Można opisać mapę, czyli opatrzeć ją legendą. Można opisać czyjś wygląd albo charakter szczegółowo podając kolejne cechy. Ale można także opisać na czymś okrąg a zasady rządzące takim opisywaniem poznasz w tym filmie. Pamiętasz, czym jest symetralna odcinka? To prosta, która przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła. Można też powiedzieć, że jest to zbiór punktów które są równo odległe od obu końców odcinka. Załóżmy, że nasz odcinek jest bokiem AB trójkąta. Wtedy każdy punkt leżący na symetralnej jest tak samo odległy od wierzchołka A i od wierzchołka B. Narysujmy symetralną boku BC. Ona też musi być prostopadła do swojego boku i przechodzić przez jego środek. Boki AB i BC nie są równoległe więc nasze symetralne muszą się przeciąć. Oznaczmy ten punkt przecięcia literą O. Co możemy o nim powiedzieć? Skoro leży na symetralnej boku AB, to OA = OB. Skoro punkt ten leży na symetralnej boku BC to OB = OC. Jaki z tego wniosek? Po pierwsze, odcinki OA, OB i OC są równej długości. Po drugie, punkt O musi leżeć na symetralnej boku AC. Dlaczego? Bo symetralna boku AC zawiera wszystkie punkty, które są równo odległe od wierzchołka A i wierzchołka C a punkt O jest jednym z nich. Mamy to zapisane w naszej równości. Po trzecie, jeśli narysujemy okrąg o środku w punkcie O i promieniu równym długości OA to okrąg ten przejdzie przez wszystkie wierzchołki trójkąta, czyli będzie opisany na tym trójkącie, bo każdy z tych odcinków jest jego promieniem. Rozumowanie, które przeprowadziliśmy jest dowodem twierdzenia o przecięciu symetralnych trójkąta. Mówi ono, że symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie który jest równo odległy od jego wierzchołków. Z tego twierdzenia wynika że na każdym trójkącie da się opisać okrąg. Jeśli się zastanowisz, dojdziesz też do wniosku że dla każdego trójkąta istnieje tylko jeden okrąg, który jest na nim opisany. Schrup orzeszka, a po nim rozważymy jeszcze inne własności trójkąta i opisanego na nim okręgu. Jak myślisz, czy zawsze środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta? Narysujmy okrąg. Czy jego środek może leżeć na którymś boku trójkąta? Narysujmy bok trójkąta tak aby zawierał środek okręgu. Zauważ, że końce tego boku muszą znajdować się na okręgu. Inaczej nie będzie to trójkąt wpisany. W takim przypadku ten bok trójkąta jest... Tak, dobrze kombinujesz, średnicą tego okręgu. Wybierzmy teraz na okręgu jakiś punkt który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta i narysujmy tę figurę. Gładko poszło. Pokazaliśmy, że istnieje trójkąt wpisany w okrąg w ten sposób, że jeden z jego boków jest średnicą okręgu. Jeśli pamiętasz twierdzenie o kątach w okręgu to wiesz, że jeśli ten kąt ma 180 stopni to kąt oparty na średnicy jest... Tak, kątem prostym. A więc nasz trójkąt jest prostokątny. Spójrzmy jeszcze na symetralne jego boków. Wszystko się zgadza, przecinają się dokładnie w punkcie O. A gdybyśmy punkt C umieścili nie tu a tu albo tu? Otrzymamy różne trójkąty, jednak każdy z nich jest oparty na średnicy, czyli jest prostokątny. Aż się prosi o zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, ale o tym za chwilę. Zwróć jeszcze uwagę, że środek okręgu leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej a więc znając promień łatwo ten bok trójkąta obliczyć. Wykorzystamy to w praktyce ale przed nami jeszcze jeden przypadek. Teraz rozpatrzmy możliwość że środek okręgu leży poza trójkątem. Narysujmy taki trójkąt. Najpierw okrąg. Potem jeden bok. To musi być cięciwa, bo wierzchołki trójkąta muszą leżeć na okręgu. Teraz wybieramy trzeci wierzchołek, ale tak by środek okręgu znalazł się na zewnątrz trójkąta. Łączymy wierzchołki i... mamy trójkąt. Czy i w tym przypadku symetralne boków przetną się w punkcie O? Tak, to uniwersalna zasada. Wiesz już, że to tylko jeden z wielu takich trójkątów. A czy umiesz powiedzieć jaka jest wspólna cecha ich wszystkich? Wszystkie są rozwartokątne. Możemy to nawet udowodnić. W tym celu znów powołamy się na twierdzenie o kątach w okręgu. Mówi ono, że kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Jeśli