Gdy wybierasz się na pieszą wycieczkę wszystkie potrzebne rzeczy starasz się spakować w jeden plecak, a przy tym go nie przeładować. W końcu wiesz, że to ty będziesz go dźwigać. A co jeśli podróżujesz z kolegą? Macie dwa plecaki, ale przecież wystarczy wam jedna apteczka, czy jeden namiot. Warto przejrzeć zawartość obu plecaków i pozbyć się zbędnego balastu. Podobnie jest w matematyce. Staramy się pozbyć elementów które się powielają. Ta zasada jest podstawą przy mnożeniu wyrażeń wymiernych. Jeśli oglądasz nasze filmy, na pewno znasz już zasady mnożenia ułamków zwykłych. Te zasady to podstawa również w mnożeniu wyrażeń wymiernych. Jak mnożymy ułamki zwykłe? Licznik x licznik a mianownik razy mianownik. Jeśli jednak się da, wcześniej je skracamy. Po co? Bo mniejsze liczby łatwiej wymnożyć i w wynikach nie otrzymamy niepotrzebnie dużych liczb, które dużo trudniej będzie skrócić. To skracanie jest tu kluczem do dalszej części filmu, dlatego zatrzymajmy się na nim chwilę. Skracając w myślach dokonujesz rozkładu liczb. 6 to 2 razy 3, a 9 to 3 razy 3 więc obie możesz skrócić przez 3. I właśnie taki rozkład będziemy stosować przy mnożeniu wyrażeń i nie tylko przy mnożeniu. Do rozkładu wyrażeń potrzebnych nam będzie kilka umiejętności. Warto przypomnieć sobie wzory skróconego mnożenia wyciąganie czynników przed nawias oraz obliczanie delty. Mówimy o tym w innych naszych filmach. Schrup orzeszka a po nim będziemy wykorzystywać poznane zasady w praktyce. Zadanie 1: wykonaj mnożenie. Chcemy wymnożyć te dwa wyrażenia. Zanim zaczniemy, jeszcze drobny acz niezwykle istotny szczegół: określenie dziedziny. Mianowniki naszych wyrażeń nie mogą być równe zeru. Zapiszmy to. A więc w pierwszym przypadku x nie może być równy trójce, w drugim - minus jedynce. Możemy pod x wstawić każdą liczbę ze zbioru liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych dwóch. Przechodzimy do głównego punktu programu czyli mnożenia. Czy da się je przedtem skrócić? Nie jest to tak intuicyjne jak w przypadku ułamków zwykłych. 6 dało się rozłożyć na 2 x 3 a czy da się jakoś rozłożyć dwa iks plus dwa? Tak, możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias. X kwadrat można ewentualnie zapisać jako x razy x, a mianowniki? One już są w najprostszej możliwej formie ale warto je wziąć w nawiasy, żeby pamiętać że skracać możemy je jedynie jako całość. Czy coś nam się powtarza? Tak, wyrażenie x + 1, skracamy. Przepiszmy to, co nam zostało. 2 przez x -3 razy x do kwadratu przez 1. Czas na mnożenie. Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. 2 razy iks do kwadratu to dwa iks kwadrat a x-3 razy jeden to x-3. Gotowe. Jakie kroki wykonaliśmy? Pierwszy to określenie dziedziny. Drugi: rozkład liczników i mianowników jeśli tylko się da. Trzeci: skracanie. Czwarty: mnożenie. Z tą checklistą przechodzimy do kolejnego przykładu. Zadanie 2: wykonaj mnożenie. W tym przykładzie poszczególne składniki wyrażenia są bardziej rozbudowane. Ale czy to coś zmienia? Nie. Wykorzystujemy ten sam schemat. Oto nasza checklista. Zaczynamy od dziedziny. Zarówno pierwszy, jak i drugi mianownik muszą być różne od zera. W pierwszym kroku warto sprawdzić, czy da się wyciągnąć jakiś czynnik przed nawias. Da się, i to w obu przypadkach. Jeśli to nie jest dla ciebie jasne koniecznie powtórz rozkład wielomianów. A więc x do kwadratu musi być różny od zera i x + 2 musi być różne od zera a także sam x i wyrażenie x - 3. X nie może więc być równy zeru ani minus dwójce znów zeru i trójce. Dziedzina to więc zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem -2, 0 i 3. Pierwszy krok za nami. Drugi krok to rozkład liczników i mianowników. Wyznaczając dziedzinę przy okazji rozłożyliśmy już mianowniki wyciągając czynniki przed nawias. Możemy więc je już zapisać w tej formie. Zajmijmy się zatem licznikami. Zwróć uwagę na pierwszy z nich. Możemy tu zastosować jeden ze wzorów skróconego mnożenia i dzięki niemu możesz go rozpisać od razu. A to w naszym przypadku x, a b to 3. Otrzymujemy x-3 w jednym nawiasie i x+3 w drugim. Możemy też rozłożyć go przez znalezienie jego miejsc zerowych w tradycyjny sposób, przyrównując do zera. Przenosimy dziewiątkę. X kwadrat będzie równy 9 jeśli x będzie równy trójce lub minus trójce. Możemy teraz zapisać postać iloczynową: (x - 3) razy (x + 3). Drugi licznik nie wymaga naszej uwagi. Przepiszmy nasze wyrażenie z rozłożonym licznikiem i dodajmy nawias w drugim. Teraz dobrze widać dwie pary identycznych nawiasów. Możemy je skrócić i zapisać wynik. Trzeba jeszcze wymnożyć to co zostało i gotowe. Przed nami kolejny przykład zresztą bardzo podobny do poprzedniego. Co najpierw? Tak. Określ dziedzinę. Oba mianowniki muszą być różne od zera. Zobacz, że w drugim przypadku można wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias. A tu możemy od razu przenieść szóstkę podzielić obustronnie przez czwórkę i wyciągnąć całości. Tu każdy z elementów musi być różny od zera a więc x musi być różne od zera i x musi być różne od -5. Dziedzina to więc zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem -5, - 1 i 1/2 oraz 0. Krok drugi to rozkład liczników i mianowników. Obliczając dziedzinę rozłożyliśmy już ten mianownik, a czy możemy coś zrobić z tym? Tak, możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias. Przepiszmy nasze wyrażenie z rozłożonymi mianownikami. Bierzmy się za liczniki. W przypadku tego możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Rozpiszmy go wspólnie. Określmy, które elementy wzoru odpowiadają odpowiednim liczbom. A to x, a b do kwadratu to 25, czyli b to 5. Sprawdźmy jeszcze środkową część wzoru. 2 razy x i razy 5 to 10x. Zgadza się. A co z drugim licznikiem? Możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias. Zapisujemy całość z rozłożonymi licznikami. Pora poskracać powtarzające się elementy. Powtarza się dwójka oraz wyrażenie (x + 5). Resztę zapisz na wspólnej kresce ułamkowej. Widzisz, że zostało więcej czynników niż w poprzednim przykładzie ale nie można już nic skrócić. Czas je wymnożyć. X razy x to x kwadrat. X razy 10 to 10x 5 razy x to 5x a 5 razy 10 to 50. X razy 3x kwadrat to 3x do trzeciej a 3 razy 3x kwadrat to 9x kwadrat. Teraz jeszcze trzeba zredukować wyrazy podobne w liczniku i mamy to! Zadanie 4. Dane są wyrażenia a i b o następującej postaci. Wyznacz dziedzinę oraz oblicz a razy b. Na początku, jak zwykle, dziedzina. Każdy z mianowników musi być różny od zera. Przyjrzyjmy się pierwszemu mianownikowi. Można tu wyciągnąć x przed nawias a z liczb? Tak, liczbę 5. Wyciągamy więc 5x przed nawias. W nawiasie zostaje nam wyrażenie z którym już sobie poradzimy używając delty. A czy dałoby się to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia? W tym przypadku nie. Wstrzymaj film i dokończ obliczanie dziedziny. Tu wyszło nam, że x musi być różne od zera. Tu otrzymaliśmy ujemną deltę. To znaczy, że to wyrażenie nie ma miejsc zerowych a więc zawsze jest różne od zera. Z drugiego mianownika otrzymujemy że x do kwadratu nie może być równy trzem a więc x nie może być równy pierwiastkowi z 3 ale też minus pierwiastkowi z 3, bo obie te liczby po podniesieniu do kwadratu dadzą dodatnią trójkę. A oto nasza dziedzina. Dziedzina za nami. Teraz ty trochę popracujesz. W pierwszej kolejności rozłóż mianowniki. Część pracy już wykonaliśmy przy wyznaczaniu dziedziny. W pierwszym 5x już wyciągnęliśmy wcześniej. W drugim wyciągamy trójkę przed nawias a resztę już zapisaliśmy w postaci iloczynowej dzięki obliczonym wcześniej miejscom zerowym. Teraz liczniki. W obu mamy wyrażenia kwadratowe. Przeanalizuj je samodzielnie. Pamiętaj, że w pierwszej kolejności wyciągamy przed nawias a później możemy zastosować zapis w postaci iloczynowej lub użyć wzorów skróconego mnożenia, jeśli pasują. Gotowe? W drugim liczniku można wyciągnąć trójkę przed nawias. Wtedy otrzymujemy wyrażenie które już znasz z pierwszego mianownika. Nie da się go bardziej rozłożyć. A w pierwszym liczniku można zastosować wzór skróconego mnożenia lub obliczyć deltę i miejsce zerowe. Czas na skracanie: tu, tu i tu. Za dużo nam do mnożenia nie zostało. Gotowe. Po orzeszku zadania już w 100% dla Ciebie. Czas na Ciebie. Rozwiąż poniższe zadanie. Dane są wyrażenia a i b. Wyznacz dziedzinę i oblicz a razy b. Jeśli Twoja odpowiedź jest taka, jak moja - gratulacje! Mnożenie wyrażeń wymiernych nie ma przed Tobą tajemnic. Zapamiętaj: mnożenie wyrażeń wymiernych tak jak zwykłe mnożenie polega na mnożeniu licznika przez licznik a mianownika przez mianownik. Zanim jednak to zrobisz, musisz sprowadzić ułamki do jak najprostszej postaci i określić dziedzinę. Pomoże Ci znajomość wzorów skróconego mnożenia, delty oraz wyciągania wspólnego czynnika przed nawias. Wyrażenia wymierne można mnożyć przez siebie, a z pi-stacją można mnożyć wiedzę. Wymiernie. Zapraszamy na pistacja.tv