcesz go zoptymalizować, polub nas.