Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.
  • jak korzystać ze wzoru na różnicę sześcianów,
  • jak udowodnić prawdziwość wzoru na różnicę sześcianów,
  • jak przekształcać wyrażenia korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Widzisz tu 2 sześciany. Masz 5 sekund, żeby wymienić trzy szczegóły, którymi się różnią. Są to na przykład wielkość, kolor i położenie na ekranie. W tej lekcji nauczę Cię obliczać różnicę sześcianów rozmaitych liczb. W tej lekcji zajmiemy się wzorem na różnicę sześcianów i dowiemy się jak z niego korzystać. Wygląda on tak: a do sześcianu odjąć b do sześcianu równa się w nawiasie a odjąć b zamykamy nawias, razy w nawiasie a do kwadratu dodać a razy b dodać b do kwadratu. Czy potrafisz udowodnić że ten wzór jest prawdziwy? Żeby to zrobić należy przekształcić prawą stronę równania tak aby otrzymać to co jest po lewej stronie. Wystarczy zatem pomnożyć oba nawiasy mnożąc każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego nawiasu. a razy a do kwadratu to a do sześcianu. a razy ab to a do kwadratu b. a razy b kwadratu to ab do kwadratu. minus b razy a do kwadratu to minus ba do kwadratu. minus b razy ab to minus ab do kwadratu. minus b razy b do kwadratu to minus b do sześcianu. Te dwa elementy się wyzerują i te dwa elementy też się wyzerują. Po uproszczeniu otrzymujemy a do sześcianu odjąć b do sześcianu. Udowodniliśmy, że prawa strona wzoru jest równa lewej więc wzór jest prawdziwy. Poćwiczmy sobie teraz stosowanie tego wzoru. Polecenie brzmi następująco. Przekształć poniższe wyrażenie korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. Wyrażenie o którym mowa to 64 odjąć y do sześcianu. Porównajmy to z poznanym wzorem. Zarówno odjemna jak i odjemnik są zapisane w postaci trzeciej potęgi. W naszym przykładzie tylko y ma trzecią potęgę. Co zatem zrobić z liczbą 64? Czy da się ją zapisać w postaci trzeciej potęgi? Tak, bo 64 to 4 do potęgi trzeciej. 64 odjąć y do sześcianu to inaczej 4 do sześcianu odjąć y do sześcianu. Teraz możemy zastosować poznany wzór. W miejsce litery a wstawiamy 4 a w miejsce litery b, y. Otrzymamy w nawiasie 4 odjąć y zamykamy nawias, razy w nawiasie 4 do kwadratu dodać 4 razy y dodać y do kwadratu, zamykamy nawias. 4 do kwadratu to 16 więc mamy w nawiasie, 4 odjąć y, zamykamy nawias razy w nawiasie, 16 dodać 4y dodać y do kwadratu, zamykamy nawias. Gotowe. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Mamy tutaj x do sześcianu odjąć 1000. Spróbuj samodzielnie przekształć tę różnicę, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. Najpierw sprawdzamy, czy mamy tutaj różnicę trzecich potęg. x jest oczywiście podniesione do potęgi trzeciej, ale 1000 już nie. Należy zatem zapisać liczbę 1000 w postaci trzeciej potęgi. 1000 to 10 do potęgi trzeciej. Otrzymujemy zatem x do sześcianu odjąć 10 do sześcianu. Dopiero teraz możemy skorzystać ze wzoru. W miejsce litery a wstawiamy x a w miejsce litery b, 10. Dostajemy w nawiasie x odjąć 10, zamykamy nawias razy w nawiasie, x do kwadratu dodać 10x dodać 10 do kwadratu, czyli 100 zamykamy nawias. To jest nasz wynik. Gratulacje. To teraz ostatni przykład. 27a do sześcianu odjąć 125x do sześcianu. Czy możemy od razu skorzystać ze wzoru? Nie możemy. Niech Cię nie zwodzą trzecie potęgi. Występują one tylko przy literach a oraz x. Do trzeciej potęgi ma być zaś zapisana cała odjemna i cały odjemnik. Spróbuj samodzielnie zamienić 27a do sześcianu i 125x do sześcianu na trzecie potęgi. 27 to 3 do sześcianu. 3 do sześcianu razy a do sześcianu to 3a do sześcianu. 125 to 5 do sześcianu. 5 do sześcianu razy x do sześcianu to 5x do sześcianu. Ta różnica wynosi zatem w nawiasie 3a zamykamy nawias, do sześcianu odjąć w nawiasie 5x, zamykamy nawias do sześcianu. Teraz możemy skorzystać ze wzoru. W miejsce litery a wstawiamy 3a a w miejsce litery b, wstawiamy 5x. Spróbuj przekształcić to samodzielnie. Otrzymujemy w nawiasie 3a odjąć 5x zamykamy nawias, razy w nawiasie 3a do kwadratu dodać 3a razy 5x dodać 5x do kwadratu, zamykamy nawias. Przepiszmy pierwszy nawias. Kwadrat iloczynu 3a to 9a do kwadratu 3a razy 5x to 15ax kwadrat iloczynu 5x, to 25x do kwadratu zamykamy nawias. To jest nasza odpowiedź. Gratulacje. Dzięki poznanemu wzorowi będziesz w stanie w szybki sposób przekształcić różnicę sześcianu na iloczyn dwóch wyrażeń algebraicznych. Umiejętność tę zastosujesz między innymi w rozwiązywaniu równań i w zadaniach dowodowych. Ten dział dotyczy sześcianów w wyrażeniach algebraicznych. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Zofia Borysiewicz

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

croisy (CC0)
Humusak (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg