Potężne mocarstwo, potęga żywiołu,... słowo "potęga" kojarzy się z czymś ogromnym bezkresnym, mocarnym. Także w matematyce. Liczby 2 i 10 przy dodawaniu dają 12. Przy mnożeniu: 20, ale 2 do potęgi dziesiątej to więcej niż 1000, a gdy do dziesiątki dopiszemy 0, otrzymamy liczbę której przeczytanie nawet matematykowi sprawi problem. Jeśli jednak obejrzysz nasz film do końca zobaczysz, że potęgowanie może dać zupełnie odwrotny efekt. Od czego to zależy? Sprawdź z nami. Zacznijmy od znanej nam już dwójki i przyjrzyjmy się, jak rośnie wartość wyników jej potęgowania, kiedy będziemy zwiększać wykładnik potęgi. Dwa do potęgi pierwszej to 2. Dwa do potęgi drugiej: 4. Dwa do potęgi trzeciej: 8 a 2 do potęgi czwartej: 16. Co zauważasz? Im większa liczba w wykładniku tym większy wynik, czyli wartość potęgi. Gdy wykładnik przy dwójce wzrasta o 1 wynik rośnie dwukrotnie. Dlaczego dwukrotnie? Bo podstawą naszej potęgi jest 2. Dwa do potęgi drugiej to dwa razy dwa a dwa do potęgi trzeciej to 2 razy 2 razy 2. Zwiększyć wykładnik o 1 to to samo co pomnożyć naszą liczbę przez 2 więc i wynik jest 2 razy większy. Dwa do potęgi czwartej to to samo co 2 do potęgi trzeciej razy... jeszcze raz 2. Taki wzrost wartości matematycy nazywają wykładniczym, bo zależy od wykładnika potęgi. Jeśli więc jakaś wartość, na przykład bałagan w twoim pokoju, z dnia na dzień się podwaja możesz zwalić to na wzrost wykładniczy. Teraz weźmy inną liczbę. Niech to będzie 3. Jak rośnie wartość kolejnych potęg tej liczby? W tym przypadku każdorazowy wzrost wykładnika o 1 powoduje, że wynik wzrasta trzykrotnie. Zobacz: 3 do potęgi drugiej to 3 razy 3 3 do potęgi trzeciej to 3 razy 3 razy 3 i tak dalej, bo każdorazowo w mnożeniu mamy o jedną trójkę więcej. Co byśmy otrzymali przy podnoszeniu do kolejnych potęg liczby 10? Tak, każdorazowy wzrost wykładnika potęgi o 1 dawałby dziesięciokrotnie większą wartość potęgi. Zobacz teraz, jak zachowują się wyniki gdy potęgujemy ułamek, na przykład liczbę 1/2. 1/2 do potęgi pierwszej to 1/2 1/2 do potęgi drugiej to 1/4 1/2 do potęgi trzeciej to 1/8 a 1/2 do potęgi czwartej to 1/16. Ułamki, ułamki i jeszcze więcej ułamków. Przedstawmy je graficznie aby łatwiej nam było porównać wyniki. Widzisz, że dzieje się coś innego. Im większy wykładnik, tym mniejsza wartość. Połowa to więcej niż 1/4, a 1/4 to więcej niż 1/8. Przy każdej kolejnej potędze wynik jest o połowę mniejszy. Kilka potęg więcej i faktycznie potrzebna będzie lupa, żeby dostrzec maleńki fragment koła, który przedstawia wynik. Czy tak dzieje się, bo potęgujemy ułamek? I tak, i nie. Spójrz na jeszcze jeden przykład. Tym razem podnosimy do potęgi liczbę 3/2. Wyniki tego potęgowania też są ułamkami ale są coraz większe. Dokładnie półtora raza większe. Dlaczego? Bo każdorazowo mnożymy wynik przez liczbę 3/2, czyli każdy wynik jest półtora raza większy od poprzedniego. Z tego wynika, że to, jak zmieniają się wyniki potęgowania, zależy od liczby będącej podstawą potęgi. O, tej. Kiedy potęgujemy dwójkę, każdy kolejny wynik jest dwukrotnością poprzedniego. Kiedy potęgujemy 1/2, każdy kolejny wynik jest 1/2, czyli... połową poprzedniego. Jaki więc warunek musi być spełniony aby wyniki rosły? Podstawa potęgi musi być większa od jedynki choćby odrobinę. Już nawet potęgowanie liczby 1 i 1/10 da rosnący efekt, bo każdy następny wynik będzie 1 i 1/10 razy większy od poprzedniego. A kiedy wyniki maleją? Gdy podstawa potęgi jest mniejsza od jedynki. Uwaga: nie bierzemy pod uwagę liczb ujemnych. Ten temat omawiamy w innym filmie. Mnożenie zera też na niewiele się zda bo otrzymamy 0 niezależnie od tego jak potężna byłaby potęga. W tym filmie ograniczamy się do liczb większych od zera. W oparciu o przećwiczone przykłady możemy powiedzieć coś ogólnego o potęgowaniu. Gdy podstawa jest większa od jeden jak 2, czy 3, czy 3/2 potęgi rosną wraz z wykładnikiem. Jeśli wykładnik x jest mniejszy niż y To a do potęgi x jest mniejsze od a do potęgi y. Gdy podstawa jest większa od zera ale mniejsza od jedynki, jak 1/2, czy 1/3 potęgi maleją, gdy wykładnik rośnie czyli jeśli x jest mniejsze od y to a do potęgi x jest większe od a do potęgi y. Tę cechę potęg, to, czy ich wartości rosną czy maleją wraz ze wzrostem wykładnika nazywamy monotonicznością. Dzięki niej możemy szybko porównywać potęgi nawet bez liczenia ich dokładnych wartości. Porównaj: która liczba jest większa 0,9 do potęgi drugiej, czy 0,9 do potęgi czwartej? Jeśli masz tak samo, jak my, brawo. A co z 5/4 do potęgi trzeciej i 5/4 do potęgi 5? Jeśli masz tak samo, jak my, brawo. Potęgi zachowują się różnie w zależności od podstawy. Gdy podstawa jest większa od jedynki wartość potęgi rośnie wraz z wykładnikiem. Gdy jest mniejsza od 1, ale większa od zera wartość potęgi maleje wraz z wykładnikiem. Na dzisiaj to już wszystko. Obejrzyj pozostałe filmy z tej playlisty, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv