Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wygląda wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy,
  • jak korzystać ze wzoru na sześcian sumy,
  • jak udowodnić prawdziwość wzoru na sześcian sumy,
  • jak przekształcać wyrażenia korzystając ze wzoru na sześcian sumy.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

W tej lekcji będziemy się uczyli wzoru na sześcian sumy. Ale czy wiesz, że taki wzór można uzyskać również graficznie? Czyli jakby poskładać go z klocków. Niektórym łatwiej jest wyobrazić sobie klocki niż literki. Wybór metody należy do Ciebie. Tę lekcję zaczniemy od przypomnienia wzoru na kwadrat sumy. Wygląda on tak. W nawiasie a plus b, zamykamy nawias do kwadratu równa się a do kwadratu dodać 2 razy a razy b dodać b do kwadratu. Czy pamiętasz do czego przydaje się ten wzór? Dzięki niemu możemy sprawnie obliczyć ile to jest 101 do kwadratu bez korzystania z kalkulatora oraz mnożenia pisemnego. 101 do kwadratu to inaczej w nawiasie 100 dodać 1, zamykamy nawias do kwadratu. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy otrzymujemy: 100 do kwadratu dodać 2 razy 100 razy 1 dodać 1 do kwadratu czyli 10201. Istnieje wzór, który w podobny sposób pozwala sprawnie obliczyć ile to jest 101 do potęgi trzeciej. Pokażę Ci jak stworzyć ten wzór. Weźmy dwie dowolne liczby. Oznaczmy je literami a oraz b. Ich suma to a plus b i tę sumę podnosimy do sześcianu. a plus b do sześcianu to inaczej w nawiasie a plus b, zamykamy nawias razy w nawiasie a plus b, zamykamy nawias do kwadratu. Wiemy, że a plus b do kwadratu to a do kwadratu dodać 2 razy a razy b dodać b do kwadratu. Więc ten czynnik zamieniamy na a do kwadratu dodać 2ab dodać b do kwadratu. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Pomnóż te dwa nawiasy. Spróbuj uprościć otrzymane wyrażenie. Do dzieła. a razy a do kwadratu, to a do sześcianu. a razy 2ab, to 2a do kwadratu b. a razy b do kwadratu, to ab do kwadratu. b razy a do kwadratu, to ba do kwadratu. b razy 2ab, to 2ab do kwadratu. b razy b do kwadratu, to b do sześcianu. 2a do kwadratu b, dodać a do kwadratu b to 3a do kwadratu b. ab do kwadratu dodać 2ab do kwadratu to 3ab do kwadratu. Otrzymujemy zatem a do sześcianu dodać 3a do kwadratu razy b dodać 3a razy b do kwadratu dodać b do sześcianu. Jak wykorzystać ten wzór do sprytnego obliczenia, ile to jest 101 do sześcianu? Masz jakiś pomysł? Zapiszmy najpierw liczbę 101 jako sumę dwóch liczb których sześciany łatwo obliczyć. 101 to inaczej 100 dodać 1. Podnosimy zatem do sześcianu sumę 100 dodać 1. W tym wzorze w miejsce litery a wstawimy więc 100, a w miejsce litery b 1. Otrzymujemy 100 do sześcianu dodać 3 razy 100 do kwadratu razy 1 dodać 3 razy 100 razy 1 do kwadratu dodać 1 do sześcianu. 100 do sześcianu to 1 000 000. 3 razy 100 do kwadratu to 30 000 a to pomnożone przez 1 daje to samo. 3 razy 100 razy 1 do kwadratu to 300 a 1 do sześcianu to 1. Mamy więc 1 000 000 dodać 30 000 dodać 300 dodać 1 czyli 1 030 301 Teraz przećwiczymy korzystanie z poznanego wzoru. Mamy w nawiasie 2 dodać x do sześcianu. Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian w postaci sumy algebraicznej. Innymi słowy, skorzystaj z poznanego przed chwilą wzoru. W tym wzorze w miejsce litery a wstawiamy 2 a w miejsce litery b wstawiamy x. Otrzymamy 2 do sześcianu dodać 3 razy 2 do kwadratu razy x dodać 3 razy 2 razy x do kwadratu dodać x do sześcianu. 2 do sześcianu to 8. 3 razy 2 do kwadratu razy x to 12x. 3 razy 2 razy x do kwadratu to 6x do kwadratu. x do sześcianu przepisujemy. Gotowe. Przejdźmy do kolejnego przykładu. W nawiasie mamy 4a dodać 5 i tę sumę podnosimy do sześcianu. Zapiszmy to wyrażenie w postaci sumy algebraicznej. Zobacz, pierwszy element nawiasu jest co prawda iloczynem dwóch czynników ale w naszym wyrażeniu ten iloczyn traktujemy jako jeden element. We wzorze na sześcian sumy w miejsce litery a wstawiamy zatem 4a. Widzisz zapewne, że mamy zbieżność literek. To nic takiego. Czasami tak się zdarza. a we wzorze oznacza po prostu pierwszy element nawiasu, a b drugi. Wzór jest ogólny. W naszym konkretnym przykładzie pierwszym elementem jest wyrażenie 4a a drugim 5. Po wstawieniu w miejsce litery a jednomianu 4a, otrzymamy 4a do sześcianu. 4a jest w nawiasie, bo do sześcianu podnosimy cały element. Pamiętaj o tym. Do tego dodajemy 3 razy w nawiasie 4a do kwadratu, razy 5. Do tego dodajemy 3 razy 4a razy 5 do kwadratu i do tego jeszcze 5 do sześcianu. Spróbuj samodzielnie uprościć to wyrażenie. Podnosząc iloczyn dwóch czynników do sześcianu podnosimy każdy z nich do sześcianu. Otrzymujemy 64a do sześcianu. 4a do kwadratu to 16a kwadrat a ten element razy 3 i razy 5 daje 240a kwadrat. Idąc dalej mamy 3 razy 4a razy 5 do kwadratu, czyli 300a i do tego dodajemy jeszcze 5 do sześcianu, czyli 125. Oto nasza suma algebraiczna. Rozpracujmy kolejne wyrażenie. Sześcian sumy. Pierwiastek z siedmiu dodać 6. Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian w postaci sumy algebraicznej. Najpierw pierwszy element podnosimy do sześcianu. Do tego dodajemy 3 razy pierwszy element do kwadratu czyli pierwiastek z siedmiu do kwadratu i to mnożymy jeszcze przez 6. Do tego dodajemy 3 razy pierwszy element czyli pierwiastek z siedmiu i to mnożymy przez kwadrat drugiego elementu czyli przez kwadrat szóstki. Do wszystkiego dodajemy sześcian drugiego elementu z nawiasu. Uprość samodzielnie to wyrażenie. Pierwiastek z siedmiu do sześcianu to pierwiastek z siedmiu razy pierwiastek z siedmiu razy pierwiastek z siedmiu a iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych z siedmiu to 7. Pierwiastek z siedmiu do sześcianu to 7 pierwiastków z siedmiu. Dalej mamy 3 razy pierwiastek z siedmiu do kwadratu razy 6 czyli 3 razy 7 razy 6 a to wynosi 126. Dalej mamy 3 razy pierwiastek z siedmiu razy 6 do kwadratu czyli 3 razy pierwiastek z siedmiu razy 36 a to wynosi 108 pierwiastków z siedmiu. Do tego dodajemy 6 do sześcianu czyli 216. 7 pierwiastków z siedmiu dodać 108 pierwiastków z siedmiu to 115 pierwiastków z siedmiu. 126 dodać 216, to 342. Nasz wynik to 115 pierwiastków z siedmiu dodać 342. Przejdźmy do ostatniego przykładu. Sześcian sumy pierwiastek 3 stopnia z dwóch dodać 4. Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian w postaci sumy algebraicznej. Korzystając ze wzoru na sześcian sumy otrzymujemy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do sześcianu dodać 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch do kwadratu razy 4 dodać 3 razy pierwiastek 3 stopnia z dwóch razy 4 do kwadratu dodać 4 do sześcianu. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 2 dodać 12 pierwiastków trzeciego stopnia z czterech dodać 48 pierwiastków trzeciego stopnia z dwóch dodać 64. Po uproszczeniu mamy 66 dodać 12 pierwiastków trzeciego stopnia z czterech dodać 48 pierwiastków trzeciego stopnia z dwóch. Wzór z tego filmu jest przydatny do szybkiego obliczania i wyrażenia w uporządkowanej postaci wszystkich wyrażeń typu sześcian sumy algebraicznej. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Zofia Borysiewicz

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Vimeo-Free-Videos (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg