François Viète francuski matematyk i astronom sformułował wzory algebraiczne pozwalające rozwiązywać równania kwadratowe zwane dziś wzorami wzory Viete'a. Dzięki nim na podstawie współczynników równania kwadratowego zapisanego w postaci ogólnej da się bez wyliczania miejsc zerowych obliczyć ich sumę oraz iloczyn. W tej lekcji rozwiążemy wszystkie typy równań kwadratowych które poznaliśmy do tej pory. Oto pierwszy przykład. x kwadrat odjąć 5x dodać 4 równa się 0. Rozwiąż to równanie samodzielnie a potem puść dalszą część filmu i sprawdź wynik. To jest postać ogólna równania kwadratowego. a równa się 1 b równa się -5, a c to 4. Wszystkie współczynniki są niezerowe więc najpierw sprawdzimy liczbę rozwiązań tego równania korzystając z delty. Delta równa się b kwadrat odjąć 4 razy a razy c czyli -5 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 4, co daje 9. Delta jest dodatnia więc to równanie ma dwa rozwiązania. Teraz je obliczymy. Najpierw wyznaczamy pierwiastek z delty. Pierwiastek z dziewięciu to 3. x1, czyli pierwsze miejsce zerowe liczymy ze wzoru -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Podstawiając odpowiednie wartości mamy w liczniku 5 odjąć 3, a w mianowniku 2 co po obliczeniu daje 1. x2, czyli drugie miejsce zerowe liczymy ze wzoru -b dodać pierwiastek z delty podzielić przez 2a. Podstawiając odpowiednie wartości mamy w liczniku 5 dodać 3 a w mianowniku 2 co po obliczeniu daje 4. Zapiszmy odpowiedź. Rozwiązaniami równania x kwadrat odjąć 5x dodać 4 równa się 0, są liczby 1 i 4. Przejdźmy do drugiego wyznawania. Spróbuj samodzielnie rozwiązać równanie 3x kwadrat odjąć 10 równa się 0. Tu współczynnik b jest zerem. Możemy oczywiście skorzystać z delty jak w każdej postaci ogólnej równania kwadratowego ale rozwiązanie da się znaleźć też szybciej. Przerzućmy -10 na prawą stronę równania ze zmienionym znakiem. Mamy 3x kwadrat równa się 10. Teraz obie strony równania dzielimy przez 3. Otrzymujemy x kwadrat równa się 10/3. Skoro x kwadrat równa się jakiejś liczbie dodatniej to istnieją dwa rozwiązania. Pierwsze, czyli x1 to pierwiastek z dziesięciu trzecich a drugie, czyli x2 to minus pierwiastek z dziesięciu trzecich. Gotowe. Idźmy do kolejnego równania. -2 razy, w nawiasie x dodać 2 zamykamy nawias do kwadratu dodać 1 równa się 0. Po lewej stronie mamy postać kanoniczną funkcji kwadratowej. Możemy najpierw przekształcić tę postać do ogólnej i sprawdzić za pomocą delty czy to równanie ma rozwiązanie. Bardziej opłaca się jednak sprawdzić liczbę rozwiązań rysując wykres pomocniczy. Jeśli się okaże, że nie ma miejsc zerowych to nie będziemy tracić czasu na zmianę równania na postać ogólną. Samodzielnie wykonaj wykres pomocniczy korzystając ze współrzędnych wierzchołka i wartości współczynnika a. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie -2 i 1, czyli tutaj. Skoro druga współrzędna jest dodatnia to wierzchołek znajduje się nad osią x. Współczynnik a jest ujemny więc ramiona paraboli są skierowane w dół co oznacza, że wykres funkcji opisanej tym wzorem przecina oś x w dwóch miejscach. Nasze równanie ma więc dwa rozwiązania. Aby je wyznaczyć zamieniamy tę postać na postać ogólną. Zrób to samodzielnie. Po przekształceniu lewej strony równania otrzymujemy: -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 7 równa się 0. Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie korzystając z delty. a to -2, b to -8, a c to -7. Delta równa się -8 do kwadratu odjąć 4 razy -2 razy -7, czyli 8. Pierwiastek z delty to pierwiastek z ośmiu czyli 2 pierwiastki z dwóch. Pierwsze miejsce zerowe to -b odjąć pierwiastek z delty podzielić przez 2a czyli 8 odjąć 2 pierwiastki z dwóch podzielić przez -4. Drugie miejsce zerowe to 8 dodać 2 pierwiastki z dwóch podzielić przez -4. Możemy jeszcze uprościć oba wyniki otrzymując: -2 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch oraz -2 odjąć 1/2 razy pierwiastek z dwóch. Gotowe. Możemy ten przykład rozwiązać także bez sprowadzania go do postaci ogólnej analogicznie jak przy rozwiązywaniu poprzedniego. W tym celu przekształcamy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać x dodać 2 do kwadratu. W tym celu przenosimy 1 na drugą stronę a następnie dzielimy obie strony równania przez -2. Otrzymujemy, że x dodać 2 do kwadratu równa się 1/2. Teraz wystarczyć zauważyć że w takim razie x dodać 2 to pierwiastek z jednej drugiej lub minus pierwiastek z jednej drugiej. Po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy, że to to samo co -2 odjąć pierwiastek z dwóch przez 2. Analogicznie x2 to -2 dodać pierwiastek z dwóch przez 2 czyli -2 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch. Przejdźmy do kolejnego równania. -2x kwadrat dodać 13x równa się zeru. Rozwiąż samodzielnie to równanie. To równanie w postaci ogólnej gdzie współczynnik c jest równy zeru. W takiej sytuacji wiemy na pewno że równanie ma dwa rozwiązania. Aby je obliczyć należy wyłączyć po lewej stronie wspólny czynnik przed nawias. Otrzymujemy x razy otwieramy nawias -2x dodać 13 zamykamy nawias, równa się 0. Pierwszym rozwiązaniem jest x równy zeru. Drugie rozwiązanie otrzymamy rozwiązując równanie: -2x dodać 13 równa się 0. Przerzucamy 13 na drugą stronę ze zmienionym znakiem otrzymując -2x równa się -13. Dzielimy obie strony równania przez -2 i mamy x równa się 13/2. To jest drugie rozwiązanie naszego równania kwadratowego. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Samodzielnie rozwiąż równanie. x kwadrat dodać 2x dodać 7 równa się zeru. Mamy tutaj postać ogólną równania kwadratowego. a to 1, b to 2, a c to 7. Liczymy deltę. 2 kwadrat odjąć 4 razy 1 razy 7 to -24. Skoro delta jest ujemna to równanie nie ma rozwiązań i to jest to nasza odpowiedź. Kolejny przykład dla Ciebie. Rozwiąż równanie: 3 razy, w nawiasie x dodać 4 zamykamy nawias do kwadratu dodać 3 równa się zeru. Po lewej stronie mamy postać kanoniczną funkcji kwadratowej. Jej wierzchołek jest w punkcie -4 i 3. Druga współrzędna jest dodatnia więc wierzchołek znajduje się nad osią x. Współczynnik a jest dodatni więc ramiona są skierowane w górę. Oznacza to, że ramiona nie przecinają osi x więc to równanie nie ma rozwiązań. Do takich samych wniosków doszlibyśmy przekształcając lewą stronę do postaci ogólnej i licząc deltę. Możesz to zrobić. Zapewniam, że delta wyjdzie ujemna. Przejdźmy do ostatniego równania. 6x kwadrat dodać 36 równa się zeru. Rozwiąż to równanie samodzielnie. Po lewej stronie dostrzegamy postać ogólną równania kwadratowego którego współczynnik b to 0. Przerzucamy zatem 36 na prawą stronę ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 6x kwadrat równa się -36. Dzielimy obie strony równania przez 6. Mamy x kwadrat równa się -6. Czy istnieje taka liczba która po podniesieniu do kwadratu da nam -6? Nie, bo nie ma liczby której kwadrat da nam jakąkolwiek liczbę ujemną. Oznacza to że to równanie nie ma rozwiązań. To wszystkie przykłady, które przygotowałem dla Ciebie w tej lekcji. Gratulacje! Ze względu na współczynniki i sposób rozwiązywania, możemy wyróżnić trzy typy równań kwadratowych. Pierwszy to taki, w którym współczynnik b jest równy 0. Drugi to taki, w którym współczynnik c jest równy 0. A trzeci to taki, gdzie wszystkie współczynniki są niezerowe. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o równaniach kwadratowych oraz postaci iloczynowej a także do polubienia naszej strony na Facebooku.