Wieczorem jesz kanapkę. Coś Cię rozproszyło, więc odkładasz ją do pudełka i przypominasz sobie o niej dopiero następnego ranka. Wiesz, ile bakterii zdążyło się na niej namnożyć, jeśli nie myjesz rąk przed jedzeniem? W pokojowej temperaturze i przy nieograniczonej dostępności pożywienia, pałeczki okrężnicy - popularne bakterie z kupy - dzielą się czyli mnożą, co 20 minut. Oznacza to, że z pojedynczej bakterii w ciągu 7 godzin może powstać ponad 2 miliony nowych! Na szczęście dla nas, w jelitach te pałeczki podwajają swoją liczbę tylko co 12 godzin. Pewien szczep bakterii w idealnych warunkach podwaja wielkość swojej populacji w ciągu godziny. Zależność między liczbą bakterii powstałych z jednej komórki a czasem możemy przedstawić w tabeli. Popatrz na nią. Żeby powstała kolonia bakterii, na początku czyli dla czasu t0 musimy mieć tę jedną pierwszą bakteryjną komórkę. Po upływie godziny liczba bakterii się podwoi czyli... będziemy mieć dwie bakterie. Po 2 godzinach - cztery. Po kolejnej godzinie - osiem po jeszcze kolejnej godzinie bakterii będzie już 16 a po jeszcze jednej - 32. Może udało ci się zauważyć, że wielkość naszej bakteryjnej populacji opisują liczby które są kolejnymi potęgami liczby 2. Wniosek? Zależność liczby bakterii od czasu wyraża się wzorem 2 do potęgi t. Zapomnijmy o bakteriach i przejdźmy do rozważań matematycznych. Przedstawmy naszą zależność graficznie jednak załóżmy, że dziedziną funkcji nie są liczby naturalne, jak w przypadku bakterii, a zbiór liczb rzeczywistych a naszą funkcję zapiszmy ze zmiennymi x i y. Uzupełnijmy naszą tabelkę o kilka ujemnych iksów i obliczmy dla nich wartości funkcji. Dla x równego -1 mamy Y równa się 2 do potęgi minus pierwszej. Ujemny wykładnik potęgi odwraca nam podstawę potęgi, czyli 2 do minus pierwszej to 1/2 do potęgi pierwszej. Otrzymujemy więc 1/2. Dla x równego -2 Y równa się 2 do potęgi -2. Znów odwracamy podstawę potęgi otrzymując 1/2 do potęgi drugiej co daje nam 1/4. Tak samo liczymy dla x równego= -3 Y równa się wtedy 2 do potęgi -3 czyli 1/2 do potęgi trzeciej co daje nam 1/8. Wpiszmy nasze obliczenia do tabelki. Znamy już wybrane argumenty i wartości. Czas na wykres. Zacznijmy od zaznaczenia punktów w układzie współrzędnych. Dla minus trójki to 1/8 czyli punkt zaznaczamy tu. Dla -2 wartość to 1/4 dla minus jedynki 1/2. Dla zera to 1. Dla jedynki 2. Dla dwójki 4 a dla trójki 8. Widzisz, że nie wszystkie z nich jesteśmy w stanie zaznaczyć na naszym wykresie. Dlaczego? Bo wartości funkcji bardzo szybko rosną i, potocznie mówiąc, wychodzą poza wykres. Taki wzrost nazywamy wykładniczym bo liczby rosną wraz ze wzrostem wykładnika potęgi. Przeprowadźmy krzywą przez zaznaczone punkty. Otrzymaliśmy wykres funkcji wykładniczej f od x równe 2 do potęgi x. Przed orzeszkiem omówiliśmy przykład funkcji wykładniczej. Teraz przyjrzyjmy się jej definicji. Funkcją wykładniczą nazywamy taką funkcję w której argumenty występują w wykładniku potęgi. Zobacz, że jest ona określona tylko w sytuacjach, gdy podstawą potęgi jest liczba większa od zera. Dlaczego tak jest? W naszym przykładzie jako wykładniki potęgi wstawialiśmy liczby całkowite jednak między nimi występują także ułamki. I tak na przykład w wykładniku potęgi może pojawić się 1/2. 2 do 1/2 to to samo, co pierwiastek drugiego stopnia z 2, a przecież pod takim pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej. To samo dotyczyć będzie wielu innych wykładników, dlatego właśnie podstawa potęgi w funkcji wykładniczej nie może być liczbą ujemną. Zauważ, że definicja wyklucza też sytuację w której podstawa potęgi jest równa jedynce. Co prawda bez problemu możemy policzyć wszystkie wartości tej funkcji, ale... potęgując jedynkę zawsze otrzymamy jeden. Jest to zatem funkcja stała, a takiej funkcji nie uznajemy za funkcję wykładniczą. Uff, czas na orzeszka, a po nim porozmawiamy o tym, jakie własności mają funkcje wykładnicze. Popatrz na znany Ci już wykres. Powiedz, jakie własności funkcji y równy 2 do iks możemy z niego odczytać. Po pierwsze: dziedzina. Funkcja ciągnie się od minus nieskończoności aż do plus nieskończoności i choć wartość funkcji już przy czwórce nie mieści się na naszym wykresie, istnieje. Istnieje dla każdego dodatniego x choć mogą to być ogromne wartości. Funkcja jest więc określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli d równa się R. W drugiej kolejności określmy zbiór wartości. Z wykresu możemy odczytać że funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych. Widać że żadna część wykresu nie leży pod osią X. Ale czy wykres funkcji dotyka osi? Nie, choć bardzo się do niej zbliża. Zobacz: im mniejsza liczba ujemna w wykładniku tym mniejszy ułamek jest wartością funkcji ale nigdy nie będzie to 0. Patrząc na wykres może się wydawać że dotyka on osi, ale w rzeczywistości tylko coraz bardziej zbliża się do niej. Jeśli oglądasz nasze filmy, to pewnie pamiętasz, że prostą, do której się "przytula" wykres, nazywamy asymptotą czyli można powiedzieć że oś X jest asymptotą wykresu naszej funkcji. Podsumujmy nasze obserwacje. Wykres funkcji leży nad osią X czyli zbiorem wartości jest... Przedział otwarty od 0 do plus nieskończoności. Oznacza to że ta funkcja nie ma miejsc zerowych. Przy okazji zbioru wartości określiliśmy kolejną własność funkcji: asymptotą wykresu funkcji wykładniczej jest oś X którą określamy wzorem...? Masz rację: y = 0. Z wykresu możemy też odczytać, że nasza funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie. Zapiszmy to: f(x) rośnie dla iksów należących do zbioru liczb rzeczywistych. Na koniec odpowiedzmy jeszcze na pytanie: czy nasza funkcja przecina oś Y a jeśli tak, to w jakim punkcie? Możemy to odczytać z wykresu albo obliczyć. Gdy x jest równe zeru to wartość funkcji wynosi... Y równa się 2 do potęgi 0, równa się jeden. Opisaliśmy własności funkcji: y równa się 2 do potęgi x. Okazuje się, że dokładnie takie same własności będą miały i inne funkcje wykładnicze. Czy wszystkie? Nie. Tylko te, gdzie podstawa potęgi będzie większa od jedynki. Spójrzmy na kilka przykładowych wykresów. Różni je tylko nachylenie, ale wszystkie są rosnące i przechodzą przez punkt (0,1). Wynika to z faktu, że dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę. A jakie własności mają funkcje wykładnicze o podstawie większej od zera a mniejszej od jednego? Sprawdź z nami. Narysujmy wykres funkcji: f(x) = 1/2 do potęgi x. Zaczynamy od wypełnienia tabelki. Dla x równego minus 3, y to 1/2 do -3 czyli 2 do potęgi trzeciej, co daje 8. Teraz wstrzymaj film, weź kartkę i oblicz pozostałe wartości. Gotowe? To sprawdź wyniki i możemy się brać za wykres. Zaznacz punkty samodzielnie a następnie porównaj z naszymi. Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, piąty, szósty i siódmy. Łączymy i... Gotowe! Ostatni krok to odczytanie własności. I to zadanie wykonaj samodzielnie. Gotowe? Sprawdzamy. Czym różnią się własności tych dwóch funkcji? Tak, tylko monotonicznością. Spójrzmy jeszcze na kilka wykresów funkcji w których podstawa jest liczbą większą od zera a mniejszą od jedynki. Widać że różnią się one nachyleniem wykresu, jednak określone przez nas wcześniej własności pozostają bez zmian. Wszystkie funkcje są malejące i przechodzą przez punkt (0,1). Funkcjami wykładniczymi nazywamy funkcje w których argumenty występują w wykładniku potęgi. Liczba w podstawie potęgi funkcji wykładniczej musi być zawsze dodatnia i różna od jedynki. Oglądanie filmów na pi-stacji gwarantuje szybki wzrost wiedzy. Wykładniczo. A subskrybując nasz kanał pistacja.tv, zapewniasz sobie także wykładniczy spadek stresu szkolnego.