Trójkąty podobne w trójkątach

Na podstawie kilku cech można łatwo stwierdzić, że dane osoby to rodzeństwo. Podobne oczy, kształt uszu czy występowanie kręconych włosów. W świecie geometrii jest podobnie. Jeden trójkąt może mieć cechy, dzięki którym poznamy, że jest podobny do drugiego. Polecenie brzmi: sprawdź, czy trójkąt AFE jest podobny do trójkąta BFD, jeśli wiadomo że punkt F powstał w miejscu przecięcia wysokości poprowadzonych z wierzchołka A oraz z wierzchołka B. Ciekawe, czy jesteśmy w stanie wyznaczyć dwa trójkąty podobne wewnątrz tego trójkąta. Narysujmy dwie wysokości. Pierwszą, którą poprowadzimy z punktu B na przeciwległy bok AC oraz drugą którą poprowadzimy z punktu A na przeciwległy bok BC. Wiemy, że wysokość trójkąta łączy zawsze jeden z wierzchołków z przeciwległą podstawą pod kątem 90 stopni. Zatem w tym miejscu oraz w tym miejscu Możemy na pewno zaznaczyć kąt prosty. Zobacz: powstały nam tu dwa trójkąty. Pierwszy: AEF oraz drugi: BDF. Zwróć także uwagę, że oba te trójkąty są prostokątne, czyli kąt AEF ma taką samą miarę jak kąt BDF i w obu przypadkach miary tych kątów wynoszą 90 stopni. Zobacz: nasze wysokości możemy potraktować jako dwa proste odcinki, które przecięły się w punkcie F. Dzięki tej informacji możemy stwierdzić że powstała nam tutaj para zielonych kątów wierzchołkowych. A jak pamiętasz, kąty wierzchołkowe mają takie same miary. To pozwala nam zapisać, że kąt AFE ma identyczną miarę, jak kąt BFD. Pozostało nam już tylko wykazać że te dwa niebieskie kąty także mają identyczne miary. Skorzystamy tu z zależności, że jeżeli dwie pary kątów mają identyczne miary to trzecia para kątów także musi mieć identyczne miary. To pozwala nam zapisać, że kąt EAF ma taką samą miarę, jak kąt DBF. Skoro udowodniliśmy, że miary kątów w trójkącie AFE są identyczne jak w trójkącie BFD, możemy sformułować wniosek, że trójkąt AFE jest podobny do trójkąta BFD na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Warto podkreślić, że kolejność wierzchołków które wypisujemy, nie jest przypadkowa. Zobacz: na początku mamy wierzchołek A czyli ten przy niebieskim kącie. W drugim trójkącie mamy wierzchołek B czyli ten, który także leży przy niebieskim kącie. Następnie mamy wierzchołek F - zielony kąt podobnie F - zielony kąt no i wierzchołki E oraz D to te które leżą przy kącie prostym. Ciekawe, czy zawsze takie dwa trójkąty powstałe przez przecięcie wysokości będą do siebie podobne? Zobaczmy. Niezależnie od tego, jak ułożony jest nasz trójkąt, to te dwa trójkąty powstałe przez przecięcie wysokości zawsze są podobne, bo ich kąty zawsze mają takie same miary. Wyczyśćmy teraz naszą tablicę aby przygotować miejsce pod zadanie w którym pokażę Ci, jak wykorzystać zdobytą przed chwilą wiedzę w praktyce. Mamy tu identyczny trójkąt ABC. Jednak tym razem naszym zadaniem jest obliczyć długość odcinka DF którą oznaczono jako x. Udowodniliśmy przed chwilą że trójkąt AFE jest podobny do trójkąta BFD, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć długość poszukiwanego odcinka DF bez jego mierzenia. Skorzystamy tu z własności, jakie oferuje nam podobieństwo trójkątów. Stosunek długości tego boku do tego boku będzie równy stosunkowi długości boków im odpowiadających. Co to znaczy? Bok odpowiadający, to taki który w drugim trójkącie leży przy tych samych kątach. To znaczy: dla tego boku mamy kąt prosty i kąt zielony. Odpowiadającym mu bokiem będzie ten bok, bo on także leży przy kącie prostym i zielonym kącie więc bokiem odpowiadającym do tego boku będzie ten, bo oba leżą przy zielonym oraz niebieskim kącie. Możemy zatem zapisać, że stosunek długości odcinka EF, czyli 2,6, do długości odcinka AF o długości 3,9, jest równy stosunkowi długości odcinka DF, czyli x, do długości odcinka BF która wynosi 3. Zatrzymaj teraz film, rozwiąż samodzielnie to równanie, a następnie sprawdź swój wynik z moim. Aby rozwiązać takie równanie musimy nasze elementy wymnożyć na krzyż. To da nam: 3,9 x równa się 7,8. Aby wyznaczyć stąd x musimy stronami podzielić przez 3,9 co da nam, że iks jest równy dwóm. Zatem udało nam się bez jakichkolwiek urządzeń mierzących ustalić, że długość odcinka DF to dwa. Mamy teraz trójkąt prostokątny ABC którego bok AB ma długość x a bok AC ma długość y. Wewnątrz tego trójkąta znajduje się kwadrat AFDE o boku długości a. Treść polecenia do tego zadania brzmi: Udowodnij, że długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x i y ma długość x razy y przez x plus y. To znaczy, że dla każdego a zostanie spełnione pokazane tu wyrażenie. Wykorzystamy do tego własności jakie oferuje nam podobieństwo trójkątów. Zobacz, powstały nam tu dwa trójkąty: EDC oraz FBD, i to właśnie ten drugi trójkąt postaramy się opisać tak, aby wykazać że jest on podobny do dużego trójkąta ABC. Wiemy, że miara każdego kąta wewnętrznego w kwadracie ma wartość 90 stopni więc wiemy, że odcinek DF jest nachylony do odcinka AB pod kątem 90 stopni. To pozwala nam stwierdzić, że ten kąt tutaj także ma 90 stopni. Zatem nasz mały trójkąt, podobnie jak ten duży, również jest prostokątny. Zastanówmy się teraz, co wiemy na temat niebieskiego kąta. Jest on wspólny dla małego trójkąta i dla dużego trójkąta. Aby lepiej to zobaczyć, wyjmijmy na chwilę mały trójkąt FBD. Zobacz: w tym miejscu ukrył nam się identyczny niebieski kąt co pozwala nam stwierdzić że nasze dwa trójkąty: mały oraz duży mają dwa kąty o tej samej mierze: niebieski oraz kąt prosty. Schowajmy już nasz mały trójkąt. Skoro znamy miary dwóch z trzech kątów w naszych trójkątach i miary tych kątów się pokrywają, to zaznaczone na różowo kąty mają identyczne miary, a skoro miary kątów w obu trójkątach są identyczne, to możemy stwierdzić, że trójkąt ABC jest podobny do małego trójkąta FBD na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro udowodniliśmy, że te trójkąty są podobne to ułóżmy teraz odpowiednią proporcję. Na początku opiszmy duży trójkąt. Znamy tu długości poziomego oraz pionowego boku, zatem wykorzystajmy je i będzie to wyglądać następująco: stosunek długości boku pionowego, czyli y do długości boku poziomego, czyli x. Aby zapisać odpowiednie równanie, musimy znaleźć boki odpowiadające do tego oraz tego. Widzimy, że bok pionowy leży przy różowym kącie oraz kącie prostym zatem w małym trójkącie odpowiada mu odcinek DF, a widzimy, że ten odcinek ma długość a. Natomiast poziomemu odcinkowi będzie odpowiadał bok, który leży przy kącie prostym i niebieskim kącie. Widzimy że jest to odcinek FB, którego długość opiszemy jako x, czyli długość całego boku AB bez tego odcinka AF, czyli x minus a. Zapisaną proporcję możemy zobaczyć tutaj. Przypomnę, że poszukujemy tego wyrażenia zaznaczonego na żółto, zatem z wyznaczonej przed chwilą proporcji musimy wyznaczyć a. Zatrzymaj teraz film i wyznacz samodzielnie szukaną niewiadomą, a następnie sprawdź swój wynik z moim. Zacznijmy od wymnożenia wszystkich elementów na krzyż. Otrzymamy: a razy x, czyli ax, równa się x razy y da nam xy, minus a razy y da nam minus ay. Skoro poszukujemy a, to przerzućmy ay na drugą stronę, aby mieć wszystkie wyrażenia zawierające a, po jednej stronie. Otrzymamy: ax plus ay równa się xy. Widzimy że a pojawia się zarówno w wyrażeniu ax, jak i ay, zatem możemy wyłączyć je przed nawias, co da nam: a razy x plus y, a prawa strona pozostaje bez zmian. Aby wyznaczyć a, musimy pozbyć się tego wyrażenia. Aby to zrobić, musimy podzielić stronami przez x plus y, da nam to, że a równa się xy przez x plus y, czego należało dowieść. Po udowodnieniu jednej z cech podobieństwa trójkątów: kąt-kąt-kąt, bok-kąt-bok lub bok-bok-bok, jesteśmy w stanie uzupełnić brakujące informacje na temat drugiej figury podobnej. Zachęcam cię do obejrzenia kolejnych lekcji dotyczących podobieństwa trójkątów oraz do zasubskrybowania naszego kanału.