Dowody matematyczne - przystawanie figur (część 1)

Film pod tytułem Dowód opowiada o córce wybitnego matematyka która rezygnuje ze studiów aby opiekować się chorym psychicznie ojcem. Po jego śmierci dziewczyna ujawnia istnienie przełomowego dowodu. Twierdzi przy tym, że to ona jest jego autorką. Może znasz jakieś inne filmy o matematykach? Napisz w komentarzu. Bardzo ważnym narzędziem używanym w zadaniach na dowodzenie są cechy przystawania trójkątów. Właśnie z nich będziemy korzystać w tej lekcji. Proste k i m są równoległe a punkt C jest środkiem odcinka DB. Uzasadnij, że długość odcinka AC jest taka sama, jak długość odcinka CE. Z treści zadania wiemy że proste k oraz m są równoległe. Zwróć uwagę, że te dwie proste równoległe przecinają dwie inne proste. Z treści zadania wiemy również, że punkt C jest środkiem odcinka DB. Punkt C znajduje się tutaj. Odcinek DB tutaj. Wiemy zatem z treści zadania, że odcinek DC ma taką samą długość, jak odcinek CB. Skoro mamy do czynienia z zadaniem dowodowym musimy zapisywać wszystkie wnioski. Zapisujemy zatem, że długość odcinka DC jest taka sama, jak długość odcinka CB. Wiemy to z treści zadania. Mamy udowodnić, że długość odcinka AC jest taka sama, jak długość odcinka CE. Zwróć uwagę, że na tym rysunku znajdują się tutaj dwa trójkąty. Gdybyśmy tylko pokazali że to są dwa identyczne trójkąty moglibyśmy wyciągnąć z tego wniosek że długość odcinka AC jest taka sama jak długość odcinka CE. Zbadajmy zatem bliżej te dwa trójkąty. Czy mają one jakieś identyczne kąty? Ano, mają. Zwróć uwagę, że te dwie proste się przecinają. W wyniku przecięcia dwóch prostych powstają kąty wierzchołkowe. Kątami wierzchołkowymi są na przykład kąt ACB, czyli ten kąt oraz kąt DCE, czyli ten kąt. Skoro to są kąty wierzchołkowe to mają one identyczną miarę. Miara kąta ACB jest taka sama jak miara kąta DCE bo są to kąty wierzchołkowe. Jeszcze raz przypomnę, że chcemy pokazać że te dwa trójkąty są identyczne. Dwa identyczne trójkąty nazywamy przystającymi. Czy pamiętasz, jakie są cechy przystawania trójkątów? Jedną z nich jest kąt-bok-kąt. Dlaczego akurat wybrałem tę cechę? Patrząc na ten rysunek widzę że ten bok w tym trójkącie jest taki sam jak ten bok w tym trójkącie. Mamy zatem po jednym identycznym boku w obu trójkątach. Wiemy jeszcze, że kąty przy bokach o takiej samej długości są identyczne. Jeżeli uzasadnimy, że te dwa kąty są identyczne będziemy mogli skorzystać z cechy kąt-bok-kąt która uzasadnia, że te dwa trójkąty są przystające, czyli identyczne. Skoro te dwie proste są równoległe i te dwie proste przecina ta prosta to oznacza, że te dwa kąty są identyczne. Będąc bardziej precyzyjnym możemy powiedzieć że to są kąty naprzemianległe. Zapisujemy zatem, że miara kąta ABC czyli tego kąta, który jest tutaj jest taka sama jak miara kąta CDE czyli kąta, który znajduje się tutaj. Zapisujemy jeszcze, że to są kąty naprzemianległe które powstały w wyniku przecięcia prostych równoległych k oraz m inną prostą. Skoro kąty znajdujące się w dwóch trójkątach przy bokach, które mają taką samą długość są identyczne, to mamy do czynienia z cechą kąt-bok-kąt. Na mocy tej cechy wiemy, że trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEC. Trójkąty przystające to inaczej trójkąty, które są identyczne. To oznacza, że boki, które znajdują się naprzeciw kąta zielonego są takie same. Mają taką samą długość. To oznacza, że odcinek AC ma taką samą długość, jak odcinek CE. Zapisujemy zatem, że stąd wynika że długość odcinka AC jest taka sama jak długość odcinka CE. To właśnie mieliśmy uzasadnić. Kończymy nasz dowód rysując na końcu kwadracik. Teraz zajmiemy się takim zadaniem. Uzasadnij, że jeśli wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki to trójkąt jest równoramienny. W przypadku dowód nie obejdzie się bez rysunku. Od czego zatem zaczniemy? Od narysowania podstawy. Rysujemy zatem odcinek AB. To będzie nasza podstawa. Mamy uzasadnić, że jeśli wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki to trójkąt jest równoramienny. Rysujemy zatem odcinek który będzie wysokością trójkąta i rysujemy go tak, aby podzielił podstawę czyli odcinek AB, na dwa równe odcinki. Zobacz: na rysunku pojawił się odcinek CD. Jest on prostopadły do odcinka AB. Odcinek, który będzie wysokością naszego trójkąta dzieli podstawę AB na 2 jednakowe odcinki. Zaznaczamy to w taki sposób. W tym momencie możemy zapisać że długość odcinka AD jest taka sama, jak długość odcinka DB. Zapisaliśmy to w tym miejscu. Wiemy to z treści zadania. Możemy również zapisać, że kąt ADC czyli kąt, który znajduje się w tym miejscu, ma 90 stopni i to jest taki sam kąt, jak kąt BDC czyli ten kąt, który jest tutaj. A skąd to wiemy? Odcinek CD jest wysokością. Tak było podane w treści zadania. Aby otrzymać trójkąt, którego wysokość dzieli podstawę na 2 jednakowe odcinki wystarczy narysować odcinki CB oraz CA. Mamy uzasadnić, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym. Jeżeli pokażemy, że długość odcinka AC jest taka sama jak długość odcinka CB to pokażemy, że to jest trójkąt równoramienny. Jak to zrobić? Czy masz jakiś pomysł? Zauważ, że odcinek CD dzieli trójkąt ABC na 2 trójkąty. Pierwszy trójkąt to ADC. Drugi trójkąt to DBC. Co możemy powiedzieć o tych dwóch trójkątach? Te boki są identyczne. Te dwa trójkąty mają również jeden wspólny bok który jest zarazem wysokością trójkąta ABC. To bardzo ważna informacja, zapiszmy ją. Odcinek CD to wspólny bok trójkątów ADC i DBC. Zobacz, zebraliśmy pewien zestaw informacji. Czy na jego podstawie jesteśmy w stanie stwierdzić że trójkąt ADC jest taki sam jak trójkąt DBC? Jak myślisz? Mamy tutaj do czynienia z jedną z cech przystawania trójkątów mianowicie z cechą bok-kąt-bok. Trójkąty ADC oraz DBC mają po 2 identyczne boki oraz kąt między tymi bokami jest identyczny. Na mocy cechy bok-kąt-bok możemy powiedzieć że te dwa trójkąty są przystające czyli, że są identyczne. Zapisujemy zatem, że trójkąt ADC jest przystający do trójkąta DBC na mocy cechy bok-kąt-bok. Co za tym idzie? Skoro te dwa trójkąty są identyczne to długość boku AC jest taka sama jak długość boku BC. Zapiszmy jeszcze ten wniosek. Długość odcinka AC jest taka sama jak długość odcinka BC bo trójkąty ADC i DBC są przystające. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości jest trójkątem równoramiennym. To właśnie mieliśmy udowodnić. Skoro dowód jest zakończony na końcu rysujemy kwadracik. Gratulacje! Bardzo ważnym narzędziem w rozwiązywaniu zadań dowodowych są cechy przystawania trójkątów. Mamy 3 takie cechy. Używamy ich na przykład do uzasadniania równości dwóch odcinków. Pamiętaj o powołaniu się na odpowiednią cechę oraz uzasadnieniu równości odpowiednich boków i kątów. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do odwiedzenia naszej strony internetowej: pistacja.tv