Twierdzenie Pitagorasa mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Std znając długości dwóch boków w trójkącie, zawsze da się odnaleźć długość trzeciego. Twierdzenie Pitagorasa jest zatem najsłynniejszym przykładem równania kwadratowego. W tym filmie pokażę Ci skąd się biorą wzory na równania drugiego stopnia postaci ax kwadrat dodać bx dodać c. Na początku zajmiemy się pewnym szczególnym przypadkiem. Przyjrzyj się równaniu 2x kwadrat odjąć 4x odjąć 16 równa się 0. Zaczniemy od pozbycia się współczynnika przy najwyższej potędze czyli przy x kwadrat. W tym celu obie strony równania dzielimy przez 2. Dostajemy: x kwadrat odjąć 2x odjąć 8 równa się 0. Teraz, tak jak przy rozwiązywaniu równań liniowych wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą zostaną po lewej stronie równania a wszystkie wyrazy bez x przerzucimy na prawą stronę pamiętając o zmianie znaków. Mamy x kwadrat odjąć 2x równa się 8. Teraz musimy sprytnie wykorzystać wzór skróconego mnożenia. Zauważ, że gdyby po lewej stronie był taki zapis x kwadrat odjąć 2x dodać 1 to byłby to kwadrat wyrażenia x odjąć 1. W naszym wyrażeniu brakuje jedynki ale to przecież nie problem. Do obu stron równania możemy przecież dodać 1. Po lewej stronie otrzymujemy: x kwadrat odjąć 2x dodać 1 a po prawej stronie 9. Po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy, że x odjąć 1 do kwadratu równa się 9. Kiedy kwadrat liczby wynosi 9? Wtedy, kiedy jest to 3 lub -3. Oznacza to że x odjąć 1 to 3 lub x odjąć 1 to -3. Stąd x to 4 lub x to -2. Otrzymaliśmy dwa rozwiązania równania kwadratowego. Niepotrzebne były nam do tego żadne wzory. Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla każdego równania. Taką metodę nazywamy dopełnieniem do kwadratu. Możemy się jeszcze zastanowić jak zadziałałaby ta metoda gdyby nasze równanie nie miało rozwiązań czyli miało deltę ujemną. Przyjrzyj się równaniu 3x kwadrat dodać 12x dodać 15 równa się zeru. Delta w tym przypadku to 12 do kwadratu odjąć 4 razy 3 razy 15. Daje nam to 144 odjąć 180 czyli -36. To równanie nie ma rozwiązań. Spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie zaprezentowaną przed chwilą metodą. Zapewne dojdziesz do takiego samego wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań. Zaczynamy tak samo usuwając współczynnik przy x kwadrat. W tym celu dzielimy całe równanie przez 3 otrzymując: x kwadrat dodać 4x dodać 5 równa się zeru. Teraz wyraz bez x przenosimy na prawą stronę równania ze zmienionym znakiem. x kwadrat dodać 4x to -5. Zauważ, że gdybyśmy mieli x kwadrat dodać 4x dodać 4 to byłby to kwadrat wyrażenia x dodać 2. Brakuje nam liczby 4 więc do obu stron dodajemy 4. W ten sposób po lewej stronie dostajemy x kwadrat dodać 4x dodać 4 a po prawej -1, czyli x dodać 2 w nawiasie do kwadratu to -1. Zastanów się, czy istnieje liczba która podniesiona do kwadratu da -1? Nie, bo kwadrat liczby nie może być ujemny. Stąd to równanie jest sprzeczne. Nie ma rozwiązania. Nic dziwnego. W końcu delta była ujemna. Teraz przejdziemy do przypadku ogólnego czyli równania postaci a razy x kwadrat dodać b razy x dodać c równa się zeru. Przed orzeszkiem zaczęliśmy od podzielenia wszystkiego przez czynnik stojący przy x kwadrat. Naszym współczynnikiem jest a. Obie strony równania dzielimy więc przez a. Możemy to zrobić ponieważ w założeniu to ma być równanie kwadratowe więc współczynnik przy x kwadrat jest zawsze różny od zera. Otrzymujemy: x kwadrat dodać bx podzielić przez a dodać c podzielić przez a równa się 0. Teraz wyraz bez x przenosimy na prawą stronę równania ze zmienionym znakiem otrzymując x kwadrat dodać bx podzielić przez a równa się -c podzielić przez a. Przed wyrazem z x-em stoi plus więc poszukiwany wzór skróconego mnożenia będzie wzorem na kwadrat sumy. Standardowo zapisujemy go jako a dodać b w nawiasie do kwadratu. Ale w tym zadaniu już wykorzystaliśmy literki a i b więc, aby uniknąć nieporozumień zapiszemy ten wzór w trochę nietypowy sposób. Pik dodać krzyż w nawiasie do kwadratu równa się pik do kwadratu dodać 2 razy pik razy krzyż dodać krzyż do kwadratu. Pik do kwadratu to x kwadrat. A czym jest krzyż? Chcemy, aby wyraz b razy x podzielić przez a był tym samym co 2 razy pik razy krzyż. Skoro pik to x to b podzielić przez a musi być z tym samym co 2 razy krzyż. Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy że krzyż powinien wynosić b podzielić przez 2a. Wstawiając x do wzoru skróconego mnożenia w miejsce pika a b podzielić przez 2a w miejsce krzyża otrzymamy, w nawiasie x dodać b podzielić przez 2a zamknąć nawias do kwadratu. Spróbuj samodzielnie rozwinąć to wyrażenie. Zapisujemy: x kwadrat dodać 2 razy x razy b podzielić przez 2a dodać b podzielić przez 2a do kwadratu. Po wykonaniu obliczeń nasz wynik to: x kwadrat dodać bx podzielić przez a dodać b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat. Zobacz. Dwa pierwsze wyrazy są takie same jak w naszym równaniu. Trzeci w nim nie występuje. Dlatego tak jak w poprzednich przykładach sztucznie go wprowadzimy. Dodajmy do obu stron równania b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat. Wtedy po lewej stronie mamy kwadrat rozważanej sumy a po prawej b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat odjąć c podzielić przez a. Lewą stronę zwijamy do wzoru skróconego mnożenia. x dodać b podzielić przez 2a w nawiasie do kwadratu. Po prawej stronie mamy odejmowanie. Aby je wykonać musimy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika. Mianownik pierwszego to 4a kwadrat a w drugim mamy a. Jaki będzie wspólny mianownik? 4a kwadrat. Widać, że drugi ułamek musimy rozszerzyć przez 4a. Otrzymujemy b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat odjąć 4ac podzielić przez 4a kwadrat. Po odjęciu mamy b kwadrat odjąć 4 razy a razy c podzielić przez 4a kwadrat. Czy coś Ci te zapisy przypominają? Licznik ułamka po prawej stronie równania to po prostu dobrze znana nam delta. Zastąpmy górę ułamka przez deltę otrzymując delta dzielona przez 4a kwadrat Po lewej stronie równania mamy wyrażenie podniesione do kwadratu a po prawej stronie jakąś liczbę zależną od literek a, b i c. Aby to równanie w ogóle miało rozwiązanie liczba po prawej stronie nie może być ujemna. A kiedy taki ułamek jest nieujemny? 4a kwadrat nigdy nie jest ujemne więc aby ułamek był nieujemny nieujemny musi być jego licznik czyli delta. Jeśli delta jest dodatnia wtedy istnieją dwa rozwiązania równania. x dodać b podzielić przez 2a. Pierwiastek z delta podzielić przez 4a kwadrat, albo minus pierwiastek z delta podzielić przez 4a kwadrat. Zauważmy, że 4a kwadrat to inaczej 2a w nawiasie do kwadratu. Więc w obu przypadkach ten zapis jest równoważny pierwiastkowi z delty podzielić przez 2a. Przyjrzyjmy się pierwszemu rozwiązaniu. x dodać b podzielić przez 2a to pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Aby wyliczyć samego x musimy odjąć od obu stron b podzielić przez 2a. Otrzymamy wtedy że x równa się -b podzielić przez 2a dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Zapisując to w jednym ułamku dostaniemy -b dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a. W drugim przypadku również przenosimy b podzielić przez 2a na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem i otrzymujemy -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a. To wzory ogólne na rozwiązania równania drugiego stopnia. Jeżeli znamy wartości literek a, b i c to jesteśmy w stanie podać rozwiązanie takiego równania o ile istnieje. A co się stanie kiedy delta będzie równa zeru? Wtedy otrzymamy, że x dodać b podzielić przez 2a do kwadratu to 0. Jedyna liczba podniesiona do kwadratu dająca 0 to właśnie 0. Czyli x dodać b podzielić przez 2a musi być równe zeru. Stąd x to -b podzielić przez 2a. W takim przypadku równanie ax kwadrat dodać bx dodać c równa się zeru ma jedno podwójne rozwiązanie. Jeżeli chcesz się nauczyć jak wykorzystywać wyprowadzone wzory do rozwiązywania równań to obejrzyj nasz film na ten temat. Aby dowiedzieć się skąd biorą się wzory na rozwiązania równania kwadratowego zapisanego w postaci ogólnej przyjrzyj się zapisom znajdującym się na planszy. Jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać równania kwadratowe to obejrzyj wszystkie filmy znajdujące się w tym dziale. Wszystkie znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv