Dowody matematyczne - rachunek kątów (część 1)

Jednym z najwybitniejszych matematyków był żyjący w starożytnej Grecji Euklides z Aleksandrii. W księdze, którą nazwano Elementami spisał podstawowe pojęcia oraz twierdzenia matematyczne wraz z dowodami. Elementy były podstawowym podręcznikiem geometrii aż do XIX wieku. Zadanie, z którym zmierzymy się na początku lekcji brzmi następująco: oblicz miarę kąta ABC. Myślę, że jesteś w stanie samodzielnie rozwiązać to zadanie. Mam jeszcze dla ciebie pewną wskazówkę. Znajdź na tej ilustracji kąt ABC oraz poszukaj tutaj kątów przyległych i wierzchołkowych. Najpierw znajdę kąt ABC. Tutaj mam wierzchołek A, tutaj wierzchołek B, a tutaj wierzchołek C. Kąt ABC znajduje się w tym miejscu. Naszym zadaniem jest obliczenie miary tego kąta. Zwróć uwagę, że ten kąt znajduje się wewnątrz tego trójkąta. Gdybyśmy tylko znali miary tych dwóch kątów, moglibyśmy skorzystać z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni i wtedy obliczyć miarę tego kąta. Wiemy, że ten kąt ma 100 stopni. Widzimy jeszcze, że te dwa kąty powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych. Są to więc kąty wierzchołkowe. Co za tym idzie? Ten kąt ma 100 stopni. Teraz obliczymy miarę tego kąta. Wiemy, że ten kąt ma 130 stopni. Ten kąt, który ma 130 stopni i ten kąt, którego miary szukamy razem tworzą kąt półpełny, czyli taki, który ma 180 stopni. Aby znaleźć miarę tego kąta, wystarczy od 180 stopni odjąć 130 stopni. 180 stopni odjąć 130 stopni to 50 stopni. Znamy miary dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta. Czy jesteśmy w stanie zatem obliczyć miarę trzeciego kąta wewnętrznego w trójkącie? Tak. Aby to zrobić, wystarczy od 180 stopni odjąć miary dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta. Od 180 stopni odejmujemy zatem 100 stopni i 50 stopni, otrzymując 30 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Obliczyliśmy miarę kąta ABC. Miara kąta ABC wynosi 30 stopni. To, co zrobiliśmy do tej pory moglibyśmy ubrać w nieco inną formę zadania. Spójrz na takie polecenie: Uzasadnij, że kąt ABC ma 30 stopni. Zamiast słowa „uzasadnij” można by też użyć słowa „udowodnij”. Taki typ zadań nazywamy zadaniami dowodowymi. Zwróć uwagę, że tutaj mamy udowodnić to co przed chwilą obliczaliśmy. Naszym zadaniem było obliczenie miary kąta ABC. Te obliczenia wykonywaliśmy na rysunku. Moglibyśmy też wykonać te obliczenia w pamięci. Gdy mamy z kolei coś uzasadnić albo udowodnić, musimy krok po kroku podawać, co obliczamy i dlaczego taki jest wynik. Nie ma co się bać zadań dowodowych! W mojej opinii są one łatwiejsze, niż zadania obliczeniowe, ponieważ znamy już wynik. W tym przypadku wiemy, że kąt ABC ma 30 stopni. To mamy uzasadnić. Gdy mieliśmy obliczyć miarę kąta ABC, nie znaliśmy wyniku. Po wykonaniu obliczeń dowiedzieliśmy się, że miara kąta ABC wynosi 30 stopni. Z kolei w zadaniu dowodowym znamy wynik od początku. Możemy o nim myśleć jak o odpowiedzi z tyłu książki. Wiemy, ile ma nam wyjść, czyli możemy kontrolować, czy dobrze rozwiązaliśmy zadanie. Nie możemy jednak w rozwiązaniu użyć tego wyniku. Musimy do niego dojść korzystając z danych podanych w zadaniu. Pokażę ci teraz, jak udowodnić, że miara tego kąta wynosi 30 stopni. To polega na niczym innym, jak na opisaniu krok po kroku obliczeń, które wykonaliśmy tutaj. Co najpierw obliczyliśmy? Najpierw obliczyliśmy miarę tego kąta. Skorzystaliśmy z tego, że te dwa kąty są wierzchołkowe. W pierwszym kroku obliczyliśmy miarę kąta ACB, która wynosi 100 stopni, ponieważ mamy do czynienia z kątami wierzchołkowymi. W taki właśnie sposób podchodzimy do zadań dowodowych. Opisujemy krok po kroku, co obliczamy i dlaczego tak jest. W jaki sposób moglibyśmy inaczej wytłumaczyć, że miara tego kąta to 100 stopni? Te dwa kąty są wierzchołkowe, dlatego miara tego kąta to 100 stopni. To zapisaliśmy właśnie w kroku pierwszym. Następnie obliczyliśmy miarę tego kąta, odejmując od 180 stopni miarę tego kąta, czyli 130 stopni. Otrzymaliśmy 50 stopni. A dlaczego od 180 stopni odjęliśmy 130 stopni? Ponieważ te dwa kąty to kąty przyległe. Jak to zapisać? Na przykład tak. W kroku drugim obliczaliśmy miarę kąta CAB, odejmując od 180 stopni 130 stopni, otrzymując 50 stopni. Do obliczenia miary tego kąta wykorzystaliśmy fakt, że mamy do czynienia z kątami przyległymi. Zwróć uwagę, że znamy miary dwóch kątów wewnętrznych w trójkącie. Aby obliczyć miarę trzeciego kąta w trójkącie, wystarczy od 180 stopni odjąć miary tych dwóch kątów. W tym przypadku gdy od 180 stopni odejmiemy 100 stopni i 50 stopni otrzymamy właśnie 30 stopni, czyli to, co mieliśmy udowodnić. Zapisujemy zatem, że w trzecim kroku obliczamy miarę kąta ABC odejmując od 180 stopni 100 stopni i 50 stopni, otrzymując 30 stopni. To jeszcze nie wszystko. Musimy zapisać, z jakich własności i z jakich informacji korzystaliśmy. Skorzystaliśmy z tego, że wiemy, ile wynosi suma kątów w trójkącie ABC. Ona wynosi 180 stopni, tak jak w każdym trójkącie. Skorzystaliśmy jeszcze z wiedzy, która jest zawarta w punktach pierwszym i drugim. Kolejne wnioski warto numerować właśnie po to, by później łatwo było się do nich odnosić. Tak jak w języku polskim, kończąc każde zdanie oznajmujące zapisujemy kropkę, tak każdy dowód matematyczny kończymy, rysując na końcu kwadracik. To nie jedyny sposób. Można też skorzystać z takiego zapisu: co należało udowodnić. Ja akurat wybieram kwadracik, ponieważ zapisanie tego symbolu jest po prostu szybsze. Chciałbym się podzielić z tobą pewnym wnioskiem. Nie da się nauczyć dowodzenia twierdzeń, czy też różnych własności tylko na jednym przykładzie. tak jak nie da się zapamiętać wiersza po jednym przeczytaniu. (no, chyba, że jest się geniuszem). Z udowadnianiem spotykamy się w każdym dziale matematyki. Bądź cierpliwy i kombinuj. Wierzę, że z naszymi filmami będzie to dla ciebie łatwiejsze i przyjemniejsze. Przejdziemy sobie teraz razem przez drugie zadanie. Jego treść brzmi następująco: Proste a i b są równoległe. Uzasadnij, że proste c i d są prostopadłe. Skupiamy się na tym, co mamy udowodnić. Proste c i d są prostopadłe. Poszukajmy najpierw prostych c i d. Tutaj jest prosta c, a tutaj jest prosta d. Co to znaczy, że proste c i d są prostopadłe? To znaczy, że przecinają się pod kątem prostym. Mamy zatem uzasadnić, że w tym miejscu jest kąt prosty albo, że w tym miejscu jest kąt prosty albo, że w tym miejscu jest kąt prosty albo, że tutaj jest kąt prosty. Mamy zatem udowodnić, że któryś z tych czterech kątów jest kątem prostym. A co wiemy o tym zadaniu? Z treści zadania wiemy, że proste a i b są równoległe. To jest prosta a. To jest prosta b. Znamy miary dwóch kątów. Ten kąt ma 27 stopni a ten kąt ma 63 stopnie. Zastanówmy się, jak podejść do tego zadania. Patrząc na tę ilustrację możemy znaleźć dwa trójkąty. To jest pierwszy trójkąt a to jest to drugi trójkąt. Skupmy się na jednym z nich, na przykład na tym większym. Mamy uzasadnić, że ten kąt wewnętrzny w tym trójkącie ma 90 stopni. Gdybyśmy znali miary tych dwóch kątów wewnętrznych w trójkącie, to moglibyśmy bardzo łatwo uzasadnić, że ten kąt ma właśnie 90 stopni. Przyszła pora na zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie pogłówkować czy istnieje sposób na znalezienie miar tych dwóch kątów. Zobacz: Ta prosta jest przecięta drugą prostą. Tutaj mamy 63 stopnie. Oznacza to, że ten kąt i ten kąt to kąty wierzchołkowe. Tutaj mamy zatem również 63 stopnie. Pamiętaj, że to zadanie dowodowe. Musimy opisywać wszystkie kroki i uzasadniać, dlaczego tak jest. Pierwszą rzeczą, którą obliczyliśmy To miara kąta PBC. To jest kąt PBC. Miara tego kąta to 63 stopnie, ponieważ mamy do czynienia z kątami wierzchołkowymi. Do tej pory wykorzystaliśmy wiedzę, że miara tego kąta to 63 stopnie. Mam jeszcze tutaj podaną miarę tego kąta. Wynosi ona 27 stopni. Chcemy znaleźć miarę tego kąta. Zwróć uwagę, że te dwa kąty to kąty odpowiadające. Dlaczego? Zobacz: z treści zadania wiemy, że proste a oraz b są równoległe. Te dwie proste przecina trzecia prosta. Oznacza to, że te dwa kąty są kątami odpowiadającymi. Mają taką samą miarę. Tutaj mamy 27 stopni. Do obliczenia miary tego kąta wykorzystaliśmy fakt, że mamy do czynienia z kątami odpowiadającymi ponieważ proste a oraz b są równoległe i są przecięte przez trzecią prostą. Czy jesteśmy teraz w stanie uzasadnić, że miara kąta CPB, czyli tego kąta, wynosi 90 stopni? Tak jest! Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. Jeżeli od 180 stopni odejmiemy 63 stopnie i 27 stopni, to otrzymamy 90 stopni. W trzecim kroku uzasadniamy zatem, że miara kąta CPB to 180 stopni odjąć 63 stopnie odjąć 27 stopni, czyli 90 stopni. Wykorzystaliśmy wiedzę o sumie kątów w trójkącie PBC, która wynosi 180 stopni oraz wiedzę z punktów pierwszego i drugiego. Co za tym wszystkim idzie? Uzasadniliśmy, że proste c oraz d są prostopadłe. Wynika to z punktu trzeciego, ponieważ pokazaliśmy, że te proste przecinają się pod kątem prostym. Uzasadniliśmy, że w tym miejscu znajduje się kąt prosty. Jak kończymy dowód? Rysując na końcu kwadracik. Zakończyliśmy nasz dowód. Gratulacje! Rozwiązując zadania na dowodzenie należy pamiętać o tym, aby opisywać swoje rozważania krok po kroku, a wszystkie wnioski uzasadniać. Ten dział dotyczy udowadniania twierdzeń geometrycznych. Jeśli interesują cię inne działy matematyki znajdziesz je na stronie internetowej pistacja.tv