na naszym rysunku poprowadzimy promienie OA i OB, powstanie nam kąt środkowy AOB, oparty na tym dużym łuku AB. Uwaga, kąt wpisany i środkowy muszą być mówiąc potocznie, po tej samej stronie. Jeśli to jest kąt środkowy, to odpowiadające mu kąty wpisane są tu i tu. Widzisz, że kąt środkowy jest większy niż 180 stopni, a skoro tak, to kąty wpisane dwukrotnie mniejsze od niego też będą większe od kąta prostego. Czyli nasz trójkąt musi być rozwartokątny. Teraz chwila na orzeszka. Po nim będziemy rozgryzać zadania. A oto nasze zadanie. Obliczyć mamy długość okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8. Przypomnijmy wzór na długość okręgu którą mamy obliczyć. To L równa się 2 pi r. Czego więc potrzebujemy? Tak, promienia okręgu. Dwa już mamy narysowane. Tu i tu. Pomyśl, jak możemy go obliczyć? Nasz trójkąt jest prostokątny, czyli możemy tu zastosować twierdzenie Pitagorasa. Ten bok oznaczmy jako c. Sześć do kwadratu dodać osiem do kwadratu równa się c do kwadratu. C do kwadratu to więc 36 dodać 64 co daje nam 100. Brakujący bok ma długość 10. A promień? To połowa, czyli r równa się 5. Ostatni krok: wracamy do wzoru na długość okręgu. L równa się 2 pi razy 5 a więc nasz wynik to 10 pi. Po orzeszku kolejne zadanie. W okrąg o promieniu równym 13 wpisano trójkąt równoramienny o podstawie długości 10. Oblicz długość ramion trójkąta. W pierwszej kolejności nanieśmy dane na rysunek. Promień okręgu jest równy 13. Zaznaczyć możemy go tu i tu, i tu, ale dla nas promień ten musi być jakoś połączony z trójkątem, bo to o niego nas pytają. Zaznaczmy więc promień tu i tu i możemy też tu. Wszędzie wpisujemy liczbę 13. Wiemy też, że podstawa naszego trójkąta ma długość 10. Obliczyć mamy długości ramion. Oznaczmy ramiona jako x. Przyjrzyj się rysunkowi przez chwilę. Może coś Ci przychodzi do głowy? Gdyby przedłużyć ten promień rysując tym samym całą wysokość trójkąta nasz x stałby się częścią trójkąta prostokątnego a trójkąt prostokątny aż się prosi o zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. Długość tego boku do kwadratu dodać długość tego boku do kwadratu to nasz x do kwadratu. Ale brakuje nam tego fragmentu. Czy możemy go obliczyć? Tak, tu znowu z pomocą przychodzi nam Pitagoras. Ten fragment oznaczmy na przykład jako y. Wiemy też, że ten odcinek ma długość 5. W takim razie y do kwadratu dodać 5 kwadratu to 13 do kwadratu. Y do kwadratu to więc 169 odjąć 25, czyli... sto czterdzieści cztery. Y jest więc równy pierwiastkowi ze 144, czyli 12. Twierdzenie Pitagorasa powtórzone. Teraz chwila dla Ciebie. Masz już wszystkie dane. Ułóż zależność dla drugiego trójkąta i oblicz x. Twierdzenie dla tego trójkąta przyjmuje postać: 5 do kwadratu dodać 25 do kwadratu równa się x do kwadratu. Po przeprowadzeniu obliczeń wynik to x równy pierwiastkowi z 650 a to, po wyciągnięciu czynnika przed znak pierwiastka, 5 pierwiastków z 26. Nie pamiętasz, jak się to robiło? Nic nie szkodzi. Na pistacja.tv znajdziesz odpowiedni film. Kolejne zadanie, tym razem dla Ciebie. W okrąg o promieniu 13 wpisano trójkąt równoramienny rozwartokątny. Jego najdłuższy bok ma długość 24. Oblicz pole tego trójkąta. Wstrzymaj film i rozwiąż to zadanie samodzielnie, a później sprawdź naszą propozycję rozwiązania. Podpowiedź? Zacznij od narysowania promieni które mają coś wspólnego z naszym trójkątem. Udało się? To sprawdzamy. Promienie najwygodniej było narysować tu, tu i tu. Każdy z nich ma długość 13. Ten promień pokrywa nam się częściowo z wysokością trójkąta. Gdybyśmy znali długość tego odcinka wystarczyłoby ją odjąć od 13. Można go obliczyć z twierdzenia Pitagorasa. To pięć, czyli ten odcinek jest równy pięciu. Obliczamy wysokość. Odejmujemy: 13 odjąć 5 to 8 i mamy wysokość naszego trójkąta. Ostatni krok to obliczenie pola i zadanie rozwiązane. Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia się symetralnych boków tego trójkąta. Może się on znajdować wewnątrz trójkąta na jego boku lub poza trójkątem. Na dzisiaj to już wszystko. Obejrzyj pozostałe filmy z tej playlisty a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv