Wyobraź sobie równoległe promienie światła lecące na zwierciadło. To zwierciadło ma kształt paraboli. Promienie po odbiciu skupią się w jednym punkcie. Taki punkt nazywa się ogniskiem paraboli. Teraz zbadamy taką funkcję: y równa się –x kwadrat. Czy ta funkcja jest funkcją kwadratową? Jak myślisz? To jest funkcja kwadratowa ponieważ największa potęga przy x to 2. A jaka jest dziedzina tej funkcji? Zwróć uwagę, że każdą liczbę możemy podnieść do kwadratu i pomnożyć przez –1. Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór liczb rzeczywistych. Możemy też zapisać, że x należy do przedziału od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć wartości tej funkcji dla argumentów: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3 i 1/2. Podpowiem tylko, że najpierw argument czyli x podnosimy do potęgi drugiej a na końcu mnożymy go przez –1. Jeżeli 0 podniesiemy do kwadratu i pomnożymy je przez –1 to również otrzymamy 0. Gdy liczbę 1 podniesiemy do kwadratu i pomnożymy ją przez– 1, to otrzymamy –1. Funkcja y równa się –x kwadrat dla argumentu –1 przyjmuje wartość –1. Dla argumentu 2 przyjmuje wartość –4 a dla argumentu –2 również przyjmuje wartość –4. Dla argumentu 3 funkcja y równa się –x kwadrat, przyjmuje wartość –9. A jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu –3? Również –9. Dla argumentu równego 1/2 ta funkcja przyjmuje wartość równą –1/4. Zapewne masz takie same wyniki jak ja. Brawo! Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać, jakie punkty utworzą dane argumenty i wartości. Zapisz je w odpowiednich wierszach. Argument 0 i wartość 0 tworzą punkt o współrzędnych 0, 0. Następna para tworzy punkt o współrzędnych 1, –1. Dalej mamy punkt o współrzędnych –1, –1. Kolejna para tworzy punkt o współrzędnych 2 i –4. Dalej mamy punkt o współrzędnych –2, –4. Następnie mamy punkt o współrzędnych 3 i – 9. Przedostatni punkt ma współrzędne –3 i –9 a ostatni 1/2 i –1/4. Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Narysuj taki układ współrzędnych najlepiej w zeszycie w kratkę. Następnie umieść na nim punkty o takich współrzędnych. Punkt o takich współrzędnych znajduje się tutaj. Punkt o takich współrzędnych znajduje się w tym miejscu. Punkt o takich współrzędnych znajduje się tutaj. Te współrzędne oznaczymy w tym miejscu te z kolei w tym miejscu. Zostały nam 3 punkty. Ten punkt zaznaczymy tutaj. Ten punkt zaznaczymy tutaj. Ostatni punkt narysujemy w tym miejscu. Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj połączyć otrzymane punkty tworząc wykres funkcji y równa się –x kwadrat. Czy też wyszedł Ci taki kształt? Pewnie tak! Gratulacje! A czy pamiętasz, jak nazywa się wykres funkcji kwadratowej? Wykres funkcji kwadratowej nazywa się parabolą. A czy potrafisz wskazać wierzchołek tej paraboli? Zwróć uwagę, że ta parabola ma ramiona skierowane w dół. Wierzchołkiem tej funkcji jest najwyżej położony punkt który znajduje się tutaj. To jest jej wierzchołek. Tym razem zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie powiedzieć jaka jest oś symetrii funkcji y równa się –x kwadrat. Patrząc na wykres widzimy, że osią symetrii tej funkcji jest oś y. Przypomnę, że oś y to prosta o równaniu x równa się 0. Osią symetrii tej funkcji jest oś y której równanie to x równa się 0. Mam dla Ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie opisać monotoniczność funkcji y równa się –x kwadrat. Znowu ustawiamy się na wykresie najbardziej na lewo czyli na przykład tutaj. Poruszając się w prawą stronę będziemy jechali po wykresie do góry aż do wierzchołka. Oznacza to, że dla tych x–ów funkcja rośnie. Zapiszmy to: funkcja rośnie dla x–ów należących do przedziału od minus nieskończoności do zera. 0 należy do wykresu tej funkcji dlatego mamy tutaj przedział domknięty. Przy symbolu nieskończoności zawsze zapisujemy symbol przedziału otwartego. Gdy będziemy poruszali się od tego miejsca na prawo po wykresie to będziemy jechali w dół. Oznacza to, że dla ty ch x–ów funkcja maleje. Funkcja maleje zatem dla x–ów należących do przedziału lewostronnie domkniętego od zera do plus nieskończoności. Cały czas badamy funkcję y równa się –x kwadrat. Zastanów się teraz jaka jest jej najmniejsza wartość. Patrząc na wykres widzimy, że spada ona w dół aż do minus nieskończoności. Oznacza to, że nie ma wartości najmniejszej. A jaka jest jej największa wartość? Najwyżej położonym punktem tej funkcji jest jej wierzchołek. Wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych 0, 0 więc jej największa wartość to y równa się 0. Spróbuj zatem podać samodzielnie zbiór wartości tej funkcji. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór od minus nieskończoności do zera. Pamiętaj, że odczytując zbiór wartości z wykresu patrzymy na oś y. Robimy to od dołu, dlatego mamy od minus nieskończoności do zera. Możemy też zapisać, że y czyli wartości, należą do przedziału od minus nieskończoności do zera. Teraz zastanów się ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Odpowiedź na to pytanie możesz znaleźć analizując wykres lub rozwiązując odpowiednie równanie. Analizując wykres dowiadujemy się że ta funkcja ma jedno miejsce zerowe. Jest nim argument równy zeru. Możemy też rozwiązać odpowiednie równanie. A jakie? Aby otrzymać to równanie wystarczy w miejsce y wstawić liczbę 0. Otrzymamy 0 równa się –x kwadrat. Zastanów się teraz, jaką liczbę należy podnieść do kwadratu i pomnożyć przez –1 aby otrzymać 0? Gdy 0 podniesiemy do kwadratu otrzymamy 0. Gdy 0 pomnożymy przez –1 znowu otrzymamy 0. Możemy zatem zapisać, że 0 równa się x. Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy tutaj to samo, co w tym miejscu. Teraz zajmiemy się współrzędnymi punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych. Spróbuj znaleźć współrzędne punktów przecięcia z osią y. Z wykresu widać, że ta parabola przecina oś y w punkcie który jest wierzchołkiem. Wierzchołek ma współrzędne 0, 0. A jak wygląda sytuacja w przypadku osi x? Podana funkcja nie przecina osi x jedynie się z nią styka. Ma 1 punkt wspólny. Tym punktem jest wierzchołek tej paraboli. Dziedziną funkcji y równa się –x kwadrat jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do zera. Funkcja –x kwadrat rośnie dla x–ów należących do przedziału prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do zera, a maleje dla x–ów należących do przedziału lewostronnie domkniętego od zera do plus nieskończoności. Miejscem zerowym tej funkcji jest x równe 0. Ta funkcja nie ma wartości najmniejszej ma za to wartość największą która wynosi 0. Punktem przecięcia z osiami jest punkt 0 i 0, czyli początek układu współrzędnych. Lekcje znajdujące się w tym dziale wprowadzą Cię w świat funkcji kwadratowej. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv