Znasz sagę o Harrym Potterze? To pewnie pamiętasz część, w której zawarto historię o Insygniach Śmierci. Symbole trzech magicznych przedmiotów połączono tam w taki oto znak. W tym filmie powiemy, jak perfekcyjnie wpisać okrąg w trójkąt. Bez czarodziejskiej różdżki. Aby wpisać okrąg w trójkąt musimy mieć...? trójkąt. Zacznijmy od narysowania jednego kąta tego trójkąta i jego dwusiecznej. Do czego potrzebna nam dwusieczna? Zaraz się przekonasz. Co wiesz o dwusiecznej kąta? Dzieli kąt na połowy, jest osią symetrii kąta jest to zbiór punktów równo oddalonych od ramion kąta. Wybierzmy jeden z punktów na tej dwusiecznej. Gdybyśmy narysowali okrąg o środku w tym punkcie i o promieniu równym odległości od jednej półprostej, to będzie on styczny także do tej drugiej. To jeszcze jednak nie trójkąt a to właśnie w trójkąt chcemy wpisać okrąg. Okrąg niech więc na razie poczeka a my załóżmy, że nasz kąt jest jednym z kątów wewnętrznych trójkąta. Narysujmy też dwusieczną drugiego z kątów. Dwusieczne się przetną wewnątrz trójkąta. Oznaczmy ten punkt literą O. Zastanów się co możesz powiedzieć o tym punkcie? Skoro leży na dwusiecznej kąta CAB, to jego odległość od boków AC i AB jest taka sama. Skoro leży na dwusiecznej kąta ABC, to jego odległość od boków AB i BC jest taka sama a to oznacza, że odległość punktu O od każdego z boków trójkąta jest taka sama. Wnioski? Po pierwsze: punkt O leży na dwusiecznej kąta ACB. Po drugie: punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. To jak sformułować twierdzenie matematyczne opisujące nasze rozumowanie? Twierdzenie o przecięciu dwusiecznych kąta trójkąta brzmi: Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Schrup orzeszka nim przejdziemy dalej. Skupmy się teraz na okręgu i jego promieniach. Na naszym rysunku mamy ich sporo. Tu mamy dwa promienie będące fragmentem jednej z dwusiecznych. Podobnie tu i tu. A tu mamy promienie będące jednocześnie odległością punktu O od boków trójkąta. Jak myślisz, które z narysowanych promieni będą najbardziej użyteczne podczas rozwiązywania zadań? Jeśli uważasz, że te - masz rację. Są one łącznikiem między okręgiem a trójkątem Dodatkowo taki promień musi być pod kątem prostym do boku trójkąta. Czy kąt prosty nie brzmi dobrze? Jest to potencjalne zastosowanie dla twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych. O to chodzi! Trzeba sobie matematykę ułatwiać. Takie narysowanie promieni ma jeszcze jeden bonus. Spójrz na te dwa trójkąty. Te dwa boki są takiej samej długości. Ten jest wspólny. Tu oba mają takie same kąty bo dzieli je dwusieczna a tu oba mają kąty proste. Jakie są te dwa trójkąty? To trójkąty przystające. Są jak lustrzane odbicia, a więc te dwa boki także muszą być tej samej długości. Odcinki AE i AD są sobie równe. Identycznie ma się sytuacja w przypadku tych dwóch odcinków oraz tych. Uzbrojeni w sporo wiedzy o okręgu wpisanym w trójkąt, zmierzmy się z takim zadaniem. Na okręgu o promieniu pierwiastek z 6 opisano trójkąt o bokach 8, 10 i 14. Obliczyć mamy pole tego trójkąta. Trójkąt opisano na okręgu czyli trójkąt na zewnątrz, a okrąg w środku. Efekt identyczny jak przy wpisywaniu okręgu w trójkąt. Obliczyć mamy pole trójkąta. Wzór to 1/2 a razy h. Jednak nie mamy podanej wysokości trójkąta. Znamy za to wszystkie jego boki i promień okręgu. Pamiętasz, jak zaznaczyć na naszym rysunku promienie? Tak, pod kątem prostym do boków czyli łącząc środek okręgu z punktem styczności okręgu i trójkąta. Co nam dają te promienie? Wszystko stanie się jasne gdy dorysujemy fragmenty dwusiecznych. Powstaną wtedy trzy trójkąty. W każdym z nich znamy podstawę i wysokość. Zamiast więc obliczać pole całego trójkąta obliczymy pole każdego z osobna i je zsumujemy. Pole pierwszego to 1/2 razy 14 razy pierwiastek z 6 czyli 7 pierwiastków z 6. Pole drugiego to 1/2 razy 8 razy pierwiastek z 6 czyli 4 pierwiastki z 6. Pole trzeciego to 1/2 razy 10 razy pierwiastek z 6 czyli 5 pierwiastków z 6. Aby obliczyć pole trójkąta ABC musimy zsumować trzy obliczone pola. Razem to 7 pierwiastków z 6 dodać 4 pierwiastki z 6 dodać 5 pierwiastków z 6 co daje razem 16 pierwiastków z 6. Gotowe. Czas na kolejne zadanie. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości 7, 24 i 25. Obliczyć mamy promień więc zacznijmy od zaznaczenia promieni. Zauważ, że tu mamy kąt prosty i tu, i tu a więc ta figura to... Kwadrat. Ten bok to r, ten też, a więc te dwa odcinki także mają długość r. Oprócz prawidłowego zaznaczania promieni mówiliśmy o pewnej własności odcinków na jakie te punkty dzielą boki trójkąta. Pamiętasz? Te dwa odcinki są takiej samej długości podobnie jak te dwa oraz te. Gdybyśmy od tego odcinka odcięli r i od tego też to pozostałe części dadzą razem ten odcinek. Przedstawmy to jako wyrażenie. Gdy od 7 odejmiemy r i od 24 także odejmiemy r to suma tych części musi nam dać ile? Tak, 25. W ten sposób otrzymaliśmy równanie w którym niewiadomą jest nasz promień. Niewiadome zostawiamy po lewej stronie równania i otrzymujemy minus r odjąć r a liczby przenosimy na prawą 25 odjąć 7 i odjąć 24. Mamy więc minus 2 r równa się minus 6 co po obustronnym dzieleniu przez minus dwa daje nam trzy. Promień obliczony. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Dwusieczne w trójkącie przecinają się w środku wpisanego weń okręgu a na pistacji przecinają się drogi milionów uczniów korzystających z naszych zasobów. Dołącz do nich na pistacja.tv